华东师大版数学八（下）第15章 分式 单元测试培优卷

华东师大版数学八（下）第15章 分式 单元测试培优卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
1．（2024八下·开福开学考）若分式方程无解，则的值是（　　）
A．或 B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
分式方程无解，
，
，
，
解得：，
分式方程无解，
，
解得：，
综上可知：或，
故答案为：．
【分析】先化简分式方程为（a-2）x=-3，根据题意可得x为增根或a-2=0，分别求出对应的a的值即可．熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．
2．（2025七下·慈溪期末） 若 ，，则 的值可能为（　　）
A． B． C． D．0
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；分式的除法
【解析】【解答】解： ，
由分式意义可知：，则 的值不可能是，，0.
故答案为：C .
【分析】根据分式除法法则进行化简，根据分式意义的条件计算即可得到答案.
3．已知，则的值等于
A．6 B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】把代数式的分子、分母同时除以可得，再整体代入求解.
当时，
故选A.
【点评】计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.
4．（2018八上·涞水期末）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设a为负整数．
∵当x=a时，分式的值= ，当x= 时，分式的值= = ，
∴当x=a时与当x= 时两分式的和= + =0．
∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0．
∴所得结果的和= =﹣1．
故答案为：A．
【分析】算几个特殊值，可观察出规律，最中间的x=0时，值为-1，其他项合并为0.
5．（2023八上·南通月考）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（　　）
A．277 B．240 C．272 D．256
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
两边都乘以，得
，
解得，且，；，
∴且，
解得：，，
∵正整数使关于的分式方程的解为整数，
∴，
∴或15或39或65或195，
即或5或29或55或185，
其中不符合题意，
∴，
故答案为：C．
【分析】把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案．
6．（2024九上·锦江期中）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的法就应用了黄金分割数． 设，，得，记（取正整数），的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：，
，
∴
，
故答案为：C．
【分析】由积的乘方运算法则的逆用及已知可求出anbn=1，将的右边通分计算后，整体代入约分化简可得，据此分别得出S1、S2、S3、S4、S5、S6的表达式，进而利用裂项相消计算即可．
7．（2024七下·嘉兴月考）当分别取“-2015，-2014，-2013，…，-2-1，0，1，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（　　），
A．2015 B．1 C．0 D．-1
【答案】D
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：设x=m时，
设x=-时，
∴它们的和为：=0
因此当x取值互为负倒数时，它们的和为0
∵当x=0时，=-1
故答案为：D.
【分析】通过观察，发现x的取值是互为负倒数的，因此设x=m和x=-分别代入分式，结果再相加，发现规律，从而再求出x=0时分式的值即可.
8．（2024·游仙模拟）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解是正数，则符合条件的所有整数的和为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：不等式组解得：
∵不等式组恰有3个整数解，
∴，解得：
∴整数a可以为-3，-2，-1，0，1，2，3，4
变形为
去分母，得，解得且为正数
∴，即
∵
∴，解得且
∴符合条件的整数a为0，2，3，4
故选C
【分析】
先表示出关于x的不等式组的解集，再由不等式组有且只有3个整数解确定出a的范围，再解关于y的分式方程求出其解为正数时a的取值范围，再综合上述条件求出符合条件的a的所有整数解即可．
9． 甲、乙两个工程队分别承担一条 公路的维修任务， 甲队有一半时间每天维修公路 ， 另一半时间每天维修 ； 乙队维修前 公路时， 每天维修 ， 维修后 公路时， 每天维修 ， 那么(　　)
A．甲队先完成任务 B．乙队先完成任务
C．甲、乙两队同时完成任务 D．不能确定哪个队先完成任务
【答案】A
【知识点】分式的加减法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：根据题意，对甲，维修的总时间为2t，则xt+yt=10.
解得：.
对乙，维修的总时间为：.
故，
∵x＞0，y＞0，且x≠y，
∴-5（x-y）2＜0，xy（x+y）＞0，
∴.
甲完成任务的时间更短，即甲先完成任务.
故答案为：A
【分析】先分别求出甲和乙完全维修任务的时间，再作差，即可得到甲、乙完成任务的先后顺序.
10．（2025七上·黄山期中）下列说法中，正确的个数是（　　）
① 若，则；
② 若，则是正数；
③ A、B.、C三点在数轴上对应的数分别是-2、x、6，若相邻两点的距离相等，则x=2；
④ 若代数式的值与无关，则该代数式的值为；
⑤，，则的值为。
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；有理数的乘法法则；数轴上两点之间的距离；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：① 若，则，错误，不符合题意；
②若|al>|b|
则有a>b>0或a>0>b>-a或-a>b>0>a或0>b>a，
当a>b>0时，则(a+b)(a-b)>0是正数
当a>0>b>-a时，则(a+b)(a-b)>0是正数，
当-a>b>0>a时，则(a+b)(a-b)>0是正数
当0>b>a时，则(a+b)(a-b)>0是正数，
由上可得，(a+b)(a-b)>0是正数，符合题意；
③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是-2、6、x，若相邻两点的距离相等
则有x+2=6-x或-2-x=6-(-2)或x-6=6-(-2)
解得x=2或-10或14，不符合题意；
④若代数式2x+|9-3x|+|1-x|+2011的值与x无关，
则2x+|9-3x|+|1-x|+2011=2x+9-3x+x-1+2011=2019，不符合题意；
⑤∵a+b+c=0， abc<0
∴a、b、c中一定是一负两正
不妨设a>0，b>0，c<0
∴=，不符合题意
故答案为：A
【分析】根据绝对值的性质，结合分式有意义的条件可判断①；根据绝对值性质分类讨论，结合有理数的乘法可判断②；根据数轴上两点间距离建立方程，解方程可判断③；根据绝对值性质可判断④，⑤.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11．方程 的解是　 　.
【答案】x=3
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x+1，得，
3x=9
x=3，
经检验，x=3是原分式方程的解，
∴x=3
故答案为：x=3.
【分析】本题考查解分式方程，通过给分式方程两边同时乘以x+1得到3x=9，解得x=3.
12．（2025七下·越城期中）已知实数a，b，定义运算：，若-3)=1，则a=　 　．
【答案】3或1或-1
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵a (a 3)=3，3＞0，
∴
当a=1时，，成立；
当a=-1时，，成立；
当a≠±1时，有a-3=0，记得a=3.
故答案为：3或1或-1.
【分析】 本题定义了一种新的运算“※”，需要根据运算规则分情况讨论。首先比较a与a 3的大小，确定使用哪种运算方式，然后分a=1、a=-1、a≠±1三种情况讨论，从而可解.
13．（2024八下·重庆市期末）若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为　 　．
【答案】5
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解方程得
依题得且为整数，，
且为3的倍数，，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
，
解得，
，且，
为3的倍数，
∴当时，，
当时，，
当时，（舍去），
当时，（舍去），
的值为1或4，
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：5．
【分析】根据题意先求出且为3的倍数，，再求出，且，最后计算求解即可.
14．（2024九下·长沙竞赛）已知实数a，b，c满足不等式：，则的值为　 　．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|
∴a2≥（b+c）2，b2≥（c+a）2，c2≥（a+b）2
∴a2+b2+c2≥（b+c）2+（c+a）2+（a+b）2=2（a2+b2+c2）+2ab+2bc+2ca
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤0
∴（a+b+c）2≤0，而（a+b+c）2≥0
∴a+b+c=0．
∵，，，
∴，
∵，
同理，，，
∴，
∵a+b+c=0．
∴a=-b-c，b=-a-c，c=-a-b，
∴，
即，
故答案为：3.
【分析】根据完全平方式的非负性，结合已知条件证明a+b+c=0，再把所求代数式依次变形，变形的形式有：，，a=-b-c，据此计算即可。
15． 如图， 标号为①②③④的长方形不重叠地围成长方形 ．已知①和②能够重合， ③和④能够重合， 这四个长方形的面积均为 ， 且 ． 若代数式 的值为 0 ，则 　 　
【答案】
【知识点】因式分解的应用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵x2-3xy+y2=0，
∴（x-y）（x-2y）=0，
∴x=y或x=2y，
∵x＞y，
∴x=2y；
∵四个长方形的面积均为S，
∴，，
∴PQ=x-y， ，
∴
∵x=2y，
故；
故答案为：．
【分析】先根据因式分解法求得x=2y，在根据四个长方形的面积均为S，表示出EP和EN的值，进行计算即可求解.
16．（2024八下·宜宾月考）二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为　 　．
【答案】4：5
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y，2月下旬B主题大礼包售价为 ，C主题大礼包售价为A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据题意得，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额分别为
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售之比为
故答案为： 4：5 .
【分析】本题考查分式方程的应用，设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y， 二月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题大礼包增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据2月下旬A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售量，即可得出答案。
三、解答题：本大题共10个小题，共102分。
17．（2025·西昌模拟）（1）解方程．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）去分母得，
去括号，
移项得6x-4x=12-8+9，
合并同类项得，
系数化1得.
（2）原式
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次方程，分式的化简求值：
（1）利用去分母，去括号，移项合并，化系数为1即可求解；
（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
【解答】
18．某客商准备采购一批特色商品，下面是甲、乙两人的一段对话：
（1）根据对话信息，求一件A，B型商品的进价分别为多少元；
（2）若该客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中型商品的件数不大于型商品的件数，且不小于78件，已知型商品的售价为240元/件，型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方式
（3）在第(2)问的条件下，哪种进货方式利润最大，并求出最大利润.
【答案】（1）解：设一件B型商品的进价分别为x元，则一件A型商品x+10元，
∴
∴
∴一件B型商品的进价分别为150元，则一件A型商品160元.
（2）解：设购进A型商品y件，则购进B型商品160-y件，
∴
∴
∴共有3种进货方式：
方式1：购进型商品78件，型商品82件；
方式2：购进型商品79件，型商品81件；
方式3：购进型商品80件，型商品80件；
（3）解：方式一：
方式二：
方式三：
∵
∴购进型商品80件，型商品80件获得利润最大，最大利润为12000元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）设一件B型商品的进价分别为x元，则一件A型商品x+10元，根据题意列出分式方程：解此方程即可求解；
（2）设购进A型商品y件，则购进B型商品160-y件，则，进而得到：据此即可知共有3种进货方式，分别写出来即可；
（3）结合（2）分别计算出三种进货方式所获得利润，进而即可求解.
19．（2025八上·杭州期中）根据以下信息，探索完成任务：
素材1 采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用、两种型号的客车，其中型车每辆租金500元，型车每辆租金400元
素材2 4辆型车和3辆型车坐满后共搭载200人，3辆型车和4辆型车坐满后共搭载185人．
素材3 该年级计划租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍．
问题解决：
（1）每辆、型车坐满后分别可以搭载几人？
（2）请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金．
（3）若该年级准备只租用型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少辆型车？有多少名学生参加研学活动？
【答案】（1）解：设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，
根据题意可列方程组，得：，
解这个方程组，得：，
答：每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人.
（2）解：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
根据题意可列不等式为：a≥7（20-a），
解这个不等式，得：a≥17.5，
∵a为整数，
∴a的值为18，19，20，
设租车的总租金为w元，
则w=500a+400（20-a）=100a+8000，
当a=18时，w=100×18+8000=9800（元），
当a=19时，w=100×19+8000=9900（元），
当a=20时，w=100×20+8000=10000（元），
9800＜9900＜10000，
答：当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元.
（3）解：设租用B型车m辆，共有n名学生，
根据题意可知，n=18m+5，且n是m-1的整数倍，
即是整数，且由（2）可知，B型车最多搭载20人，
∴m=24，
经检验，m=24是原分式方程的解，
∴n=18×24+5=437（名），
答：该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，根据题意列方程组求解即可得出答案；
（2）根据“ 租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍 ”求出a的取值范围，即可得出a的所有取值，再分别求出总租金即可得出答案；
（3）设租用B型车m辆，共有n名学生，根据“ 每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上 ”可得，n=18m+5，且n是m-1的整数倍，结合B型车最多搭载20人，即可求出m的值，进而得出答案.
（1）解：设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，
由素材2得：，
解得：，
∴每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人；
（2）解：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
由素材3得：，
，
，
，
∵a为整数，
∴，
总租金，
∵，R随a增大而增大，
∴当时，R最小，
此时B型车数量为辆，
（元），
∴当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元；
（3）解：设租用B型车m辆，安排一辆车搭载教师后，平均每辆车搭载n名学生，
由题意：，
，
∵n为整数，且（B型车最多搭载20人），
∴为整数，是23的因数，
∵23为质数，
∴或，
即或，
当时，，不合理，
当时，，合理，
学生数，
∴该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动．
20．（2025八上·海淀期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”．
例如，将分式分解：．
（1）将分式分解的结果为________；
（2）若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________；
（3）当时，判断与的大小关系，并证明．
【答案】（1）；
（2）1，3；
（3）解：
证明：
，
，，
，，
．
【知识点】因式分解的应用；分式的加减法
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（2）
解：
，
，
，解得，
故答案为：1，3；
【分析】
（1）(1)根据“分式分解”的定义，仿照所给示例，将分子拆分x+(x+1)，然后进行约分得到分式分解的结果；
（2）将通分，根据分母与原式分母的关系确定m的值，再根据分子对应相等列出方程组，求解得到p和q的值即可得答案；
（3）判断两个分式的大小关系，采用作差法，先通分，然后对分子进行展开化简，再根据x的取值范围判断差的正负，从而确定两个分式的大小关系即可得出答案．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
，
，
，解得，
故答案为：1，3；
（3）证明：
，
，，
，，
．
21．（2025八上·南湖期中）阅读材料：
“糖水不等式”的证明
小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多．
糖水的甜度取决于糖水浓度（）．
小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？
——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料”
基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”．
（1）【特例验证】假设，，，则_____．（填“、或”）
（2）【推理论证】证明（1）中，你得到的结论．
（3）【应用拓展】若、、为三边的长，证明：
【答案】（1）
（2）证明：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：由题意，，且，，，
由“糖水不等式”可知：，
，
，
．
【知识点】分式的加减法；不等式的性质
【解析】【解答】（1）解：当，，时，
，，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）将字母的值分别代入两个式子计算后，比较分数的大小即可；
（2）利用作差法进行求解，首先根据异分母分式减法法则求出 与 的差，然后根据有理数减法法则判断出a-b与a+c的正负，进而根据有理数乘除法法则判断出差为正数即可得出结论；
（3）由“糖水不等式”得，然后根据不等式性质将三个不等式相加即可得出结论.
（1）解：当，，时，
，，
∴，
∴；
故答案为：
（2）
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由题意，，
∴，，，
由“糖水不等式”可知：，
，
，
．
22．（2025八下·乐山期末）对于正数，规定．请解答下列问题．
（1）计算：；
（2）计算：；
（3）探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值．
【答案】（1）解：由题意得：
；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：存在，理由如下：
由（1）可知，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即.
∵，
∴，即，
解得，
经检验，是方程的解，
由上可得，时，题中等式成立．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）根据题意，将和分别代入代数式，即可求解；
（2）根据题意得出，结合新定义，即可求解；
（3）根据，可得，把等式中的和替换掉，再利用完全平方公式进行展开，化简得到.再根据定义，代入计算即可求解．
（1）解：由题意得；
（2）解：由（1）可知，则
；
（3）解：由（1）可知，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，整理得，
解得，
经检验，是方程的解，
由上可得，时，题中等式成立．
23．（2025八上·三台期末）在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作，两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型，制作一个A，分子模型需要的小球、塑料管数量分别为与，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半．
（1）制作一个，分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？
（2）李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：“每购买3个小球赠送1根塑料管，清货库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．”我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个模型和一个模型为一套，至少需要制作65套才够用．要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题）
【答案】（1）解：设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，
由题意，得
解得
答：制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根．
（2）解：设塑料管的单价是a元/根，小球的单价是元/个根据题意得
解得．
经检验：是原方程的解．
塑料管的单价是元/根，小球的单价是1元/个．
设采购材料能制作出套模型，需要用去个小球，根塑料管．
根据促销活动内容，每购买3个小球赠送1根塑料管，
，
解得．
，，
解得，．
至少需要制作65套才够用，
．
综上，．
购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，
是整数且是正整数，
是正整数，
，69，72，75．
共有四种方案可选择．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，根据题意"用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型"可列关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设塑料管的价格是元/根，则小球的价格是元/个，根据题意"花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多80"可列关于a的分式方程，解分式方程并检验可求得塑料管的单价和小球的单价；设采购材料能制作出套模型，则需要用去个小球，根塑料管，根据题意"向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管"可列关于m的一元一次不等式，解不等式并结合小球和塑料管都为正整数即可求解．
（1）解：设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，由题意，得
解得
答：制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根．
（2）解：设塑料管的单价是a元/根，小球的单价是元/个根据题意得
解得．
经检验：是原方程的解．
塑料管的单价是元/根，小球的单价是1元/个．
设采购材料能制作出套模型，需要用去个小球，根塑料管．
根据促销活动内容，每购买3个小球赠送1根塑料管，
，
解得．
，，
解得，．
至少需要制作65套才够用，
．
综上，．
购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，
是整数且是正整数，
是正整数，
，69，72，75．
共有四种方案可选择．
24．（2025七下·嵊州期末） 先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；方程的解为，；......
（1） 根据上面的规律，猜想的解为　 　；
（2） 利用(1)中的结论，将方程变形为的形式并求解；
（3） 解方程：.
【答案】（1）
（2）解： 、，
，
则 ，，
经检验，都是原方程的解
（3）解： ，
，
则，，
，经检验都是原方程的解
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】(1)、根据题意可得的解为；
故答案为：
【分析】（1）根据题干中的方程及其解的规律即可求得答案；
（2）将原方程变形后即可求得答案；
（3）将原方程变形后解方程即可．
25．如图①， “丰收1号”小麦试验田是边长为 a m(a>1)的正方形去掉一个边长为1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为(a-1)m的正方形.两块试验田的小麦都收获了 500 kg.
（1）①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为 ▲ kg/m2， “丰收2 号”小麦试验田的单位面积产量为 ▲ kg/m2， ▲ 小麦试验田的单位面积产量高；
②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍
（2）在试验田四周(图②虚线部分)修建隔离网，“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a 的值.
【答案】（1），，“丰收2号”
解：②因为”丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高，“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量低，
所以计算
，
即高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍
（2）解：“丰收1号”小麦试验田的周长为4am，总造价为1800元，那么其隔离网每米造价为元；
"丰收2号"小麦试验田的周长为4(a-1)m，总造价为3300元，那么其隔离网每米造价为 元.
已知“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，
可列出方程
，
解得：a=12，
经检验，当a=12时，4a=4×12=48≠0，4(a-1)=4×(12-1)-44≠0，所以a=12是原方程的解，且满足题意.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：(1)①丰收1号”小麦的试验田是边长为am的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，根据正方形面积公式，其面积为边长为am的正方形面积减去边长为1m的正方形面积，即a2一12，已知总产量为500g，根据单位面积产量=总产量÷种植面积，可得“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为kg/m2；
“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形，根据正方形面积公式，其面积为(a-1)2m。
已知总产量为500kg，同理可得“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为 kg/m2。
(a2-1)-(a-1)2=a2-1-(a2-2a+1)=a2-1-a2+2a-1=2a-2=2(a-1)，
因为a>1，所以2(a-1)>0，即a2-1>(a-1)2，
可得，
所以丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；
故答案为：，，“丰收2号”；
【分析】(1)①先分别求出两块试验田的面积，再根据单位面积产量=总产量÷种植面积，求出各自的单位面积产量；
②然后比较大小并计算倍数关系；
(2)根据“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每造价的2倍这一关系列出分式方程求解.
26．（2023·德阳）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
（1）乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
（2）为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
【答案】（1）解：设乙单独完成需要个月，则
，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
（2）解：由题意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵都为正整数，
∴为3的倍数，
∴或或，
∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元），
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元），
方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元），
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设乙单独完成需要个月，根据“规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务”列出分式方程，进而即可求解；
（2）先根据题意即可得到，再结合题意即可列出不等式组，从而得到b的取值范围，再根据题意列出方案，进而即可求解。
1 / 1华东师大版数学八（下）第15章 分式 单元测试培优卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
1．（2024八下·开福开学考）若分式方程无解，则的值是（　　）
A．或 B． C．或 D．或
2．（2025七下·慈溪期末） 若 ，，则 的值可能为（　　）
A． B． C． D．0
3．已知，则的值等于
A．6 B． C． D．
4．（2018八上·涞水期末）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
5．（2023八上·南通月考）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（　　）
A．277 B．240 C．272 D．256
6．（2024九上·锦江期中）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的法就应用了黄金分割数． 设，，得，记（取正整数），的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·嘉兴月考）当分别取“-2015，-2014，-2013，…，-2-1，0，1，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（　　），
A．2015 B．1 C．0 D．-1
8．（2024·游仙模拟）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解是正数，则符合条件的所有整数的和为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
9． 甲、乙两个工程队分别承担一条 公路的维修任务， 甲队有一半时间每天维修公路 ， 另一半时间每天维修 ； 乙队维修前 公路时， 每天维修 ， 维修后 公路时， 每天维修 ， 那么(　　)
A．甲队先完成任务 B．乙队先完成任务
C．甲、乙两队同时完成任务 D．不能确定哪个队先完成任务
10．（2025七上·黄山期中）下列说法中，正确的个数是（　　）
① 若，则；
② 若，则是正数；
③ A、B.、C三点在数轴上对应的数分别是-2、x、6，若相邻两点的距离相等，则x=2；
④ 若代数式的值与无关，则该代数式的值为；
⑤，，则的值为。
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11．方程 的解是　 　.
12．（2025七下·越城期中）已知实数a，b，定义运算：，若-3)=1，则a=　 　．
13．（2024八下·重庆市期末）若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为　 　．
14．（2024九下·长沙竞赛）已知实数a，b，c满足不等式：，则的值为　 　．
15． 如图， 标号为①②③④的长方形不重叠地围成长方形 ．已知①和②能够重合， ③和④能够重合， 这四个长方形的面积均为 ， 且 ． 若代数式 的值为 0 ，则 　 　
16．（2024八下·宜宾月考）二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为　 　．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分。
17．（2025·西昌模拟）（1）解方程．
（2）先化简，再求值：，其中．
18．某客商准备采购一批特色商品，下面是甲、乙两人的一段对话：
（1）根据对话信息，求一件A，B型商品的进价分别为多少元；
（2）若该客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中型商品的件数不大于型商品的件数，且不小于78件，已知型商品的售价为240元/件，型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方式
（3）在第(2)问的条件下，哪种进货方式利润最大，并求出最大利润.
19．（2025八上·杭州期中）根据以下信息，探索完成任务：
素材1 采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用、两种型号的客车，其中型车每辆租金500元，型车每辆租金400元
素材2 4辆型车和3辆型车坐满后共搭载200人，3辆型车和4辆型车坐满后共搭载185人．
素材3 该年级计划租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍．
问题解决：
（1）每辆、型车坐满后分别可以搭载几人？
（2）请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金．
（3）若该年级准备只租用型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少辆型车？有多少名学生参加研学活动？
20．（2025八上·海淀期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”．
例如，将分式分解：．
（1）将分式分解的结果为________；
（2）若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________；
（3）当时，判断与的大小关系，并证明．
21．（2025八上·南湖期中）阅读材料：
“糖水不等式”的证明
小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多．
糖水的甜度取决于糖水浓度（）．
小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？
——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料”
基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”．
（1）【特例验证】假设，，，则_____．（填“、或”）
（2）【推理论证】证明（1）中，你得到的结论．
（3）【应用拓展】若、、为三边的长，证明：
22．（2025八下·乐山期末）对于正数，规定．请解答下列问题．
（1）计算：；
（2）计算：；
（3）探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值．
23．（2025八上·三台期末）在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作，两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型，制作一个A，分子模型需要的小球、塑料管数量分别为与，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半．
（1）制作一个，分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？
（2）李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：“每购买3个小球赠送1根塑料管，清货库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．”我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个模型和一个模型为一套，至少需要制作65套才够用．要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题）
24．（2025七下·嵊州期末） 先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；方程的解为，；......
（1） 根据上面的规律，猜想的解为　 　；
（2） 利用(1)中的结论，将方程变形为的形式并求解；
（3） 解方程：.
25．如图①， “丰收1号”小麦试验田是边长为 a m(a>1)的正方形去掉一个边长为1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为(a-1)m的正方形.两块试验田的小麦都收获了 500 kg.
（1）①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为 ▲ kg/m2， “丰收2 号”小麦试验田的单位面积产量为 ▲ kg/m2， ▲ 小麦试验田的单位面积产量高；
②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍
（2）在试验田四周(图②虚线部分)修建隔离网，“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a 的值.
26．（2023·德阳）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
（1）乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
（2）为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
分式方程无解，
，
，
，
解得：，
分式方程无解，
，
解得：，
综上可知：或，
故答案为：．
【分析】先化简分式方程为（a-2）x=-3，根据题意可得x为增根或a-2=0，分别求出对应的a的值即可．熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．
2．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；分式的除法
【解析】【解答】解： ，
由分式意义可知：，则 的值不可能是，，0.
故答案为：C .
【分析】根据分式除法法则进行化简，根据分式意义的条件计算即可得到答案.
3．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】把代数式的分子、分母同时除以可得，再整体代入求解.
当时，
故选A.
【点评】计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.
4．【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设a为负整数．
∵当x=a时，分式的值= ，当x= 时，分式的值= = ，
∴当x=a时与当x= 时两分式的和= + =0．
∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0．
∴所得结果的和= =﹣1．
故答案为：A．
【分析】算几个特殊值，可观察出规律，最中间的x=0时，值为-1，其他项合并为0.
5．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
两边都乘以，得
，
解得，且，；，
∴且，
解得：，，
∵正整数使关于的分式方程的解为整数，
∴，
∴或15或39或65或195，
即或5或29或55或185，
其中不符合题意，
∴，
故答案为：C．
【分析】把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案．
6．【答案】C
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：，
，
∴
，
故答案为：C．
【分析】由积的乘方运算法则的逆用及已知可求出anbn=1，将的右边通分计算后，整体代入约分化简可得，据此分别得出S1、S2、S3、S4、S5、S6的表达式，进而利用裂项相消计算即可．
7．【答案】D
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：设x=m时，
设x=-时，
∴它们的和为：=0
因此当x取值互为负倒数时，它们的和为0
∵当x=0时，=-1
故答案为：D.
【分析】通过观察，发现x的取值是互为负倒数的，因此设x=m和x=-分别代入分式，结果再相加，发现规律，从而再求出x=0时分式的值即可.
8．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：不等式组解得：
∵不等式组恰有3个整数解，
∴，解得：
∴整数a可以为-3，-2，-1，0，1，2，3，4
变形为
去分母，得，解得且为正数
∴，即
∵
∴，解得且
∴符合条件的整数a为0，2，3，4
故选C
【分析】
先表示出关于x的不等式组的解集，再由不等式组有且只有3个整数解确定出a的范围，再解关于y的分式方程求出其解为正数时a的取值范围，再综合上述条件求出符合条件的a的所有整数解即可．
9．【答案】A
【知识点】分式的加减法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：根据题意，对甲，维修的总时间为2t，则xt+yt=10.
解得：.
对乙，维修的总时间为：.
故，
∵x＞0，y＞0，且x≠y，
∴-5（x-y）2＜0，xy（x+y）＞0，
∴.
甲完成任务的时间更短，即甲先完成任务.
故答案为：A
【分析】先分别求出甲和乙完全维修任务的时间，再作差，即可得到甲、乙完成任务的先后顺序.
10．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；有理数的乘法法则；数轴上两点之间的距离；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：① 若，则，错误，不符合题意；
②若|al>|b|
则有a>b>0或a>0>b>-a或-a>b>0>a或0>b>a，
当a>b>0时，则(a+b)(a-b)>0是正数
当a>0>b>-a时，则(a+b)(a-b)>0是正数，
当-a>b>0>a时，则(a+b)(a-b)>0是正数
当0>b>a时，则(a+b)(a-b)>0是正数，
由上可得，(a+b)(a-b)>0是正数，符合题意；
③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是-2、6、x，若相邻两点的距离相等
则有x+2=6-x或-2-x=6-(-2)或x-6=6-(-2)
解得x=2或-10或14，不符合题意；
④若代数式2x+|9-3x|+|1-x|+2011的值与x无关，
则2x+|9-3x|+|1-x|+2011=2x+9-3x+x-1+2011=2019，不符合题意；
⑤∵a+b+c=0， abc<0
∴a、b、c中一定是一负两正
不妨设a>0，b>0，c<0
∴=，不符合题意
故答案为：A
【分析】根据绝对值的性质，结合分式有意义的条件可判断①；根据绝对值性质分类讨论，结合有理数的乘法可判断②；根据数轴上两点间距离建立方程，解方程可判断③；根据绝对值性质可判断④，⑤.
11．【答案】x=3
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x+1，得，
3x=9
x=3，
经检验，x=3是原分式方程的解，
∴x=3
故答案为：x=3.
【分析】本题考查解分式方程，通过给分式方程两边同时乘以x+1得到3x=9，解得x=3.
12．【答案】3或1或-1
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵a (a 3)=3，3＞0，
∴
当a=1时，，成立；
当a=-1时，，成立；
当a≠±1时，有a-3=0，记得a=3.
故答案为：3或1或-1.
【分析】 本题定义了一种新的运算“※”，需要根据运算规则分情况讨论。首先比较a与a 3的大小，确定使用哪种运算方式，然后分a=1、a=-1、a≠±1三种情况讨论，从而可解.
13．【答案】5
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解方程得
依题得且为整数，，
且为3的倍数，，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
，
解得，
，且，
为3的倍数，
∴当时，，
当时，，
当时，（舍去），
当时，（舍去），
的值为1或4，
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：5．
【分析】根据题意先求出且为3的倍数，，再求出，且，最后计算求解即可.
14．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|
∴a2≥（b+c）2，b2≥（c+a）2，c2≥（a+b）2
∴a2+b2+c2≥（b+c）2+（c+a）2+（a+b）2=2（a2+b2+c2）+2ab+2bc+2ca
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤0
∴（a+b+c）2≤0，而（a+b+c）2≥0
∴a+b+c=0．
∵，，，
∴，
∵，
同理，，，
∴，
∵a+b+c=0．
∴a=-b-c，b=-a-c，c=-a-b，
∴，
即，
故答案为：3.
【分析】根据完全平方式的非负性，结合已知条件证明a+b+c=0，再把所求代数式依次变形，变形的形式有：，，a=-b-c，据此计算即可。
15．【答案】
【知识点】因式分解的应用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵x2-3xy+y2=0，
∴（x-y）（x-2y）=0，
∴x=y或x=2y，
∵x＞y，
∴x=2y；
∵四个长方形的面积均为S，
∴，，
∴PQ=x-y， ，
∴
∵x=2y，
故；
故答案为：．
【分析】先根据因式分解法求得x=2y，在根据四个长方形的面积均为S，表示出EP和EN的值，进行计算即可求解.
16．【答案】4：5
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y，2月下旬B主题大礼包售价为 ，C主题大礼包售价为A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据题意得，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额分别为
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售之比为
故答案为： 4：5 .
【分析】本题考查分式方程的应用，设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y， 二月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题大礼包增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据2月下旬A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售量，即可得出答案。
17．【答案】解：（1）去分母得，
去括号，
移项得6x-4x=12-8+9，
合并同类项得，
系数化1得.
（2）原式
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次方程，分式的化简求值：
（1）利用去分母，去括号，移项合并，化系数为1即可求解；
（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
【解答】
18．【答案】（1）解：设一件B型商品的进价分别为x元，则一件A型商品x+10元，
∴
∴
∴一件B型商品的进价分别为150元，则一件A型商品160元.
（2）解：设购进A型商品y件，则购进B型商品160-y件，
∴
∴
∴共有3种进货方式：
方式1：购进型商品78件，型商品82件；
方式2：购进型商品79件，型商品81件；
方式3：购进型商品80件，型商品80件；
（3）解：方式一：
方式二：
方式三：
∵
∴购进型商品80件，型商品80件获得利润最大，最大利润为12000元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）设一件B型商品的进价分别为x元，则一件A型商品x+10元，根据题意列出分式方程：解此方程即可求解；
（2）设购进A型商品y件，则购进B型商品160-y件，则，进而得到：据此即可知共有3种进货方式，分别写出来即可；
（3）结合（2）分别计算出三种进货方式所获得利润，进而即可求解.
19．【答案】（1）解：设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，
根据题意可列方程组，得：，
解这个方程组，得：，
答：每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人.
（2）解：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
根据题意可列不等式为：a≥7（20-a），
解这个不等式，得：a≥17.5，
∵a为整数，
∴a的值为18，19，20，
设租车的总租金为w元，
则w=500a+400（20-a）=100a+8000，
当a=18时，w=100×18+8000=9800（元），
当a=19时，w=100×19+8000=9900（元），
当a=20时，w=100×20+8000=10000（元），
9800＜9900＜10000，
答：当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元.
（3）解：设租用B型车m辆，共有n名学生，
根据题意可知，n=18m+5，且n是m-1的整数倍，
即是整数，且由（2）可知，B型车最多搭载20人，
∴m=24，
经检验，m=24是原分式方程的解，
∴n=18×24+5=437（名），
答：该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，根据题意列方程组求解即可得出答案；
（2）根据“ 租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍 ”求出a的取值范围，即可得出a的所有取值，再分别求出总租金即可得出答案；
（3）设租用B型车m辆，共有n名学生，根据“ 每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上 ”可得，n=18m+5，且n是m-1的整数倍，结合B型车最多搭载20人，即可求出m的值，进而得出答案.
（1）解：设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，
由素材2得：，
解得：，
∴每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人；
（2）解：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
由素材3得：，
，
，
，
∵a为整数，
∴，
总租金，
∵，R随a增大而增大，
∴当时，R最小，
此时B型车数量为辆，
（元），
∴当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元；
（3）解：设租用B型车m辆，安排一辆车搭载教师后，平均每辆车搭载n名学生，
由题意：，
，
∵n为整数，且（B型车最多搭载20人），
∴为整数，是23的因数，
∵23为质数，
∴或，
即或，
当时，，不合理，
当时，，合理，
学生数，
∴该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动．
20．【答案】（1）；
（2）1，3；
（3）解：
证明：
，
，，
，，
．
【知识点】因式分解的应用；分式的加减法
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（2）
解：
，
，
，解得，
故答案为：1，3；
【分析】
（1）(1)根据“分式分解”的定义，仿照所给示例，将分子拆分x+(x+1)，然后进行约分得到分式分解的结果；
（2）将通分，根据分母与原式分母的关系确定m的值，再根据分子对应相等列出方程组，求解得到p和q的值即可得答案；
（3）判断两个分式的大小关系，采用作差法，先通分，然后对分子进行展开化简，再根据x的取值范围判断差的正负，从而确定两个分式的大小关系即可得出答案．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
，
，
，解得，
故答案为：1，3；
（3）证明：
，
，，
，，
．
21．【答案】（1）
（2）证明：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：由题意，，且，，，
由“糖水不等式”可知：，
，
，
．
【知识点】分式的加减法；不等式的性质
【解析】【解答】（1）解：当，，时，
，，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）将字母的值分别代入两个式子计算后，比较分数的大小即可；
（2）利用作差法进行求解，首先根据异分母分式减法法则求出 与 的差，然后根据有理数减法法则判断出a-b与a+c的正负，进而根据有理数乘除法法则判断出差为正数即可得出结论；
（3）由“糖水不等式”得，然后根据不等式性质将三个不等式相加即可得出结论.
（1）解：当，，时，
，，
∴，
∴；
故答案为：
（2）
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由题意，，
∴，，，
由“糖水不等式”可知：，
，
，
．
22．【答案】（1）解：由题意得：
；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：存在，理由如下：
由（1）可知，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即.
∵，
∴，即，
解得，
经检验，是方程的解，
由上可得，时，题中等式成立．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）根据题意，将和分别代入代数式，即可求解；
（2）根据题意得出，结合新定义，即可求解；
（3）根据，可得，把等式中的和替换掉，再利用完全平方公式进行展开，化简得到.再根据定义，代入计算即可求解．
（1）解：由题意得；
（2）解：由（1）可知，则
；
（3）解：由（1）可知，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，整理得，
解得，
经检验，是方程的解，
由上可得，时，题中等式成立．
23．【答案】（1）解：设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，
由题意，得
解得
答：制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根．
（2）解：设塑料管的单价是a元/根，小球的单价是元/个根据题意得
解得．
经检验：是原方程的解．
塑料管的单价是元/根，小球的单价是1元/个．
设采购材料能制作出套模型，需要用去个小球，根塑料管．
根据促销活动内容，每购买3个小球赠送1根塑料管，
，
解得．
，，
解得，．
至少需要制作65套才够用，
．
综上，．
购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，
是整数且是正整数，
是正整数，
，69，72，75．
共有四种方案可选择．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，根据题意"用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型"可列关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设塑料管的价格是元/根，则小球的价格是元/个，根据题意"花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多80"可列关于a的分式方程，解分式方程并检验可求得塑料管的单价和小球的单价；设采购材料能制作出套模型，则需要用去个小球，根塑料管，根据题意"向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管"可列关于m的一元一次不等式，解不等式并结合小球和塑料管都为正整数即可求解．
（1）解：设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，由题意，得
解得
答：制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根．
（2）解：设塑料管的单价是a元/根，小球的单价是元/个根据题意得
解得．
经检验：是原方程的解．
塑料管的单价是元/根，小球的单价是1元/个．
设采购材料能制作出套模型，需要用去个小球，根塑料管．
根据促销活动内容，每购买3个小球赠送1根塑料管，
，
解得．
，，
解得，．
至少需要制作65套才够用，
．
综上，．
购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，
是整数且是正整数，
是正整数，
，69，72，75．
共有四种方案可选择．
24．【答案】（1）
（2）解： 、，
，
则 ，，
经检验，都是原方程的解
（3）解： ，
，
则，，
，经检验都是原方程的解
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】(1)、根据题意可得的解为；
故答案为：
【分析】（1）根据题干中的方程及其解的规律即可求得答案；
（2）将原方程变形后即可求得答案；
（3）将原方程变形后解方程即可．
25．【答案】（1），，“丰收2号”
解：②因为”丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高，“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量低，
所以计算
，
即高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍
（2）解：“丰收1号”小麦试验田的周长为4am，总造价为1800元，那么其隔离网每米造价为元；
"丰收2号"小麦试验田的周长为4(a-1)m，总造价为3300元，那么其隔离网每米造价为 元.
已知“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，
可列出方程
，
解得：a=12，
经检验，当a=12时，4a=4×12=48≠0，4(a-1)=4×(12-1)-44≠0，所以a=12是原方程的解，且满足题意.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：(1)①丰收1号”小麦的试验田是边长为am的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，根据正方形面积公式，其面积为边长为am的正方形面积减去边长为1m的正方形面积，即a2一12，已知总产量为500g，根据单位面积产量=总产量÷种植面积，可得“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为kg/m2；
“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形，根据正方形面积公式，其面积为(a-1)2m。
已知总产量为500kg，同理可得“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为 kg/m2。
(a2-1)-(a-1)2=a2-1-(a2-2a+1)=a2-1-a2+2a-1=2a-2=2(a-1)，
因为a>1，所以2(a-1)>0，即a2-1>(a-1)2，
可得，
所以丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；
故答案为：，，“丰收2号”；
【分析】(1)①先分别求出两块试验田的面积，再根据单位面积产量=总产量÷种植面积，求出各自的单位面积产量；
②然后比较大小并计算倍数关系；
(2)根据“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每造价的2倍这一关系列出分式方程求解.
26．【答案】（1）解：设乙单独完成需要个月，则
，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
（2）解：由题意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵都为正整数，
∴为3的倍数，
∴或或，
∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元），
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元），
方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元），
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设乙单独完成需要个月，根据“规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务”列出分式方程，进而即可求解；
（2）先根据题意即可得到，再结合题意即可列出不等式组，从而得到b的取值范围，再根据题意列出方案，进而即可求解。
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