秘密★启用前
运城市2025—2026学年第一学期期末调研测试
高三数学参考答案详解及评分说明
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 .
1. D
【解析】由已知可得A = {x|x > 2}，B = {x|x > 4或x < -1}，所以 RB = {x| -1 ≤ x ≤ 4}，所以A ∩ RB = {x|2 < x ≤ 4}.
2. B
【解析】易知a = n,b = 2n - 1n n ,a4 - b4 = 4 - 8 = -4.
3. C
【解析】由题易知，AC⊥BC，且 AC = BC = 2，所以 S△ABC = 1 12 × AC × BC = 1，则三棱锥P-ABC的体积为 V = 3 ×
× = 2S△ABC PA 3.
4. A
【解析】设 z = a + bi，则 -z = a - bi，所以(1 i)[ (1 a) + bi ] = -2 (a + bi) i，
即(1 a + b) + (a + b 1) i = 2b 2ai，
即{1 a + b = 2b,+ 1 = -2 解得a = 0, b = 1，即 z = i，所以| z | = 1.a b a,
5. B
【解析】分步乘法原理，分三步完成 .第 1名只能是丙、丁、戊、己这 4个班，有A41 = 4种可能；乙班的名次只可能是
第2，3，4，5名，有A14 = 4种可能；剩余4个班的名次有A44 = 24种可能 .所以6个班的名次排列有4 × 4 × 24 = 384
种不同情况 .
6. C
【解析】设P (x,y)为抛物线上任意一点，
2
根据抛物线的定义可得 x2 + (y 1) = | y + 2 |，
即 x2 + (y 1) 2 = ( 2y + 2) ，
化简得 x2 = 6y + 3.
7. A
【解析】易知0 < log0.50.7 < log0.50.6 < 1，故 log0.70.5 > log0.60.5 > 1，即a > b > 1，又 c = 0.30.4 < 0.30 = 1，故 c < b < a.
8. B
【解析】解法一：设M (x1, y1)，N (x2, y2)，P (x0, y0)，
ìx0 + λx1
∵ ???? ???????PF = λF M ∴ 1 +
= -c,
λ
1 1 ， í
y + λy 0 11 + = 0. λ
ìx0 2 + y0 2 = 1,
a2 b2 1 x0 + λx1 x0 λx1 x0 λx1 a2 a2 a2
又í
λ2 2 2
= 1 = - x λx = - + λ，
x1 + λ y 2 a
2 1 + λ 1 λ 1 λ c 0 1
1 = λ2 c c,
a2 b2
数学试题答案 第1页（共6页）
{#{QQABTYQUggAgAJAAABgCQQn6CgEYkAAAAAgGxAAcMAAAgRNABAA=}#}
{x0 + λx1 = -c cλ, 2 = - a2 + c2 + a22 2 c2 = - ax0 λx1 + a λ, x0 λ.c cc c
2 = a2 + c2 a2 c2 a2 + c2同理 x0 μ，所以 a
2 c2 = - a2 + c2 + a2 c2μ λ，
c c c c c c
所以λ + = 2 (a2 + c2)μ 2 2 =
2 (1 + e2).
a c 1 e2
令 t = 1 2 ∈ é1e，t ê4 ,1) 4 é1，则λ + μ = 2，t ∈ ê4 ,1 ， t )
所以λ + μ ∈ (2,14 ].
解法二：
???? ??????? 1 1
因为PF1 = λF1M，所以 = λ .| F1M | | PF1 |
1 + 1又 = 2（二级结论），所以(1 + λ) 1 = 2，故λ = 2 | PF1 | - 1.| F1M | | PF1 | ep | PF1 | ep ep
= 2 - 1 2 2 2同理 μ | PF2 | ，所以λ + μ =ep ep (| | + |
2
PF1 PF2 |) - 2 = × 2a - 2 = 4a - 2 = 4a2 - 2 = 4 - 2.ep b a2 - c2 1 - e2
由 e ∈ (0, 3 ù2 úú，可得λ + μ ∈ (2,14].
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 .
9. ACD
1
【解析】由 题 得 f ( x ) = 2 sin ( πωx - 3 )，T = 2π = π，所 以 ω = 2，f ( x ) = 12 sin (2 - πx 3 )，故 A 选 项 正 确 ；当ω
x ∈ é π π ù π é 5π π ùê- 4 , 4 ú 时，2x - 3 ∈ ê- 6 , 6 ú，当 2x -
π = π3 6 时，f (
1 5π
x ) 取到最大值
4，故 B 选项错误；当 x = 12 时，
2 - π = πx 3 2，此时函数 f (
5π π π
x )取到最大值，所以 x = 12 是函数 f ( x )的对称轴，故 C选项正确；当 x ∈ (- 12 , 3 )时，
2 - π ∈ (-π , πx 3 2 3 )，y = sin π πx在(- 2 , 3 )上单调递增，故D选项正确 .
10. ABD
1
【解析】如图，取 CN的中点 H，连接MH，则MH ∥ AB，且MH = 2 AN，所以MH ∥ BN，且 A
= ??? 1 ????? ??? 3 ????MH BN，所以△BEN≌△MEH，所以BE = EM，NE = EH，即BE = 2 BM，CE = 4 CN.
A ??? 1 ????? 1 ???? ??? 1 1 ??? ??? 1 ??? 1 ??? M对于 ，BE = 2 BM = 2 (AM AB) = 2 ( 2 AC AB) = 4 AC 2 AB，故A选项正确； N
E
B ??? = 3 ???? = 3 (??? ???) = 3
H
对于 ，CE 4 CN 4 AN AC 4 ( 2 ??? ??? 1 ??? 3 ???3 AB AC) = 2 AB 4 AC，故B选项正确； B C（第10题答图）
??? ??? = 0 ( 1 ??? 1 ???由BE CE ，可得 4 AC 2 AB) ( 1 ??? 3 ???2 AB 4 AC) = 0，
数学试题答案 第2页（共6页）
{#{QQABTYQUggAgAJAAABgCQQn6CgEYkAAAAAgGxAAcMAAAgRNABAA=}#}
1 ??? 2 3 ??? 2 1 ??? ???即 4 AB 16 AC + 2 AB AC = 0，
1 2 + 3 2 2 1 2 3AB AC2
即AB 1 3 AB ACAC cos A = 2 AB2 + 8 AC2，所以 cos A = 2 8 ≥
2 8 = 3，
AB AC AB AC 2
1 3 3
当且仅当 2 AB2 = 8 AC2，即AB = 2 AC时，
cos A 3取得最小值为 2 ，故C选项错误，D选项正确 .
11. ABC
【解析】 a ∈ R, a Ma，所以Ma ≠ R，故A选项正确；若 a ∈ R，Ma = ，则 x ∈ R，f (x) ≥ f (a)，故 f (x)存在最小
值为 f (a)，故 B选项正确； x1,x2 ∈ R，且 x1 < x2，可知 x1 ∈ Mx2 = ( -∞, x2 ) = {x| f ( x ) < f ( x2 )}，即 f (x1) < f (x2)，故
| x | , -1 < x ≤ 1,
f (x)是增函数，故C选项正确；对于函数 f (x) = { + 1, ≤ -1 > 1,可以验证 a > 0，Ma = (-a,a)，但 f (x)不| x | x 或x
是偶函数，故D选项错误 .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 .
12. 0.3
【解析】因为 X~N (3,σ2)，即 μ = 3，(1 + σ2) + (5 - σ2) = 6 = 2μ，所以 P (X ≤ 5 - σ2) = P (X ≥ 1 + σ2) = 0.7，则
P (X > 5 - σ2) = 1 - P (X ≤ 5 - σ2) = 0.3.
13. 12
(2 - ) = 1【解析】f x 22 - + 2 =
2x - 1
x 2 + 2 ，x
1 2x - 1 1 + 2x - 1 1
故 f (x) + f (2 - x) = 2 + 2 +x 2 + 2 = 2 + 2 = .x x 2
14. (n + 1)2n
2n + 2 2n + 2 S S S S
【解析】 n n - 1 n 1当 n ≥ 2时，Sn = + 2 an = S - S ，变形得 = 2 (n ≥ 2)，故 是以 = 2n n + 2 ( n n - 1) n + 1 n {n + 1} 2
2 Sn为首项， 为公比的等比数列，所以 + 1 = 2n，Sn = (n + 1)2n.当 n = 1时，Sn 1 = (1 + 1) × 21 = 4 = a1，所以 Sn =
(n + 1)2n.
四、解答题：本题共5小题，共77分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
15.解：（1）∵ bcos A + 3 asin B - a - c = 0，
∴ sin Bcos A + 3 sin Asin B - sin A - sin C = 0，……………………………………………………………… 1分
∴ sin Bcos A + 3 sin Asin B - sin A - sin ( A + B ) = 0，
∴ 3 sin Asin B - sin A - sin AcosB = 0. ……………………………………………………………………… 2分
∵ A ∈ (0,π)，∴ sin A ≠ 0，
数学试题答案 第3页（共6页）
{#{QQABTYQUggAgAJAAABgCQQn6CgEYkAAAAAgGxAAcMAAAgRNABAA=}#}
∴ 3 sin B - cosB = 1，∴ sin ( πB - 6 ) = 12. …………………………………………………………………… 4分
又B ∈ (0, π)，∴ π π 5πB - 6 ∈ (- 6 , 6 )，
∴ - πB 6 =
π π
6，∴ B = 3 . ……………………………………………………………………………………… 6分
2 2 ???? = ??? ???（）由题得 BD BA + BC，……………………………………………………………………………………… 7分
∴ 4 ???? 2 ??? 2 ??? 2 ??? ???BD = BA + BC + 2 BA BC，
∴ a2 + c2 + 2accosB = 12. ……………………………………………………………………………………… 8分
π
又B = 3，∴ a2 + c2 + ac = 12， ① …………………………………………………………………………… 9分
由S = 12 acsin B = 3，得 ac = 4， ② ………………………………………………………………………… 11分
由①②得a = 2，c = 2. …………………………………………………………………………………………… 13分
16.（1）证明:因为PA ⊥平面ABC，所以PA ⊥ AB，PA ⊥ AC. ………………………………………………………… 1分
又因为PA = 1，PB = 3，PC = 5，所以AB = PB2 - PA2 = 2，AC = PC2 - PA2 = 2.
又因为△ABC为以B为顶角的等腰三角形，所以BC = AB = 2， …………………………………………… 3分
则PB2 + BC2 = PC2，所以PB⊥BC，
又M为PC的中点，所以在Rt△PBC中，MB = MP = MC. ……………………………………………………… 5分
同理，在Rt△PAC中，MA = MP = MC，
所以MP = MA = MB = MC，则点M为三棱锥P-ABC的外接球球心 . ………………………………………… 7分
（2）解:如图，以 A为坐标原点，过点 A且垂直于平面 PAC的直线为 x轴，AC， z
P
AP所在直线分别为 y，z轴建立空间直角坐标系，
M
则A (0, 0, 0)，B (1, 1, 0)，C (0, 2, 0)，P (0, 0, 1)，
A
所以M (0, 1, 1 ) ( 1 , 1, 1 x N C y2 ，N 2 4 )，……………………………………………… 8分
??? B
所以AN = ( 12 , 1, 1 ???4 )，PB = (1, 1, -1 ???)，PC = (0, 2, -1). ………………… 10分 （第16题答图）
???
n PB = x + y - z = 0,
设平面PBC的一个法向量为n = (x, y, z)，则{ ???n PC = 2y - z = 0,
取 y = 1，解得 x = 1，z = 2，则n = (1, 1, 2)， …………………………………………………………………… 12分
??? || 1
??? + 1 +
1 ||
所以| cos < AN , n > | = | AN n | | 2 2 |??? = 21 =
4 14
21 ， …………………………………………………… 14分| AN || n | 4 × 6
4 14
故AN与平面PBC所成角的正弦值为 21 . ………………………………………………………………… 15分
数学试题答案 第4页（共6页）
{#{QQABTYQUggAgAJAAABgCQQn6CgEYkAAAAAgGxAAcMAAAgRNABAA=}#}
17.解（: 1）把样本数据按从小到大的顺序排列：22，23，23，24，24，26，26，28.
因为8 × 40% = 3.2，所以样本的第40百分位数取第4个数据，为24. ………………………………………… 3分
样本的平均数为- = 1x 8 × (22 + 23 + 23 + 24 + 24 + 26 + 26 + 28) = 24.5， ………………………………… 5分
2 = 1方差为 s 8 × [ (-2.5)
2 + (-1.5) 2 + (-1.5) 2 + (-0.5) 2 + (-0.5) 2 + 1.52 + 1.52 + 3.52 ] = 3.5. ……………… 7分
（2 3）样本数据中超过 24的有 3个，故从样本中随机抽取 1个电池，该电池为优等品的概率为 8.用样本数据估计
3
总体数据，所以从A批次电池中随机抽取1个电池，该电池为优等品的概率为 8. …………………………… 9分
= C2 × ( 3
2 3
故所求概率为P 3 8 ) × (1 - 38 ) + C33 × ( 3 ) = 818 256. ………………………………………………… 12分
3 24.5 - 24.4（）虽然 B批次产品的平均值比 A批次降低了 24.5 ≈ 0.41%，但 B批次产品的方差比 A批次降低了
3.5 - 1
3.5 ≈ 71.43%，说明B批次电池的质量更好，
（没有定量计算平均值和方差降低的百分比，只定性比较平均值和方差的降低量，也同样得分 .）………… 14分
所以应选择B批次的电池 . …………………………………………………………………………………… 15分
18.（1）解：因为双曲线C的渐近线方程为 y = ± 3 x，所以可设双曲线C的方程为 x2 y23 = λ(λ ≠ 0).
由点P (-7,12) 144在双曲线C上，所以49 3 = λ，即λ = 1，
y2
所以双曲线C的标准方程为 x2 3 = 1. ……………………………………………………………………… 4分
x2
（说明：若直接设双曲线的方程为 2 y
2
2 = 1，扣2分 .）a b
（2）证明：（i）当直线 l的斜率不存在时，直线 l与双曲线C只有一个公共点A，不满足条件，………………… 5分
故设 l:y = kx + m，M (x1,y1)，N (x2,y2)，
直线 l过点B，所以 k + m = -2. ………………………………………………………………………………… 7分
{y = kx + m,联立 2 y2 = 1 得(3 k2) x2 2kmx m2 3 = 0，x 3 ,
≠ ± 3 + = 2km m2 + 3易知 k ，故 x1 x2 3 2，x1x2 = - 3 2 ，…………………………………………………………… 8分k k
+ = y1 + y2 = kx1 + m + kx2 + m = (kx1 + m) (x2 1) + (kx2 + m) (x1 1)所以 k1 k2 x1 1 x2 1 x1 1 x2 1 (x1 1) (x2 1)
2 6 (k + m)= kx1x2 + (m k) (x1 + x2) 2m = 3 k2 = 6 = -3. …………………………………………… 11分
x1x2 (x1 + x 22) + 1 (k + m) k + m
3 k2
（ii）设Q (x1 ,yQ)，T (x1 ,yT)，
数学试题答案 第5页（共6页）
{#{QQABTYQUggAgAJAAABgCQQn6CgEYkAAAAAgGxAAcMAAAgRNABAA=}#}
y
A，N Q，Q三点共线，所以 k2 = 1，…………………………………………………………………………… 12分x1
yT 0 12 3A，P，T三点共线，所以 1 = 1 + 7 = - 2. ………………………………………………………………… 14分x1
y1 y2
由（i）可知 k1 + k2 = x1 1 + 1 = -3，x2
y1 yQ 2yT
即 +
x1 1 x1 1 = x1 1，
所以 y1 + yQ = 2yT，得证 . ……………………………………………………………………………………… 17分
19.（1）解：f ′(x) = [ (a - 1) x - 1 ]ex + 1, f ″ (x) = [ (a - 1) x + a - 2 ]ex. ………………………………………… 2分
①当a ≤ 1时，若 x > 0，则 f ″ (x) < 0，f ′(x)在(0, + ∞)上单调递减，
∴ f ′(x) < f ′(0) = 0，
∴ f (x)在区间(0, +∞)上单调递减，符合题意；………………………………………………………………… 3分
②当1 < < 2 ′( ) (0, 2 - a 2 - aa 时，易知 f x 在 - 1 )上单调递减，在( - 1 , +∞)上单调递增，a a
∴ ∈ (0, 2 - a ) ′( ) < ′(0) = 0 ( ) (0, 2 - ax - 1 时，f x f ，f x 在a a - 1 )上单调递减 .
又 f ′( 1- 1 ) = 1 > 0 ∴ 2 - a 1， 存在 x0 ∈ ( - 1 , - 1 )，使得 f ′(x0) = 0，a a a
∴x ∈ (x0 , +∞)时，f ′(x) > f ′(x0) = 0，f (x)在(x0 , +∞)上单调递增，不符合题意；…………………………… 5分
③当a ≥ 2时，若 x > 0，则 f ″ (x) > 0，f ′(x)在(0, + ∞)上单调递增，
∴f ′(x) > f ′(0) = 0，
∴f (x)在(0, +∞)上单调递增，符合题意 . ……………………………………………………………………… 6分
综上，实数a的取值范围是(-∞, 1] [2, +∞). ………………………………………………………………… 7分
（2）证明：（i）若an > 0，则an + 1 = ln (an + 1) > 0.又a1 = 1 > 0，故 n ∈ N*,an > 0. …………………………… 8分
由（1）知当a = 2时，f (x) = (x - 2) ex + x + 2在(0, +∞)上单调递增，故 f (an + 1) > f (0) = 0， ……………… 9分
即(a an + 1 - 2) e n + 1 + an + 1 + 2 = (an + 1 - 2) (an + 1) + an + 1 + 2 > 0 1，变形得 - 1 < 12，………………… 11分an + 1 an
1
故 = 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + + 1 - 1 ≤ 1 + n - 1 = n + 1 2，∴a ≥ . ……………… 12分
an a1 ( a2 a1 ) ( a3 a2 ) ( an a nn - 1 ) 2 2 n + 1
（ii）由（1）知当a = 1时，f (x) = -ex + x + 1在(0, + ∞)上单调递减，………………………………………… 13分
故 f ( 1+ 1 ) < f (0) = 0，………………………………………………………………………………………… 14分n
-e 1+ 1 + 1即 n + 1 + 1 < 0
1 n + 2
，变形得 + 1 > ln + 1.…………………………………………………………… 15分n n n
由（i ≥ 2 n + 2）得an + 1，故an n > 2ln n + 1，………………………………………………………………………… 16分
故an + an + 1 + + > 2 (ln n + 2 + ln n + 3a2n + 1 + 2 + + ln 2n + 22 + 1 ) = 2ln 2. ………………………………… 17分n n n
数学试题答案 第6页（共6页）
{#{QQABTYQUggAgAJAAABgCQQn6CgEYkAAAAAgGxAAcMAAAgRNABAA=}#}秘密★启用前
运城市2025一2026学年第一学期期未调研测试
高三数学试题
2026.02
本试题满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上。
注意事项：
1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上
的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1.已知集合A={x2x-4>0以，B={xlx2-3x-4>0,则A∩C.B=
A.{x-2
B.{xl-2C.{xl2D.{x22.已知{a}为等差数列，{b}为等比数列，若a1=b,=1,a2=b2=2,则a4-b,=
A.-12
B.-4
C.4
D.12
3.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，PA=AB=2,点C是弧AB的中
D
点，则三棱锥P-ABC的体积为
A
B
c
D.1
(第3题图)
4.已知复数z满足(1-)(1-)=-2zi,则|z=
A.1
B.V2
C.V3
D.2
数学试题第1页（共4页）
5.甲、乙、丙、丁、戊、己共6个班参加元旦合唱比赛，决出第1名到第6名的名次.甲、乙
两个班的学生去询问成绩，评审老师对甲班学生说：“很遗憾，你们班和乙班都不是第
1名.”对乙班学生说：“你们班当然不会是最后1名.”从这两个回答分析，6个班的名
次排列可能的不同情况种数为
A.480
B.384
C.360
D.288
6.以F(0,1)为焦点，直线y=-2为准线的抛物线的方程为
A.x2=-6y+3B.x2=-6y-3
C.x2=6y+3
D.x2=6y-3
7.已知a=1go,0.5,b=1go60.5,c=0.304,则
A.cB.cC.bD.a&已知椭圆C,二+=1(@>b>0)的左右焦点分别为P,F,点P,M,N在椭圆C上，且
满足阴-双，丽：-“，若精圆C的肉心半：0则A+的取值范丽是
A.(3,14]
B.(2,14]C.(3,15]
D.(2,15]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9已妇f数-ner-
4
-cos wx(w>0)的最小正周期是T,则
A.0=2
B.f(x)在
到上的最大值是
C元三是f()的一条对称轴
D.f(x)在
上单调递增
10.如图，在△ABC中，AM=MC,AN=2NB,BM交CN于点E,且
BE·CE=0,则
A.BE=-
丽+4c
B配-号西-c
C.cosA的最大值为
2
D.cosA的最小值为y3
(第10题图)
数学试题第2页（共4页）
