山东省济南市平阴县实验高级中学2025-2026学年高二上学期1月阶段检测数学试卷（含解析）

山东省济南市平阴县实验高级中学2025-2026学年高二上学期1月阶段检测数学试题
一、单选题
1．已知，，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
4．若直线：与直线：平行，则实数为（ ）
A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1
5．已知数列满足，，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
6．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为（ ）
A．11 B．12 C．14 D．16
7．如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，，为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点.若圆柱的底面圆半径为1，，则下列结论不正确的是（ ）

A．椭圆的长轴长为4 B．椭圆的离心率为
C．满足的点共有4个 D．的最大值为8
二、多选题
9．已知数列的前项和，则（ ）
A．当且仅当时取到最小值 B．
C．数列是等差数列 D．
10．已知圆：，则下列结论正确的是（ ）
A．圆关于直线对称
B．对，直线与圆都相交
C．点为圆上任意一点，则的最大值为9
D．圆与圆的公共弦长为
11．在平面直角坐标系中，曲线上的点到点的距离之积为定值，且曲线经过坐标原点，若点为曲线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．点在曲线上 B．的取值范围为
C．曲线的方程为 D．的最大值为4
三、填空题
12．已知，则 .
13．已知双曲线：（，）的右焦点为.为坐标原点，若在的左支上存在关于轴对称的两点，，使得，且，则的离心率为 .
14．《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2，被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列，，将，中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列，则 .
四、解答题
15．等差数列满足，.
(1)求的通项公式和前项和；
(2)设等比数列满足，，求数列的前项和.
16．已知圆经过点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)求过点与圆相切的直线方程.
17．已知抛物线E：（）经过点.
(1)求抛物线E的方程；
(2)设直线交抛物线E于、B两点，且直线与倾斜角互补，求的值.
18．如图，在三棱锥中，为等边三角形，是的中点，，平面．
(1)求与平面所成角的正弦值；
(2)若平面于点，求平面与平面夹角的余弦值．
19．极点与极线是射影几何学研究中的重要理论，对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应椭圆的极线为.已知，为椭圆的左右焦点，点为上动点，若，则对应椭圆的极线经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若动点对应椭圆的极线交于两点，求证：以为直径的圆恒过，；
(3)若为曲线上的动点，且点对应椭圆的极线交椭圆于两点，判断四边形的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A B B C C D BCD ABD
题号 11
答案 ACD
1．B
【详解】因为，所以，解得.
故选：B
2．C
【详解】双曲线的渐近线方程为，即，
故选：C.
3．A
【详解】设等差数列的公差为，因为且，
可得，解得.
故选：A.
4．B
【详解】由题意可得：，
解得：，
当时，直线：与直线：平行，
当时，直线：即，与直线：，重合，舍去，
故，
故选：B
5．B
【详解】由，，则，，
所以，
所以数列是周期为3的周期数列，则.
故选：B.
6．C
【详解】由抛物线方程得，设，，
由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点，所以，，，
所以，即该光线经过的路程为，
故选：C
7．C
【详解】在直三棱柱中，底面，
以点为坐标原点，，、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，设点、，
，，
由于，则，可得，
，则，
.
故选：C.
8．D
【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，
椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，
则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，故A选项正确；
显然，，解得，则，离心率，故B选项正确；
以椭圆的对称中心为圆心，为半径作圆，由，可知与椭圆有4个交点，所以满足的点共有4个，故C选项正确；
由椭圆定义，可得，根据不等式，可得，解得，当且仅当时，取得最大值，故D选项错误.
故选：D.
9．BCD
【详解】选项A ，已知，这是一个二次函数，开口向上，对称轴为，
由于是正整数，因此当时，取得最小值，故A错误；
选项B，由题意得， 当时，，
当时， ，上式也成立，所以，故B正确；
选项C，由题意得，
因为，所以数列是等差数列，故C正确；
选项D，令，则解得，所以当时，，当时，，当时，，
故，故D正确.故选：BCD.
10．ABD
【详解】圆的标准方程为：，
对于A，因圆心在直线上，故圆关于直线对称，即A正确；
对于B，对，直线，即，
则直线经过定点，
而该点在圆内，故，直线与圆都相交，即B正确；
对于C，依题意，在上，而可理解为圆上的点与点的距离，由图知，
所以的最大值为81， 故C错误.
对于D，点与点的距离为，，
所以圆与圆相交，
将与相减得，公共弦所在直线的方程为：，
圆心到直线的距离等于，
所以公共弦长为.故D正确，
故选：ABD
11．ACD
【详解】对于C，因为曲线经过坐标原点，所以．
因为点为曲线上一点，所以，
所以，整理得，
所以曲线的方程为，所以C选项正确；
对于A，点的坐标满足方程，所以A选项正确；
对于B，的面积，
所以，存在使得，取最大值，
，由题意，为原点也符合题意，故，B选项错误；
对于D，因为，则，
即①，
根据余弦定理可得，
即②，
联立①②可得，即，
当P点位于的两侧且在x轴上时“=”成立，
即的最大值为4，所以D选项正确.
故选：BCD．
12．
【详解】,则.
故答案为:
13．/
【详解】轴，令垂足为，由双曲线的对称性知，则是正三角形，
又，，则是的中心，，
而，则，点在双曲线，
因此，即，整理得，即，
解得，所以的离心率
故答案为：
14．239
【详解】因为，
可知数列是首项为2，公差为3的等差数列，是首项为2，公差为4的等差数列，
可得，
又因为数列，的相同的数组成的数列为，
可知数列是首项为2，公差为12的等差数列，可得，
则数列依次为，
可得，所以.
故答案为：239.
15．(1)，
(2)
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，可得，
，解得，则.
所以，.
（2）解：设等比数列的公比为，则，，
所以，.
16．(1)
(2)和
【详解】（1）设圆的标准方程为，
由题意得，
所以圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，符合题意，
当直线斜率存在时，设该斜率为，此时直线方程为，
即，圆心到该直线的距离为，
即，解得，
此时直线方程为，
故所求直线方程为和.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由题意知：，所以抛物线方程为 .
（2）联立方程，得，
设，
则，，
因为直线与倾斜角互补，，
,
,
，
代入得，，
解得.
18．(1)
(2)
【详解】（1）因为为等边三角形，是的中点，则，且平面，
以为坐标原点，分别为轴，过平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
（2）由（1）可得：，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
因为平面，则直线的方向向量可以为，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
由题意可知：平面的法向量可以为 ，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)是定值，
【详解】（1）由点为椭圆上的动点，则将点坐标值代入椭圆方程得，
又由极点极线定义可知，点对应椭圆的极线
极线过点，所以，
联立方程解得，所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知动点对应椭圆的极线，
联立方程，解得或，
不妨令，，
由椭圆的方程易知，，所以，，
又因为点在椭圆上，则，，所以，
同理可知，所以，所以以为直径的圆恒过，；
（3）由题意知曲线的方程为，又在曲线上，
点对应椭圆的极线，
联立，，即，
，不妨令，，，，
设为的中点所以，，
所以点同时为的中点，即四边形为平行四边形.即.
，
点到直线的距离，
所以，
.