寒假提升试题（4） 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册

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寒假提升试题（4） 2025-2026学年
上学期初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果多项式是完全平方式，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，下列数轴上的四个点，能表示的点是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（ ）
A． B．
C． D．
5．若分式中字母和都增大到原来的倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．缩小为原来的
6．若为正整数，则表示的是（ ）
A．3个相乘 B．4个相加
C．3个相加 D．5个相乘
7．如图，是平分线上的一点，点分别在射线上，满足．若的面积是1，则的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在四边形中，，，垂足分别是，，．求证：．以下是乱序的证明过程：
；
；
，；
在和中，；
．
证明步骤正确的顺序是（ ）
A． B．
C． D．
9．关于下列自左向右的两个变形，其中说法正确的是（ ）
甲：；乙：．
A．甲、乙均是因式分解 B．甲、乙均不是因式分解
C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解
10．古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是
A． B．
C． D．
11．甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则：两人轮流给及对应的边或角添加等量条件（，，分别是点，，的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．下表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（ ）
轮次 行动者 添加条件
甲
乙
甲
①若第轮甲添加，则乙获胜；
②若甲想获胜，则第轮可以添加条件“”；
③此游戏最多轮必分胜负．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地．
甲：，路程为．
乙：，路程为．
丙：，路程为．
下列关于的关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知图中的两个三角形全等，则 °．
14．因式分解： ．
15．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，请添加一个条件，使△ABE≌△ACD，你添加的条件是 ．
16．若，在如图所示的数轴上标注了四段，则表示的点落在线段 处．（请从①②③④中选择正确的答案填在横线上）
17．如图，在正方形中，M是边上的一个动点，连接，以为边，在的右侧作等边三角形，连接与交于点P．
（1）当点M与点D重合时，若，则点N到的距离为 ．
（2）当最小时， ．
三、解答题
18．计算：．
19．如图，，，．求证：．
20．如图，在中，点，，，请画出关于轴对称的，并写出点，的对应点，的坐标．
21．先化简，再从1，2，3中选取一个合适的数作为a的值代入求值．
22．如图，在中，，垂足为，，．
(1)求的度数；
(2)若是的平分线，求的度数．
23．某校组织学生乘汽车去研学实践基地开展研学实践活动，路线有两种方案选择：
方案一：省道 方案二：高速公路
路程
优缺点分析 路途短，但路上货车多，影响速度，用时比方案二多20分钟． 路途长，但是速度快，平均速度是方案一的倍
问：方案二需要的时间是多少分钟？
24．某种细菌在培养基上以规则的方式生长，形成一个圆形的菌落，菌落的面积S与其生长时间有关．已知当生长时间为t（单位：小时）时，菌落的半径r（单位：毫米）满足．
(1)求该菌落的面积S．（面积用含和t的代数式表示）
(2)另一种细菌的菌落生长更快，形成一个圆形的菌落，其面积．
①求该种菌落的半径．（用含t的代数式表示）
②将第一种细菌和第二种细菌在上述环境下培养t小时，请用含和t的式子表示它们的面积之差，并将其因式分解．
25．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，请你直接写出，，三个代数式之间的等量关系．
(2)①已知，，求的值．
②已知，求的值．
(3)将两个正方形，如图3摆放．若两个正方形面积之和为65，，直接写出图中阴影部分的面积之和．
26．【问题背景】
（1）如图1，直线l经过点C，，，分别过点A，B分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：．
【问题探究】
（2）如图2，在中，，D为上一点，E是上一点，且，，．若，求的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，，，的面积为20，请直接写出四边形的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A B A C D B A
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴对称）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
2．D
【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方式的定义，比较系数之间的关系求解．
【详解】解：，
是完全平方式，
，
，
．
故选：D．
3．C
【分析】此题考查了负整数指数幂和在数轴上表示有理数．先计算出数值，再根据数值确定位置即可．
【详解】解：，
∵在和1之间且靠近1，
∴数轴上的四个点，能表示的点是，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
根据高线的定义即可得出答案．
【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，
借助直角三角板作的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是，
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．把分式中的换成，换成，然后根据分式的基本性质进行化简即可．
【详解】解：∵分式中字母和都增大到原来的倍，
∴，
即分式的值缩小到原来的，
故选：B．
6．A
【分析】此题考查了幂的乘方，根据幂的乘方的定义进行判断即可．
【详解】解：若为正整数，则表示的是3个相乘，
故选：A
7．C
【分析】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积，掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解本题的关键．
如图，过作于 作于 ，再证明，再结合三角形的面积可得答案．
【详解】解：如图，过作于 作于
∵平分，
∴，
∵，，
∵
∴
∵的面积是1，
∴
故选C．
8．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由，，得，然后通过“”证明，最后由全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：，，
，
在和中，；
；
，
∴证明步骤正确的顺序是，
故选：．
9．B
【分析】此题考查了因式分解的定义．
因式分解需将多项式分解为整式的乘积，甲中左边为单项式，乙中右边为和的形式，均不满足定义．
【详解】解：∵ 因式分解的对象必须是多项式，甲中是单项式，
∴ 甲不是因式分解．
∵ 因式分解的结果必须是整式的乘积，乙中是和的形式，
∴ 乙不是因式分解．
∴ 甲、乙均不是因式分解，
故选B．
10．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克，根据题意列出方程，正确理解题意，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克，
根据题意得，，
故选：．
11．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵第一轮甲添加，第二轮乙添加，
∴若第轮甲添加，满足，，甲失败，乙获胜，故①正确；
若甲添加，满足，，甲失败，故②错误；
游戏已进行两轮，第三轮甲添加条件后若不全等（如添加），则第四轮乙添加任何条件（如、或)均会导致全等，乙失败，故最多轮必分胜负，③正确；
综上，说法正确的是①③，
故选：．
12．D
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较．设，利用等边三角形性质得出甲、丙的路程均为，分析四边形，得出乙的路程小于，比较得出．
【详解】解：设，
∵有两个角是，故是等边三角形，
∴，即
∵和各有两个角是，故是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
乙的路程∵，
∴，
∴，
∵有两个角是，故是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
13．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形对应角相等来确定的度数．
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，找到与对应的角，从而得出的度数．
【详解】解：因为两个三角形全等，在左边的三角形中，边长为a和c的两边的夹角是，右边的三角形中，边长为a和c的两边的夹角为，根据全等三角形对应角相等，所以．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查因式分解，掌握好因式分解的方法是关键．通过提公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
15．AC=AB
【分析】添加的条件是AC=AB，由∠A=∠A，∠B=∠C，根据有两角和夹边对应相等的两三角形全等即可得到答案．
【详解】∵∠A=∠A，∠B=∠C，AC=AB，
∴△ABE≌△ACD.
故答案为AC=AB.
【点睛】本题考查对全等三角形的判定定理的理解和掌握，解此题的关键是添加正确的条件.
16．③
【分析】本题主要考查了分式的求值，有理数与数轴，化简分式可得原式，再把代入分式中计算求值．
【详解】解：
，
原式，
又，
表示的点落在线段③处．
故答案为：③．
17． 3
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由正方形的性质可得，，由等边三角形的性质可得，则，据此求出的长即可得到答案；
（2）在右侧，以为边作等边，连接，可证明，得到，即，则当时，有最小值，此时，由平行线的性质可得．
【详解】解：（1）如图所示，过点N作交的延长线于点H，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，且点M与点D重合，
∴，
∴，
∴，
∴点N到的距离为3，
故答案为：3；
（2）如图所示，在右侧，以为边作等边，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即
∴点N在射线上运动，
∴当时，有最小值，此时，
∴，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了多项式除以单项式、完全平方公式，根据多项式除以单项式的法则和完全平方公式计算即可；
【详解】解：
．
19．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，由平行线的性质得到，再证明，则可利用证明．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．图见解析，，
【分析】本题考查作图－轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
分别作出A，B，C 的对应点，然后连线，再根据图形写出点，的坐标即可．
【详解】解：如图，即为所求．
由图可得，，．
21．，当时 ，原式
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把对应分式的分子，分母分解因式，再约分，然后计算分式减法化简，最后根据分式有意义的条件确定a的值，并代入求值即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时 ，原式．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和得到；根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴
∵
∴
∴
（2）∵是的平分线，
∴
在中，
∴
23．140分钟
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．
设方案二需要的时间为分钟，则方案一需要的时间为分钟，根据“方案二的平均速度是方案一平均速度的倍”列出方程即可解答．
【详解】解：设方案二需要的时间为分钟，则方案一需要的时间为分钟，
列方程得，
方程两边乘，得，，
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为：，
答：方案二需要的时间为140分钟．
24．(1)
(2)①；②
【分析】该题考查了因式分解的应用、二次根式的性质、整式的乘法．
（1）将代入圆面积公式求解即可；
（2）①设该种菌落的半径为，根据，求解即可．
②求出并因式分解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得；
（2）解：①设该种菌落的半径为，
则，
∴，
即求该种菌落的半径为；
②
．
25．(1)
(2)①4；②9
(3)
【分析】本题考查分式的混合运算、因式分解、完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是掌握完全平方公式的变形．
（1）根据图形可以用不同的方法表示阴影部分的面积，得出之间的等量关系；
（2）①根据（1）的结论可得，再代入即可解答本题；②根据（1）的结论可得，再代入即可求得所求式子的值．
（3）设正方形和正方形的边长分别为，根据题意得出，根据完全平方公式求出，根据（1）的结论可得，求出，根据图中阴影部分的面积之和代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得图2中阴影部分面积或，
∴，
故答案为：；
（2）解：①∵，，，
．
②∵，，，
，
解得：．
（3）解：设正方形和正方形的边长分别为，
∵两个正方形面积之和为65，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值已舍去），
∴图中阴影部分的面积之和
．
26．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，作出正确的辅助线是解题的关键．
（1）根据垂直得出直角三角形，根据同角的余角相等得出相等角，最后利用证明三角形全等即可；
（2）过点作交于点，同理可得，可得，再根据等腰三角形的性质可得，即可解答；
（3）过点作交的延长线于点，过点作于点，同理可得，可得，利用三角形面积公式求得，即可求得，根据勾股定理求得，利用四边形的面积，即可解答．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作交于点，
根据（1）中原理可得，
，
，，
，
；
（3）解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，
，，
同（1）中原理可得，
，
的面积为20，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的面积．
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