27.2.1 相似三角形的判定 教学设计（表格式）人教版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 27.2.1 相似三角形的判定 教学设计（表格式）人教版数学九年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-07 00:00:00 | ||
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文档简介
教学设计
课题名称 《相似三角形的判定》
教材分析 本课时主要内容是相似三角形的判定，本课是继轴对称、平移和旋转之后接触的又一种图形的变换，是直线型研究的继续，即从几何中保距变换的研究进入保角变换的研究，具体表现在线段关系从“相等”发展为“成比例”,多边形从“全等”发展为“相似”.相似图形承接全等图形，是对前面所学全等三角形等知识的拓展和延伸，进一步对相似三角形的本质和定义的全面研究.全等是相似的特例，同时，相似是研究直线型图形的有效工具，也为以后学习相似三角形的判定定理二、三以及相似三角形的性质、圆中比例线段和三角函数等奠定了理论基础，因此，本节知识在教材中有着承上启下的重要作用.定定理1的探索过程及证明.
学情分析 学生已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识，掌握了三角形相似的概念及定义以及相似三角形的预备定理，对三角形相似有了一定的认识.本次任教班级学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象能力，有一定的自主学习意识，基础知识较扎实、思维较活跃，表达能力较强，能较好地理解课本上的知识，但灵活运用知识解决综合问题的能力还有待进一步提高.
教学目标 1.通过梳理全等三角形与相似三角形的内部联系，能够类比全等三角形的判定提出三条相似三角形判定定理的猜想. 2.经历设计研学任务单、画图、计算、演绎推理等过程，体会探究几何定理的一般步骤，发展几何直观能力、数据观念及推理能力. 3.能运用相似三角形的判定定理1来证明三角形相似，发展推理能力.
重难点 重点：相似三角形判定定理1的探索及证明. 难点：相似三角形判定定理1的证明.
核心素养 对于相似三角形的判定，教材是从角到边，即从三对角、两对角、一对角对应相等到两条边对应成比例且其夹角对应相等，然后再到三条边对应成比例来讲述，这样的顺序比较自然，也符合学生的认知规律.教材中首先通过类比的方法，比照三角形全等的判定引出三角形相似的判定，然后，对于每一种判定方法，教材再用“探索”、“思考”等栏目进一步验证，并提出合理猜想，最后用演绎推理的方法加以证明；或者仅仅提出问题让学生思考，例如提出“如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似 ”等问题，对于这些问题，教材中没有过多地展开，主要是把有关结论留给学生去发现，给学生探索的空间.
教学策略 “应当通过信息技术的演示或者实物的操作”是对怎么学的规定性建议，强调要根据学生的认知规律和本节课的知识类型创设必要的信息技术演示以及实物的操作，具体到本节课，首先让学生通过动手画图、测量、计算等活动直观感知两角分别相等的两个三角形是相似的，再利用几何画板验证“两角分别相等的两个三角形相似”的猜想，紧接着借助实物三角形纸板演示两个三角形叠合的过程，以便抽象出利用“同一法”证明判定定理的辅助线的作法.
教学过程
教学环节 内容 设计意图
创设情景 发现问题 问题1:对于图中两位同学测量旗杆高度的方法，大家有什么疑惑吗 教师板书：§23.3.2相似三角形的判定)(多媒体展示学习目标) 从实际生活出发创设情景 引导学生根据视频发现问题，提出问题.激发学生的学习兴趣的同时，感受相似三角形判定定理的应用价值。
类比探究提出问题 问题2:在前面学习过全等三角形的判定定理，全等三角形与相似三角形有什么关系呢 问题3:既然可以将全等三角形看作相似比头1的相似三角形，那么可否类比全等三角形的判定定理通过弱化判定条件来得到相似三角形的判定定理呢 (此时，学生可能会存在疑惑，教师加以引导：比如全等三角形的判定定理“角边角”,这意味着两个三角形中有两对角分别相等，它们的夹边之比等于1,那么这两个三角形就全等，如果“夹边”之比为任何其他值，那么可以考虑这两个三角形是否相似.显然，如果“夹边”之比可以为任何值，说明这个条件对判定两个三角形是否相似没有关系，这样就只需考虑两对角分别相等是否能使两个三角形相似的问题了.) 问题4:能类比全等三角形的其他几个判定定理：角角边、边角边、边边边、斜边直角边也得出类似的结论吗 学生：全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1 学生：思考、分析、类比老师的提示得出相似三角形的另外两条探究思路. 将全等三角形看作相似比为1的相似三角形，揭示了全等三角形和相似三角形之间的关系.正是二者之间的这种内在联系，启发可以用类比的方法来研究相似三角形，为解决问题提供思路和方法.体会从特殊到一般的问题探究方式.这样，不仅使进一步探索的目标具体，而且可以加深学生对判定定理的理解，同时也可以培养学生用联系、类比的方法探索研究问题的能力。
实验推理 分析问题 问题5:我们要研究“两角分别相等的两个三角形是否相似”这个问题 研学思路是什么呢 请参考以往探究几何定理的经验设计研学任务单 老师：通过画图来验证“两角分别相等的两个三角形是相似的”会产生误差从而导致实验结果不严谨，于是再借助几何画板来验证两个角相等的两个三角形是相似的。 学生：在导学案上尝试设计探究“两角分别相等的两个三角形是否相似”的研学任务单并在班级里分享交流.观察几何画板演示，验证猜想. 通过自主设计研学任务单，习得研究几何定理的通法，并动手画图、测量、计算以及展示交流，让学生直观感受两角分别相等的两个三角形是相似的，加强合情推理能力的培养，让学生充分体验得出结论的过程，感受发现的乐趣.在这一过程中发展学生的几何直观能力、动手操作能力以及数据观念最后辅以几何画板验证猜想，培养学生严谨的数学思维.
合作交流 解决问题 问题6:我们能用来证明两个三角形相似的方法有哪些 问题7:能不能改变这两个独立的三角形的位置使得他们符合前面所学的相关知识呢 问题8:我们该如何用符号语言来描述将一个三角形移动到另一个三角形上这一过程呢 这一过程的本质是什么 问题9:那根据全等三角形的判定定理，你能想到哪些作辅助线的方式呢 证明：两角分别相等的两个三角形相似 已知： 求证： 要求： 1.小组合作讨论辅助线的作法并写出证明过程. 2.小组代表上台讲解展示解题思路 教师板书：两角分别相等的两个三角形相似 符号语言：在△ABC和△DEF中， ∴△ABC∽△DEF 问题10:只有一对角相等的两个三角形相似吗 为什么 你能用你常用的学习用具举例说 明吗 学生：相似三角形的定义和预备定理。 学生：通过叠合的方式让两个三角形成为满足预备定理的“A字 型”和“8字型”(学生利用教具演示) 学生：构造全等! 小组合作讨论，小组代表上台展示解题思路 在这里证明相似三角形的判定定理1采用“同—法”证明，“同一法”的证明方式只在勾股定理的逆定理的证明过程中遇见过所以如何引导学生得出辅助线的作法是一个难点，此时教师适时点拨引导让学生发现通过构造全等三角形的方法可以实现三角形的移动从而找到证明思路，启发学生从变换的观点来看待证明过程，然后小组合作讨论辅助线的作法并写出证明过程，从而突破本节课的教学难点，并且在这一过程中培养学生合作交流、观察分析及语言概括能力，让学生体验到学习数学的成就感.培养学生的符号语言表达能力，规范几何解题格式根据探索思路继续探究一对角相等的两个三角形是否相似.培养逻辑思维的严谨性。
内化理解 应用新知 先独立完成例题，再在班级内交流展示解题思路与证明过程观看多媒体演示题目图形的变化过程，体会“一题多变”的数学魅力. 老师：同学们，经过这节课的学习，你能解释视频中同学测量旗杆高度的方法及其原理吗 老师：古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理来测量胡夫金字塔的高度。 老师：中国古代的天文、数学著作《周髀算经》记录利用竹子测量太阳直径.. 学生：利用本节课的知识解释视频中同学测量旗杆高度的方法及原理了解历史上相似三角形的广泛应用.感受数学史. 这道例题是对相似三角形判定定理1的简单运用，从第1小问至第4小问是通过改变图形的形状来实现变式 并结合PPT的动态演示让学生直观地感受这个变化过程，让学生学会从变换的观点来看待问题 体会“一题多变”的数学魅力，题目的设置从易到难， 由浅入深，始终在学生知识的 “最近发展区”设置问题，目的是让学生熟练地运用相似三角形 判定定理1进行严格的演绎推理，在此过程中适当进行方法小结帮助学生学会利用三角形相似的 判定定理1证明两个三角形相 似.同时在这一过程中不断地让学生去认识相似三角形的基本 型.为后续探索更复杂的图形打好理论基础. 例题均由学生讲解展示，让学生充分参与课堂，成为课堂的主体，获得学习的成就感，从而 突出本节课的教学重点，并在这一过程中，发展学生的合作交流、语言表达等能力. 利用本课知识解决课前提出的实际问题，体会“数学来源于生活，又服务于生活”,感受模型观念，也与课前的引入首位呼应，保持本堂课的完整性.同时发展学生的应用意识和创新意识 随后介绍历史上相似三角形的广泛应用，渗透数学史.
课堂小结 1.我们是如何提出相似三角形的猜想的 2.对于提出的猜想，我们又经历了哪些步骤去分析问题呢 3.在验证的过程中又什么需要注意的地方 4.我们是怎样找到方法去证明猜想的 5.若要进一步研究另外两条猜想，我们应该按照怎样的思路进行研究呢 抛出问题串引导学生对本节课的研究思路进行总结、回顾、盘点.让学生从“学会”到“会学”,力求达到“为不教而 教”目的. 作业设计中书面作业题目的设置紧扣教学目标，与课堂练习相辅相成.分层设计，以促进不同层次的学生发展.此外，还特别设置了基于本节课单元教师设计的作业，让学生习得研究相似三角形判定定理的通法，实现见树木更见森林的效果.力求符合当下“双减”背景。
教学反思 本课秉承教学评一致性教学设计的理念，即在教学设计中，教学活动、学习目标、评估任务保持内在一致性.学习目标不仅仅以教材为依据，还以学科核心素养和学科课程标准为依据，首先围绕课标(2022年版)、教材(华东师大版)与学情制定学习目标，再围绕学习目标设计评估任务，最后围绕评估任务设计教学过程.这种逆向教学设计，始终以学习目标为引导，以学习结果为导向，追求学习目标达成度，遵循学生学习的心理发生过程，服务于学生的学，充分发挥学生的主体作用.
板书设计
作业设计 布置作业： 1.必做题： 《相似三角形的判定》作业单A组题. 2.选做题： (1)《相似三角形的判定》作业单B组题 (2)基于本节课的学习经验，若要进一步探究相似三角形的另外两条猜想，你认为我们应该 按照怎样的思路进行研究呢 你能证明另外两 考虑到学生的个体差异，为促使学生得到不同的发展，设计了必做题和选做题。必做题是对本节课知识内容的巩固。选做题是为了给学生留有课后思维发散的空间，同时调动学生学习积极性，开阔视野。
课题名称 《相似三角形的判定》
教材分析 本课时主要内容是相似三角形的判定，本课是继轴对称、平移和旋转之后接触的又一种图形的变换，是直线型研究的继续，即从几何中保距变换的研究进入保角变换的研究，具体表现在线段关系从“相等”发展为“成比例”,多边形从“全等”发展为“相似”.相似图形承接全等图形，是对前面所学全等三角形等知识的拓展和延伸，进一步对相似三角形的本质和定义的全面研究.全等是相似的特例，同时，相似是研究直线型图形的有效工具，也为以后学习相似三角形的判定定理二、三以及相似三角形的性质、圆中比例线段和三角函数等奠定了理论基础，因此，本节知识在教材中有着承上启下的重要作用.定定理1的探索过程及证明.
学情分析 学生已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识，掌握了三角形相似的概念及定义以及相似三角形的预备定理，对三角形相似有了一定的认识.本次任教班级学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象能力，有一定的自主学习意识，基础知识较扎实、思维较活跃，表达能力较强，能较好地理解课本上的知识，但灵活运用知识解决综合问题的能力还有待进一步提高.
教学目标 1.通过梳理全等三角形与相似三角形的内部联系，能够类比全等三角形的判定提出三条相似三角形判定定理的猜想. 2.经历设计研学任务单、画图、计算、演绎推理等过程，体会探究几何定理的一般步骤，发展几何直观能力、数据观念及推理能力. 3.能运用相似三角形的判定定理1来证明三角形相似，发展推理能力.
重难点 重点：相似三角形判定定理1的探索及证明. 难点：相似三角形判定定理1的证明.
核心素养 对于相似三角形的判定，教材是从角到边，即从三对角、两对角、一对角对应相等到两条边对应成比例且其夹角对应相等，然后再到三条边对应成比例来讲述，这样的顺序比较自然，也符合学生的认知规律.教材中首先通过类比的方法，比照三角形全等的判定引出三角形相似的判定，然后，对于每一种判定方法，教材再用“探索”、“思考”等栏目进一步验证，并提出合理猜想，最后用演绎推理的方法加以证明；或者仅仅提出问题让学生思考，例如提出“如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似 ”等问题，对于这些问题，教材中没有过多地展开，主要是把有关结论留给学生去发现，给学生探索的空间.
教学策略 “应当通过信息技术的演示或者实物的操作”是对怎么学的规定性建议，强调要根据学生的认知规律和本节课的知识类型创设必要的信息技术演示以及实物的操作，具体到本节课，首先让学生通过动手画图、测量、计算等活动直观感知两角分别相等的两个三角形是相似的，再利用几何画板验证“两角分别相等的两个三角形相似”的猜想，紧接着借助实物三角形纸板演示两个三角形叠合的过程，以便抽象出利用“同一法”证明判定定理的辅助线的作法.
教学过程
教学环节 内容 设计意图
创设情景 发现问题 问题1:对于图中两位同学测量旗杆高度的方法，大家有什么疑惑吗 教师板书：§23.3.2相似三角形的判定)(多媒体展示学习目标) 从实际生活出发创设情景 引导学生根据视频发现问题，提出问题.激发学生的学习兴趣的同时，感受相似三角形判定定理的应用价值。
类比探究提出问题 问题2:在前面学习过全等三角形的判定定理，全等三角形与相似三角形有什么关系呢 问题3:既然可以将全等三角形看作相似比头1的相似三角形，那么可否类比全等三角形的判定定理通过弱化判定条件来得到相似三角形的判定定理呢 (此时，学生可能会存在疑惑，教师加以引导：比如全等三角形的判定定理“角边角”,这意味着两个三角形中有两对角分别相等，它们的夹边之比等于1,那么这两个三角形就全等，如果“夹边”之比为任何其他值，那么可以考虑这两个三角形是否相似.显然，如果“夹边”之比可以为任何值，说明这个条件对判定两个三角形是否相似没有关系，这样就只需考虑两对角分别相等是否能使两个三角形相似的问题了.) 问题4:能类比全等三角形的其他几个判定定理：角角边、边角边、边边边、斜边直角边也得出类似的结论吗 学生：全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1 学生：思考、分析、类比老师的提示得出相似三角形的另外两条探究思路. 将全等三角形看作相似比为1的相似三角形，揭示了全等三角形和相似三角形之间的关系.正是二者之间的这种内在联系，启发可以用类比的方法来研究相似三角形，为解决问题提供思路和方法.体会从特殊到一般的问题探究方式.这样，不仅使进一步探索的目标具体，而且可以加深学生对判定定理的理解，同时也可以培养学生用联系、类比的方法探索研究问题的能力。
实验推理 分析问题 问题5:我们要研究“两角分别相等的两个三角形是否相似”这个问题 研学思路是什么呢 请参考以往探究几何定理的经验设计研学任务单 老师：通过画图来验证“两角分别相等的两个三角形是相似的”会产生误差从而导致实验结果不严谨，于是再借助几何画板来验证两个角相等的两个三角形是相似的。 学生：在导学案上尝试设计探究“两角分别相等的两个三角形是否相似”的研学任务单并在班级里分享交流.观察几何画板演示，验证猜想. 通过自主设计研学任务单，习得研究几何定理的通法，并动手画图、测量、计算以及展示交流，让学生直观感受两角分别相等的两个三角形是相似的，加强合情推理能力的培养，让学生充分体验得出结论的过程，感受发现的乐趣.在这一过程中发展学生的几何直观能力、动手操作能力以及数据观念最后辅以几何画板验证猜想，培养学生严谨的数学思维.
合作交流 解决问题 问题6:我们能用来证明两个三角形相似的方法有哪些 问题7:能不能改变这两个独立的三角形的位置使得他们符合前面所学的相关知识呢 问题8:我们该如何用符号语言来描述将一个三角形移动到另一个三角形上这一过程呢 这一过程的本质是什么 问题9:那根据全等三角形的判定定理，你能想到哪些作辅助线的方式呢 证明：两角分别相等的两个三角形相似 已知： 求证： 要求： 1.小组合作讨论辅助线的作法并写出证明过程. 2.小组代表上台讲解展示解题思路 教师板书：两角分别相等的两个三角形相似 符号语言：在△ABC和△DEF中， ∴△ABC∽△DEF 问题10:只有一对角相等的两个三角形相似吗 为什么 你能用你常用的学习用具举例说 明吗 学生：相似三角形的定义和预备定理。 学生：通过叠合的方式让两个三角形成为满足预备定理的“A字 型”和“8字型”(学生利用教具演示) 学生：构造全等! 小组合作讨论，小组代表上台展示解题思路 在这里证明相似三角形的判定定理1采用“同—法”证明，“同一法”的证明方式只在勾股定理的逆定理的证明过程中遇见过所以如何引导学生得出辅助线的作法是一个难点，此时教师适时点拨引导让学生发现通过构造全等三角形的方法可以实现三角形的移动从而找到证明思路，启发学生从变换的观点来看待证明过程，然后小组合作讨论辅助线的作法并写出证明过程，从而突破本节课的教学难点，并且在这一过程中培养学生合作交流、观察分析及语言概括能力，让学生体验到学习数学的成就感.培养学生的符号语言表达能力，规范几何解题格式根据探索思路继续探究一对角相等的两个三角形是否相似.培养逻辑思维的严谨性。
内化理解 应用新知 先独立完成例题，再在班级内交流展示解题思路与证明过程观看多媒体演示题目图形的变化过程，体会“一题多变”的数学魅力. 老师：同学们，经过这节课的学习，你能解释视频中同学测量旗杆高度的方法及其原理吗 老师：古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理来测量胡夫金字塔的高度。 老师：中国古代的天文、数学著作《周髀算经》记录利用竹子测量太阳直径.. 学生：利用本节课的知识解释视频中同学测量旗杆高度的方法及原理了解历史上相似三角形的广泛应用.感受数学史. 这道例题是对相似三角形判定定理1的简单运用，从第1小问至第4小问是通过改变图形的形状来实现变式 并结合PPT的动态演示让学生直观地感受这个变化过程，让学生学会从变换的观点来看待问题 体会“一题多变”的数学魅力，题目的设置从易到难， 由浅入深，始终在学生知识的 “最近发展区”设置问题，目的是让学生熟练地运用相似三角形 判定定理1进行严格的演绎推理，在此过程中适当进行方法小结帮助学生学会利用三角形相似的 判定定理1证明两个三角形相 似.同时在这一过程中不断地让学生去认识相似三角形的基本 型.为后续探索更复杂的图形打好理论基础. 例题均由学生讲解展示，让学生充分参与课堂，成为课堂的主体，获得学习的成就感，从而 突出本节课的教学重点，并在这一过程中，发展学生的合作交流、语言表达等能力. 利用本课知识解决课前提出的实际问题，体会“数学来源于生活，又服务于生活”,感受模型观念，也与课前的引入首位呼应，保持本堂课的完整性.同时发展学生的应用意识和创新意识 随后介绍历史上相似三角形的广泛应用，渗透数学史.
课堂小结 1.我们是如何提出相似三角形的猜想的 2.对于提出的猜想，我们又经历了哪些步骤去分析问题呢 3.在验证的过程中又什么需要注意的地方 4.我们是怎样找到方法去证明猜想的 5.若要进一步研究另外两条猜想，我们应该按照怎样的思路进行研究呢 抛出问题串引导学生对本节课的研究思路进行总结、回顾、盘点.让学生从“学会”到“会学”,力求达到“为不教而 教”目的. 作业设计中书面作业题目的设置紧扣教学目标，与课堂练习相辅相成.分层设计，以促进不同层次的学生发展.此外，还特别设置了基于本节课单元教师设计的作业，让学生习得研究相似三角形判定定理的通法，实现见树木更见森林的效果.力求符合当下“双减”背景。
教学反思 本课秉承教学评一致性教学设计的理念，即在教学设计中，教学活动、学习目标、评估任务保持内在一致性.学习目标不仅仅以教材为依据，还以学科核心素养和学科课程标准为依据，首先围绕课标(2022年版)、教材(华东师大版)与学情制定学习目标，再围绕学习目标设计评估任务，最后围绕评估任务设计教学过程.这种逆向教学设计，始终以学习目标为引导，以学习结果为导向，追求学习目标达成度，遵循学生学习的心理发生过程，服务于学生的学，充分发挥学生的主体作用.
板书设计
作业设计 布置作业： 1.必做题： 《相似三角形的判定》作业单A组题. 2.选做题： (1)《相似三角形的判定》作业单B组题 (2)基于本节课的学习经验，若要进一步探究相似三角形的另外两条猜想，你认为我们应该 按照怎样的思路进行研究呢 你能证明另外两 考虑到学生的个体差异，为促使学生得到不同的发展，设计了必做题和选做题。必做题是对本节课知识内容的巩固。选做题是为了给学生留有课后思维发散的空间，同时调动学生学习积极性，开阔视野。