27.2.3相似三角形的应用举例课后培优提升（含答案）人教版2025—2026学年九年级下册数学

27.2.3相似三角形的应用举例课后培优提升人教版2025—2026学年九年级下册
一、选择题
1．如图，直立于地面的三根柱子，，，其中起固定作用的两根钢筋和相交于点．已知，，则的高度为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在小孔成像问题中，若点到的距离是，到的距离是，则物体的长是像长的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．倍 D．倍
3．活动课上，创新小组根据“伐木工十字法”设计了如下测高方法：
①将两根小木棍，垂直摆放；
②将水平木棍的端点D放在眼睛H的正下方，移动位置，直到树根F与点B重合，树冠E与点A重合；
③测量此时树与人之间的水平距离．
若测得两根小木棍与的长度比为，的长度为，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
4．为了测量旗杆的高度，同学们测得阳光下旗杆的影长为，同一时刻长度为的标杆影长为，则旗杆的高度为（ ）
A． B． C． D．
5．嘉嘉和淇淇决定利用所学知识测量河的宽度，如图，河的两岸是平行的，已知上的点处有两个标志物测得它们之间的距离米．嘉嘉在如图所示的点处站定，于点，与交于点，测得米，淇淇在上移动，当淇淇移动到点时（点在一条直线上），测得米，则这条河的宽度为（ ）
A．30米 B．36米 C．40米 D．56米
6．根据凸透镜的成像规律，当物体到凸透镜的距离大于两倍焦距时，会在凸透镜的另一侧形成倒立、缩小的实像．如图所示，物体到凸透镜的距离，凸透镜的焦距，则实像与物体的比值为（ ）
A． B． C． D．
7．某数学兴趣小组学习了相似三角形的知识后，在同一时刻的太阳光线下，利用标杆测量树的高度．移动标杆向树靠近，让标杆的影子顶端与树的影子顶端重合于点，如图，已知标杆，测得，，则树高为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面的同一直线上，则灯泡的高度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口点B处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端点D观察同在井水水面和井壁上的点C，视线与井口的直径交于点E（点A，B，C，D，E在同一平面上），如果测得尺，尺，尺，那么 尺．
10．如图，为估算学校旗杆的高度，身高米的小明沿着旗杆在水平地面的影子由向走去．当他走到点处时，他影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合，此时测得米，米，则旗杆的高度是 米．
11．如图是某款折叠凳的侧面示意图，凳面地面，经过点O，且垂直于．若，，，则的长为 ．
12．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是 ．
三、解答题
13．【典题重现】
课本中P91有一道例题，如图1，为一块铁板余料．已知，高．要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形的边长应为多少毫米？
【变式拓展】
若从这块余料裁出一个矩形材料，其余条件不变，如图2，求这个矩形材料的最大面积．
14．西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把“矩”的两边放置成如图2的位置，从“矩”的一端点（人眼）望点，使视线通过“矩”的另一端点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．已知“矩”的一边长，另一边长，人眼到地面的距离的延长线与垂直，垂足为．
(1)若，求．
(2)设长为高为，求与的函数关系式．
15．九年级（）班小艺同学在周末晚上利用所学知识测量路灯灯光下人的影长变化．如图，路灯点距地面米，小艺在距路灯的底部点米的点时，测得此时他的影子的长度为米．小艺沿方向行走米到点时，即米，此时的影子为
(1)求小艺的身高；
(2)小艺在点时，影子的长度较原影子的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
16．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度．
(1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度．
(2)如图②所示，嘉嘉采用影长法测量旗杆高度．同一时刻，他测得米长竹竿竖直放置时影长为米；测量旗杆时，其影子一部分落在地面上（），另一部分落在斜坡上（），与地面成角，求旗杆的高度．
17．如图，小明和小亮打算用不同的方法测量学校操场边一个垂直于路面的路灯的高度．他们分别在白天和晚上利用太阳光和路灯的灯光进行测量．
(1)如图1，若垂直于地面的标杆的长为，在太阳光下小明测得它的影长为，同一时刻，小亮测得路灯的影长为，求路灯的高度．
(2)如图2，小亮在晚上路灯亮后来到路灯附近，他先蹲在点处，在路灯的照射下，小亮的头顶最高处的影子落在点处，，小明测得，接下来小亮站起来，在路灯的照射下，小亮的头顶最高处的影子落在点处，，小明测得，求路灯的高度．
18．如图，王亮同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到处时发现，他在路灯下的影长为2米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方．已知王亮身高米，路灯高8米．
(1)计算王亮站在处在路灯下的影长；
(2)计算路灯的高度．
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案
一、选择题
1．B
2．B
3．B
4．C
5．B
6．B
7．B
8．A
二、填空题
9．12
10．
11．30
12．
三、解答题
13．【详解】解：[典题重现]
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设正方形零件的边长为，则，
∴．
∵，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴这个正方形零件的边长是；
[变式拓展]
解：设，同（1）可得，则
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形面积，
∵，
∴当时，矩形面积最大，最大面积是．
14．【详解】（1）解：，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
答：为．
（2）解：
四边形为矩形，
，
由（1）得，
，
．
15．【详解】（1）解：∵，
，
，
即，
解得米，
答：小艺的身高为米；
（2）解：∵米，米，
米，
，
，
即，
解得米，
∴（米），
答：影子变短了，变短了米．
16．【详解】（1）解：根据光的反射的性质，
，
又∵，
∴，
∴，
将，，，代入上式，
得，
解得，
故旗杆的高度为．
（2）解：延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，如下图所示：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
得，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴，
解得，
∴，
故，
∴，
故旗杆的高度为．
17．【详解】（1）解：由题意得，
，即，解得．
答：路灯的高度为.
（2）解：，
，
，
即，
，
，
．
答：路灯的高度为．
18．【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：；
∴王亮站在Q处在路灯A下的影长为米；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
∴路灯A的高度为米．