27.2.2相似三角形的性质课后培优提升（含答案）人教版2025—2026学年九年级下册数学

27.2.2相似三角形的性质课后培优提升人教版2025—2026学年九年级下册
一、选择题
1．如图，平行四边形中，E为上一点，连接交于点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．对于任意给定的，其所在平面上的点P满足，，的面积相等，则这样的点P的个数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
3．如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则是（ ）
A． B． C． D．
4．在等边中，点分别在边上，将沿折叠，使得点与的重心重合，与交于点，延长交于点，那么的值为（ ）
A． B． C． D．1
5．如图，线段，，设，分别是，的中点，连接，若，，则（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
6．如图，点分别在的边上，，分别是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形中，E、F分别在边上，且，连接相交于点．则下列结论：①；②；③；④当为中点时，连接，则，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，点是的重心，若的面积是12，则的面积是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
二、填空题
9．直角三角形斜边长为30，则这个三角形重心到直角顶点的距离为 ．
10．如图，，，，，，则的长是 ．
11．如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形的面积比是 ．
12．如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为 ．
三、解答题
13．如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点分别在上．
(1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？
(2)在矩形中，设，．问取多少时，最大，最大值是多少？
14．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别向坐标轴作垂线，垂足分别为点，连接，反比例函数（为常数）的图象分别与交于点
(1)求反比例函数的表达式．
(2)①求点的坐标；
②如图2，连接，求证：．
15．如图，四边形为的内接四边形，连结和，，在的延长线上取一点，连结，延长交于点．
(1)若为的中点，求证：；
(2)当切于点时，
求证：；
若，求证：．
16．如图，点，分别是的边，上的点，连接，，的角平分线交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
17．如图1所示，在平面直角坐标系中直线与坐标轴分别交于A，C两点，一动点从点出发向终点以每秒1厘米的速度移动，同时点从点向轴负半轴以每秒2厘米的速度移动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设运动时间为秒．
(1)如图1，作射线，求当为何值时，平分？
(2)如图2，若与相似，求的值．
18．如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点在边上，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，求．
参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．B
4．C
5．B
6．C
7．D
8．D
二、填空题
9．10
10．
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：如图，设交于点N，
由题意知四边形是矩形，则，
设正方形的边长为，则
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
答：这个正方形的边长是；
（2）解：在矩形中，，，
由（1）可得：，
∴（）；
∴
，
∴时，的最大值是．
14．【解】（1）解：∵点B的坐标为，，轴，
∴点N的坐标为，
∵点N在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）①解：∵轴，点B的坐标为，
∴点M的纵坐标为4，
∵点M在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
②∵点B的坐标为，点M的坐标为，
∴，，
∵，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
15．【解】（1）证明： 四边形为圆的内接四边形，为的中点，
，
，
．
，
；
（2）证明：连接并延长，交于点．
切于点，
．
是的直径，
，
，
．
，
，
．
，
；
由①可知，
，
，
．
又，
，
，则．
，，
，即．
，DG是的直径，
．
切于点，
，
，
，
，即．
四边形为圆的内接四边形，
．
又，
．
，
，
．
，
，
，
，
．
，
．
16．【解】（1）证明：，
，，
（2）解：，的角平分线交于点，
，
，，
，
，
．
17．【解】（1）解：∵与坐标轴分别交于A，C两点，
∴令，则，令，则，解得，
∴，
，
，
过点作于，
平分，
，
，
又，
，
由题知，，
，
；
（2）解：当时，
∴，
解得，
当时．
，
解得，
综上：或．
18．【解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
∴；
（2）解：由（1）知，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，
．