26.1.1反比例函数课后培优提升（含答案）人教版2025—2026学年九年级下册数学

26.1.1反比例函数课后培优提升人教版2025—2026学年九年级下册
一、选择题
1．已知是第一象限内的点，且在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．－4
2．下列关系式中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，是的反比例函数的共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．函数是反比例函数，则m=（ ）．
A． B． C． D．2或
4．下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（ ）
A．人的身高和年龄
B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高
C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用
D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间
5．将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入原反比例函数中，所得函数值记为，再将代入原反比例函数中，所得函数值记为，……，如此继续下去，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．不能确定
6．在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．若点都在反比例函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则m的值为 ．
10．函数，当时，y的范围是 ；时，x的范围是 ．
11．若是关于的反比例函数，则的值是 ．
12．已知函数与（，）的图象交于点P，点P的纵坐标为2，则关于x的方程的解为 ．
三、解答题
13．已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象交于点．
(1)求的值；
(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
14．已知．
(1)当为何值时，是的正比例函数？
(2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值．
15．已知反比例函数，求：
(1)自变量的取值范围．
(2)当时，函数的值．
(3)当时，自变量的值．
16．已知点在反比例函数的图象上．
(1)中，，，，求的面积；
(2)抛物线与轴交于两点（在的左边），与轴交于点．
①求点坐标；
②求抛物线顶点纵坐标取得最大值时的值，并求出此时的顶点坐标．
17．已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)求当时的函数值．
18．定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”．
(1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是_____；（填序号）
(2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值；
(3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有个“平衡点”时，求的纵坐标．
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．C
4．B
5．A
6．B
7．B
8．C
二、填空题
9．
10． 或
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴点坐标为．
∵点在二次函数图象上，
∴，
解得；
（2）解：∵二次函数的解析式为，
∴，
∴对称轴为直线，顶点坐标为．
14．【解】（1）解：∵是正比例函数，
∴且，
解得：；
（2）解：∵是反比例函数，
∴且，
解得：；
∴该反比例函数的解析式为，
当时，，
解得：．
15．【解】（1）由反比例函数的定义和分式的意义可知，．
（2）将代入中，得．
（3）将代入中，得，解得．
16．【解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，即；
∴；
（2）解：①对于，令，得，
∵，
∴，
∴；
②令，解得：，
即，
∴抛物线的对称轴为直线；
当时，抛物线顶点纵坐标，
∴，
∴当时，上式取得最大值，
此时，得或（舍去）；
此时抛物线顶点坐标为；
故当时，抛物线顶点的纵坐标取得最大值，抛物线顶点坐标为．
17．【解】（1）解：设，
则，
根据题意得：，
解得：，
则函数解析式是：；
（2）解：当时，．
18．【解】（1）解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数，
在中，令得，
∴或，
∴当时，当时，，
∴的图象上存在“平衡点”和，
同理可得，，的图象上不存在“平衡点”，的图象上存在“平衡点”；
故答案为：①②；
（2）解：在中，令得，
解得或，
，
；
在中，令得，
解得，
当时，，
，，，
若，则，
解得；
若，则，
解得或；
若，则，
解得或（此时，重合，舍去）；
的值为或或或；
（3）解：设，
，
抛物线的顶点为，
点关于的对称点为，
旋转后的抛物线解析式为，
在中，令得：
，
，
旋转后的图象上恰有个“平衡点”
有两个相等实数根，
，即，
，
∴的纵坐标为．