28.2.1解直角三角形课后培优提升（含答案）人教版2025—2026学年九年级下册数学

28.2.1解直角三角形课后培优提升人教版2025—2026学年九年级下册
一、选择题
1．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C．3 D．
2．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现我们已经知道，，角的三角函数值，现在来求的值．如图，在中，，延长使，连接，得．设，则，，所以类比这种方法，计算的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
4．如图在中，，在上取一点，连接，延长至点，使，连接．记，，．则以下式子一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则梯子的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，点D在的延长线上，和的平分线交于点E，连接，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，菱形的对角线，交于点，，，则该菱形的面积是 ．
10．如图，在等腰三角形纸片中，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．若已知，则 ．
11．如图，在中，，点是边上的一点，连接，如果，那么 ．
12．在中，（是锐角），，那么的长为 ．
三、解答题
13．如图，在中，点D、E分别是、的中点，连接，过点A作于点F，延长至点G，使得，连接，过点C作交的延长线于点H．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求四边形的面积．
14．如图，在中，于，，，．
(1)求的长．
(2)求的值．
15．如图，在四边形中，，．以为直径的经过点，且与边交于点，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
16．如图1，在四边形中，．点在线段的延长线上，且，连接交于点、交于点．
(1)求证：
(2)设，求的值．
(3)如图2，若（），求的长（用含的代数式表示）
17．如图，在菱形中，点G是上一动点，连接并延长分别交和的延长线于点E和点F．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)若，，，求的值．
18．已知内接于，，过点作的平行线交于点．
(1)如图1，连接交于点．
①求证：．
②若，求的值．
(2)如图2，若，，求的半径．
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．B
4．B
5．A
6．D
7．B
8．C
二、填空题
9．
10．
11．
12．4
三、解答题
13．【解】（1）证明：，，
，
点、分别是、的中点，
是的中位线，
，，
∵，
，
在和中，
，，，
，
，
四边形为矩形；
（2）解：是的中位线，
，
，，
在中，，
，
四边形为矩形，
．
14．【解】（1）解：在中，，．
，
解得．
在中，，
．
由勾股定理得，．
（2）解：作于点，
，
，
，
解得．
．
15．【解】（1）证明：，
，
又，
，
为的直径，
，
，
，即，
，
为的切线；
（2）解：如图，作于点，
，，
．
∴在中，由勾股定理得，，
．
，，
，
，
∵
．
，
，
设，则，，
，，
．
又，
，
，即．
，
解得，
．
16．【解】（1）证明：，
在与中，
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
（2），
∴，
．
由（1）知，，
∵，
∴，
，
，
，
，
∴，
，
，
∴，
∴，
，
．
（3）方法1：如图2
∵，
∴，
，
又，，
∴，
，
即，
（舍），
；
方法2：，
∴，
，
又，
，
为黄金分割点，
，
，
故．
17．【解】（1）证明：∵菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵菱形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
（3）解：∵菱形，，
∴，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
18．【解】（1）①证明：，
，
，
，
；
②解：作于点，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
；
（2）解：连接交于点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，连接，
由（1）可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
设，则，
，
，
，
，
，
即，
解得．
，，，
∴，
设的半径为r，则，
∵，
∴，
解得：，
的半径为．