28.1锐角三角函数课后培优提升（含答案）人教版2025—2026学年九年级下册数学

28.1锐角三角函数课后培优提升人教版2025—2026学年九年级下册
一、选择题
1．在中，，，，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（ ）
B．
C． D．
3．如图，已知，则点A的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
4．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方形网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上．过点，且与交于点，是上的一点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，，，垂足为点，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点H、G均在正方形的内部，连接，延长交于点E，连接，已知，，，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题
9．在锐角三角形中，若满足，则 ．
10．如图，矩形中，点G、E分别在边，上，连接，将和分别沿折叠，使点B、C恰好落在上的同一个点，记为点F，若，，则
11．如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是，小正方形的面积为，则
12．如图，点在线段上，且，分别以，为边在线段的同侧作正方形，，连接，，那么的值是 ．
三、解答题
13．计算：
(1)
(2)
14．如图，在中，对角线，相交于点，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)点在边上，满足，连接．若，，求的长及的值．
15．如图，是中边上的高，点是边上一点，，若，．
(1)求的长；
(2)若，求的值．
16．如图，在矩形中，，E是边的中点，连接，过点作交于点，连接．
(1)求证：．
(2)求的正弦值．
17．如图，在中，，O为上一点，与相切于点E，连接，经过点A、E的分别交、于点D、F．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
18．如图，在中，是锐角，，垂足为E，对角线垂直平分线交于点M，交的延长线于点N，交于点P．已知．
(1)在中，
①写出与一定相似的三角形，并选一对说明理由；
②写出与不一定相似的三角形，如果它与相似，求出它们的相似比．
(2)如果，求的正弦值．
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．B
4．A
5．A
6．A
7．A
8．A
二、填空题
9．
10．
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：
（2）解：
14．【解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形为矩形．
（2）解：如图，过点作于点，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
即的值为．
15．【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
是的高，
．
．
．
，
即，
解得．
，
．
解得．
（2）解：由（1）可得，，，
．
，，
．
，，
．
．
．
．
16．【解】（1）解：在矩形中，
，
；
（2）解：，
而是边的中点，
，
∴，
，
∴
由勾股定理得，
∴．
17．【解】（1）证明：连接，
与相切于点E，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，
设，则，
，
解得，
，
，
解得．
18．【解】（1）解：①，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴；
②与不一定相似，当时，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴与不一定相似，如果它与相似，相似比为或；
（2）解：连接，
∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
在中，，
解得，
当时，，不合题意，
当时，， ．