河北省冀州中学2025-2026学年高一上学期12月第一次旬考数学试题
1．（2025高一上·冀州月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·冀州月考）下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A． B．和
C．和 D．和
3．（2025高一上·冀州月考）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．定义域为 B．是偶函数 C．是减函数 D．是奇函数
4．（2025高一上·冀州月考）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高一上·冀州月考）命题“，有”的否定是（ ）
A．，有 B．，有
C．，有 D．，有
6．（2025高一上·冀州月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025高一上·冀州月考）已知函数在上不具有单调性，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高一上·冀州月考）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．不确定
9．（2025高一上·冀州月考）若，则下列命题中错误的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若，则
10．（2025高一上·冀州月考）下列四个结论中，正确的结论是（ ）
A．与表示同一个函数
B．函数的定义域为，则函数的定义域为
C．函数的单调减区间为，则实数的值为
D．函数的值域为
11．（2025高一上·冀州月考）已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．
C．若，则的取值范围是
D．函数的值域为
12．（2025高一上·冀州月考）已知函数是定义在上的偶函数，则 .
13．（2025高一上·冀州月考）已知，且，则 .
14．（2025高一上·冀州月考）给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为 .
15．（2025高一上·冀州月考）已知集合， ， ．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
16．（2025高一上·冀州月考）已知关于的不等式的解集为．
（1）求的值并求解不等式的解集；
（2）当且满足时，有恒成立，求k的取值范围．
17．（2025高一上·冀州月考）已知幂函数在上单调递减．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围．
18．（2025高一上·冀州月考）已知函数.
（1）若恒成立，求的最大值；
（2）若在上单调，求的取值范围；
（3）求在上的最小值为，求.
19．（2025高一上·冀州月考）已知函数是定义域在上的奇函数，且.
（1）求a，b的值；
（2）用定义法证明函数在上单调递增；
（3）解不等式.
20．（2025高一上·冀州月考）若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“美好函数”．
（1）下列三个函数①；②；③，哪个（些）是在上的美好函数，说明理由．
（2）已知函数．
①函数G是在上的“美好函数”，求a的值；
②当时，函数G是在上的“美好函数”，求t的值；
（3）已知函数，若函数G是在（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由题意意，可知，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用交集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】B
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：对于A：，
由且，可得，
则定义域为，
又因为，由，得或，
则的定义域为，
所以两函数定义域不同，则两函数不是相同函数，故A错误；
对于B：因为的定义域为R，的定义域为R，且，
所以两函数定义域相同，对应关系也相同，则两函数是相同函数，故B正确；
对于C：因为的定义域为R，的定义域为，
所以两个函数的定义域不同，则两函数不是相同函数，故C错误；
对于D：因为的定义域为R，的定义域为，
所以两个函数的定义域不同，则两函数不是相同函数，故D错误.
故答案为：B.
【分析】利用同一函数判断方法，即定义域相同、对应关系相同，则为同一函数，从而逐项判断找出是相同函数的一组函数.
3．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设，
代入点，可得，解得，
所以.
对于A：可知的定义域为，故A错误；
对于BD：因为，可知是偶函数，故B正确，D错误；
对于C：由偶函数对称性可知在定义域内不单调，故C错误；
故答案为：D.
【分析】1. 求解析式：利用幂函数形式 ，代入已知点求 ，确定函数表达式.
2. 定义域：分式函数分母非零，直接判断.
3. 奇偶性：通过 与 的关系判断.
4. 单调性：结合偶函数对称性（ 关于y轴对称 ），分析区间单调性，明确定义域内不单调.
4．【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：因为函数中，，
解得，、所以函数的定义域为，
由，
则函数是偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项A和选项D；
当时，，故排除选项C；
则选项B符合要求.
故答案为：B.
【分析】利用奇函数和偶函数的图象的对称性，故排除选项A和选项D；再利用时函数值的正负，则判断排除选项C，从而找出函数的大致图象的选项.
5．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由题意，
可得：命题“，有”的否定是“，有”.
故答案为：C.
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，从而找出命题“，有”的否定.
6．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由，
解得且，
所以的定义域为.
故答案为：D.
【分析】根据根式函数求定义域的方法和分式函数求定义域的方法，再利用交集的运算法则，从而得出函数的定义域.
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为函数的对称轴为.
又因为函数在上不具有单调性，
所以，解得.
故答案为：A.
【分析】利用二次函数在给定区间内不具有单调性，只需对称轴在给定区间内，从而列不等式求解得出实数k的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，
所以在单调递减，
因为，
所以，即，
故答案为：C。
【分析】利用函数的单调性和奇偶性即可得解。
9．【答案】A,B,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，因为且，
所以，但不确定的正负，
当时，，故A错误；
对于B，因为，
又因为且，所以，则，
所以，故B错误；
对于C，若，则，所以，故C正确；
对于D，若，则所以，故D错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件和不等式的基本性质，再结合作差法比较大小的方法，从而逐项判断找出假命题的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：对于，因为函数的定义域为，
则函数的定义域为，定义域不同，
所以不是同一函数，故不正确；
对于，因为函数的定义域为，
所以，
则，
所以，
则函数的定义域为，故正确；
对于，因为函数的单调减区间为，
所以，
则，故不正确；
对于，设，，所以，
则，，
当时，取得最小值，最小值为，
则函数的值域为，故正确.
故答案为：.
【分析】由函数定义域求解方法和同一函数判断方法，则可判断选项；由抽象函数的定义域的求法，则可判断选项；根据二次函数的单调性得出a的值，则可判断选项；由换元法求函数值域的方法，则可判断选项，从而找出正确结论的选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：对于A，当时，函数，
又因为函数f(x)的对称轴为，且.
所以，要使定义在上的函数是减函数，
须满足，
则，
解得，
所以的取值范围为，故A正确；
对于B，因为函数是定义在上的减函数，
所以等价于，
整理得，
其判别式，
则恒为正，
所以对所有的都成立，
则，恒成立，故B正确；
对于C，因为函数是定义在上的减函数，
所以等价于，
解得，
则的取值范围是，故C正确；
对于D，由选项A可知，当，函数在上是减函数，
令，此时，
当时，可得；
当时，因为，
所以，
则函数的值域为，不是，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】要使定义在上的函数是减函数，须满足一次函数的斜率，二次函数的对称轴，且函数在左侧的最小值大于或等于在右侧的最大值，从而列出不等式组求出的取值范围，则可判断选项A；利用函数在上的单调性，将不等式和不等式转化为关于的不等式，从而解不等式求出的取值范围，则可判断选项B和选项C；取符合题意的的值，从而得到函数的解析式，再利用函数求值域的方法，从而求出其值域，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】4
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：因为是定义在上的偶函数，
所以.
故答案为：4.
【分析】利用分段函数的奇偶性，从而得出函数的值.
13．【答案】7
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数，
则
即，若，则
故答案为：
【分析】根据函数解析式求，可得，结合求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：令，解得或，
作出函数的图象如图所示：
由图象可知，当时，取得最小值为．
故答案为：．
【分析】本题考查分段函数的最值，核心是先求出f(x)与g(x)的交点，再根据交点划分区间确定M(x)的表达式，最后求各区间内的最小值。
15．【答案】（1）解：，
．
（2） 解：因为成立，．
由得，解得.
所以实数的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；交集及其运算
【解析】【分析】（1）直接运用集合的交集运算规则（由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合），计算即可得到答案；
（2）利用子集关系列不等式组计算即可.
（1），
．
（2）因为成立，．
由得，解得.
所以实数的取值范围为.
16．【答案】（1）解：因为不等式的解集为，
所以1和2是方程的两个根，且．
根据韦达定理得，解得．
不等式即，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为；
（2）解：因为，所以．
因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8．
因为恒成立，所以，即，解得，
所以的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)根据不等式解集与对应方程根的关系，利用韦达定理求出 ，再将分式不等式转化为整式不等式求解。
(2)将 乘以 构造“1”的代换，用基本不等式求最小值，再根据恒成立条件求 的范围。
（1）因为不等式的解集为，
所以1和2是方程的两个根，且．
根据韦达定理得，解得．
不等式即，即，所以，解得或，
所以不等式的解集为；
（2）因为，所以．
因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8．
因为恒成立，所以，即，解得，
所以的取值范围是．
17．【答案】（1）解：由幂函数在上单调递减，
可得，
解得，
所以．
（2）解：由函数图象关于轴对称，且在上单调递增，
则可化为，
平方得，
化简得，
解得，
所以的取值范围是．
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义和幂函数的单调性，从而得出m的值，进而得出幂函数的解析式.
（2）根据幂函数的对称性和单调性，从而解绝对值不等式得出实数x的取值范围.
（1）由幂函数在上单调递减，
可得，解得，所以．
（2）由函数图象关于轴对称，且在上单调递增，
则可化为，平方得，
化简得，解得，所以的取值范围是．
18．【答案】（1）解：由题意，得恒成立，
则，
解得，
所以a的最大值为.
（2）解：由题意，得图象的对称轴为直线，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为在上单调，
所以或，
解得或，
则a的取值范围为.
（3）解：当时，即当时，在上单调递减，
则，
解得（舍去）；
当时，即当时，在上单调递增，
则，
解得，符合题意；
当时，即当时，
在上单调递减，在上单调递增，
则，
解得或a=0（因为，所以舍去）.
则或a=5.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由一元二次不等式恒成立，再结合二次函数的图象结合判别式法，从而得出，解不等式得出实数a的取值范围，从而得出实数a的最大值.
（2）先根据二次函数的对称性得出二次函数的单调区间，再根据已知条件得出使为函数的单调区间的子集，再结合集合间的包含关系得出实数a的取值范围.
（3）由函数的单调性和给定区间与函数的对称轴的关系，从而分类讨论得出实数a的取值范围.
（1）由题意得恒成立，则，
解得，
所以a的最大值为.
（2）由题意得图象的对称轴为直线，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为在上单调，所以或，
解得或，即a的取值范围为.
（3）当，即时，在上单调递减，，
解得，舍去；
当，即时，在上单调递增，，
解得，符合题意；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得或0（，舍去）.
故或5.
19．【答案】（1）解：由题意，得，，
则，
所以，
则，满足题意，
所以.
（2）证明：由（1）得，令，
则
，
由，
得，
所以函数在上单调递增.
（3）解：由题意，得，
则，
所以，
则.
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）由奇函数的性质得出，再利用结合代入法，再根据奇函数的定义，从而列方程组验证求出a，b的值.
（2）根据函数单调性的定义，从而证出函数在上单调递增.
（3）由函数的奇函数和单调性，从而得出不等式，再解一元二次不等式得出不等式的解集.
（1）由题设，，则，
所以，则，满足题设，
所以；
（2）由（1），令，
则
，
由，则，
所以函数在上单调递增；
（3）由题设，
则，
所以，即.
20．【答案】（1）解：对于①，在上单调递增，
当时，；当时，，
∴，符合题意；
对于②，在上单调递增，
当时，；当时，，
∴，不符合题意；
对于③，在上单调递增，
当时，；当时，，
∴，不符合题意，
则①是在上的美好函数.
（2）解：①因为二次函数对称轴为直线，
当时，；当时，，
当时，在上单调递增，
，
；
当时，在上单调递减，
，
，
综上所述，或.
②二次函数为，对称轴为直线
又因为在上单调递增，在上单调递减，
当，；
当时，；
当时，，
若，在上单调递增，
则，
解得（舍去）；
若，在上单调递减，在上单调递增，
则，
解得（舍去）或；
若，在上单调递减，在上单调递增，
则，
解得或（舍去）；
若，在上单调递减，
则，
解得（舍去），
综上所述，或.
（3）解：由（2）可知，
二次函数对称轴为直线，
又，
，
，
则当时，在上单调递增，
当时取得最大值，时取得最小值，
∴，
，为整数，且，
，
则的值为5，
又∵，
，
．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据“美好函数”的定义和函数最值求解方法，从而逐项判断找出美好函数的序号.
（2）①分和两种情况结合二次函数求最值的方法，从而求出二次函数在给定区间上的最值，再利用列方程，从而求出的值.
②先求出二次函数的对称轴，再分，，和四种情况求出函数在给定区间上的最值，再利用列方程，从而求出的值.
（3）由二次函数的单调性可知当时，随的增大而增大，从而求出和，再由为整数求出的值，最后由列方程求出的值.
（1）对于①在上单调递增
当时，，当时，，
∴，符合题意；
对于②在上单调递增
当时，，当时，，
∴，不符合题意；
对于③在上单调递增
当时，，当时，，
∴，不符合题意；
故①是在上的美好函数；
（2）①二次函数对称轴为直线，
当时，，当时，，
当时，在上单调递增
，
，
，
当时，在上单调递减，
，
，
综上所述，或；
②二次函数为，对称轴为直线，
在上单调递增，在上单调递减，
当，，
当时，，
当时，．
若，在上单调递增，
则，解得（舍去）；
若，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得（舍去），；
若，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得，（舍去）；
若，在上单调递减，
则，解得（舍去）．
综上所述，或；
（3）由（2）可知，二次函数对称轴为直线，
又，
，
，
当时，在上单调递增
当时取得最大值，时取得最小值，
∴
，为整数，且，
，即的值为5，
又∵，
，
．
1 / 1河北省冀州中学2025-2026学年高一上学期12月第一次旬考数学试题
1．（2025高一上·冀州月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由题意意，可知，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用交集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025高一上·冀州月考）下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A． B．和
C．和 D．和
【答案】B
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：对于A：，
由且，可得，
则定义域为，
又因为，由，得或，
则的定义域为，
所以两函数定义域不同，则两函数不是相同函数，故A错误；
对于B：因为的定义域为R，的定义域为R，且，
所以两函数定义域相同，对应关系也相同，则两函数是相同函数，故B正确；
对于C：因为的定义域为R，的定义域为，
所以两个函数的定义域不同，则两函数不是相同函数，故C错误；
对于D：因为的定义域为R，的定义域为，
所以两个函数的定义域不同，则两函数不是相同函数，故D错误.
故答案为：B.
【分析】利用同一函数判断方法，即定义域相同、对应关系相同，则为同一函数，从而逐项判断找出是相同函数的一组函数.
3．（2025高一上·冀州月考）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．定义域为 B．是偶函数 C．是减函数 D．是奇函数
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设，
代入点，可得，解得，
所以.
对于A：可知的定义域为，故A错误；
对于BD：因为，可知是偶函数，故B正确，D错误；
对于C：由偶函数对称性可知在定义域内不单调，故C错误；
故答案为：D.
【分析】1. 求解析式：利用幂函数形式 ，代入已知点求 ，确定函数表达式.
2. 定义域：分式函数分母非零，直接判断.
3. 奇偶性：通过 与 的关系判断.
4. 单调性：结合偶函数对称性（ 关于y轴对称 ），分析区间单调性，明确定义域内不单调.
4．（2025高一上·冀州月考）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：因为函数中，，
解得，、所以函数的定义域为，
由，
则函数是偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项A和选项D；
当时，，故排除选项C；
则选项B符合要求.
故答案为：B.
【分析】利用奇函数和偶函数的图象的对称性，故排除选项A和选项D；再利用时函数值的正负，则判断排除选项C，从而找出函数的大致图象的选项.
5．（2025高一上·冀州月考）命题“，有”的否定是（ ）
A．，有 B．，有
C．，有 D．，有
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由题意，
可得：命题“，有”的否定是“，有”.
故答案为：C.
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，从而找出命题“，有”的否定.
6．（2025高一上·冀州月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由，
解得且，
所以的定义域为.
故答案为：D.
【分析】根据根式函数求定义域的方法和分式函数求定义域的方法，再利用交集的运算法则，从而得出函数的定义域.
7．（2025高一上·冀州月考）已知函数在上不具有单调性，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为函数的对称轴为.
又因为函数在上不具有单调性，
所以，解得.
故答案为：A.
【分析】利用二次函数在给定区间内不具有单调性，只需对称轴在给定区间内，从而列不等式求解得出实数k的取值范围.
8．（2025高一上·冀州月考）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．不确定
【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，
所以在单调递减，
因为，
所以，即，
故答案为：C。
【分析】利用函数的单调性和奇偶性即可得解。
9．（2025高一上·冀州月考）若，则下列命题中错误的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，因为且，
所以，但不确定的正负，
当时，，故A错误；
对于B，因为，
又因为且，所以，则，
所以，故B错误；
对于C，若，则，所以，故C正确；
对于D，若，则所以，故D错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件和不等式的基本性质，再结合作差法比较大小的方法，从而逐项判断找出假命题的选项.
10．（2025高一上·冀州月考）下列四个结论中，正确的结论是（ ）
A．与表示同一个函数
B．函数的定义域为，则函数的定义域为
C．函数的单调减区间为，则实数的值为
D．函数的值域为
【答案】B,D
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：对于，因为函数的定义域为，
则函数的定义域为，定义域不同，
所以不是同一函数，故不正确；
对于，因为函数的定义域为，
所以，
则，
所以，
则函数的定义域为，故正确；
对于，因为函数的单调减区间为，
所以，
则，故不正确；
对于，设，，所以，
则，，
当时，取得最小值，最小值为，
则函数的值域为，故正确.
故答案为：.
【分析】由函数定义域求解方法和同一函数判断方法，则可判断选项；由抽象函数的定义域的求法，则可判断选项；根据二次函数的单调性得出a的值，则可判断选项；由换元法求函数值域的方法，则可判断选项，从而找出正确结论的选项.
11．（2025高一上·冀州月考）已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．
C．若，则的取值范围是
D．函数的值域为
【答案】A,B,C
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：对于A，当时，函数，
又因为函数f(x)的对称轴为，且.
所以，要使定义在上的函数是减函数，
须满足，
则，
解得，
所以的取值范围为，故A正确；
对于B，因为函数是定义在上的减函数，
所以等价于，
整理得，
其判别式，
则恒为正，
所以对所有的都成立，
则，恒成立，故B正确；
对于C，因为函数是定义在上的减函数，
所以等价于，
解得，
则的取值范围是，故C正确；
对于D，由选项A可知，当，函数在上是减函数，
令，此时，
当时，可得；
当时，因为，
所以，
则函数的值域为，不是，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】要使定义在上的函数是减函数，须满足一次函数的斜率，二次函数的对称轴，且函数在左侧的最小值大于或等于在右侧的最大值，从而列出不等式组求出的取值范围，则可判断选项A；利用函数在上的单调性，将不等式和不等式转化为关于的不等式，从而解不等式求出的取值范围，则可判断选项B和选项C；取符合题意的的值，从而得到函数的解析式，再利用函数求值域的方法，从而求出其值域，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2025高一上·冀州月考）已知函数是定义在上的偶函数，则 .
【答案】4
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：因为是定义在上的偶函数，
所以.
故答案为：4.
【分析】利用分段函数的奇偶性，从而得出函数的值.
13．（2025高一上·冀州月考）已知，且，则 .
【答案】7
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数，
则
即，若，则
故答案为：
【分析】根据函数解析式求，可得，结合求解即可.
14．（2025高一上·冀州月考）给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：令，解得或，
作出函数的图象如图所示：
由图象可知，当时，取得最小值为．
故答案为：．
【分析】本题考查分段函数的最值，核心是先求出f(x)与g(x)的交点，再根据交点划分区间确定M(x)的表达式，最后求各区间内的最小值。
15．（2025高一上·冀州月考）已知集合， ， ．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：，
．
（2） 解：因为成立，．
由得，解得.
所以实数的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；交集及其运算
【解析】【分析】（1）直接运用集合的交集运算规则（由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合），计算即可得到答案；
（2）利用子集关系列不等式组计算即可.
（1），
．
（2）因为成立，．
由得，解得.
所以实数的取值范围为.
16．（2025高一上·冀州月考）已知关于的不等式的解集为．
（1）求的值并求解不等式的解集；
（2）当且满足时，有恒成立，求k的取值范围．
【答案】（1）解：因为不等式的解集为，
所以1和2是方程的两个根，且．
根据韦达定理得，解得．
不等式即，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为；
（2）解：因为，所以．
因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8．
因为恒成立，所以，即，解得，
所以的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)根据不等式解集与对应方程根的关系，利用韦达定理求出 ，再将分式不等式转化为整式不等式求解。
(2)将 乘以 构造“1”的代换，用基本不等式求最小值，再根据恒成立条件求 的范围。
（1）因为不等式的解集为，
所以1和2是方程的两个根，且．
根据韦达定理得，解得．
不等式即，即，所以，解得或，
所以不等式的解集为；
（2）因为，所以．
因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8．
因为恒成立，所以，即，解得，
所以的取值范围是．
17．（2025高一上·冀州月考）已知幂函数在上单调递减．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）解：由幂函数在上单调递减，
可得，
解得，
所以．
（2）解：由函数图象关于轴对称，且在上单调递增，
则可化为，
平方得，
化简得，
解得，
所以的取值范围是．
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义和幂函数的单调性，从而得出m的值，进而得出幂函数的解析式.
（2）根据幂函数的对称性和单调性，从而解绝对值不等式得出实数x的取值范围.
（1）由幂函数在上单调递减，
可得，解得，所以．
（2）由函数图象关于轴对称，且在上单调递增，
则可化为，平方得，
化简得，解得，所以的取值范围是．
18．（2025高一上·冀州月考）已知函数.
（1）若恒成立，求的最大值；
（2）若在上单调，求的取值范围；
（3）求在上的最小值为，求.
【答案】（1）解：由题意，得恒成立，
则，
解得，
所以a的最大值为.
（2）解：由题意，得图象的对称轴为直线，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为在上单调，
所以或，
解得或，
则a的取值范围为.
（3）解：当时，即当时，在上单调递减，
则，
解得（舍去）；
当时，即当时，在上单调递增，
则，
解得，符合题意；
当时，即当时，
在上单调递减，在上单调递增，
则，
解得或a=0（因为，所以舍去）.
则或a=5.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由一元二次不等式恒成立，再结合二次函数的图象结合判别式法，从而得出，解不等式得出实数a的取值范围，从而得出实数a的最大值.
（2）先根据二次函数的对称性得出二次函数的单调区间，再根据已知条件得出使为函数的单调区间的子集，再结合集合间的包含关系得出实数a的取值范围.
（3）由函数的单调性和给定区间与函数的对称轴的关系，从而分类讨论得出实数a的取值范围.
（1）由题意得恒成立，则，
解得，
所以a的最大值为.
（2）由题意得图象的对称轴为直线，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为在上单调，所以或，
解得或，即a的取值范围为.
（3）当，即时，在上单调递减，，
解得，舍去；
当，即时，在上单调递增，，
解得，符合题意；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得或0（，舍去）.
故或5.
19．（2025高一上·冀州月考）已知函数是定义域在上的奇函数，且.
（1）求a，b的值；
（2）用定义法证明函数在上单调递增；
（3）解不等式.
【答案】（1）解：由题意，得，，
则，
所以，
则，满足题意，
所以.
（2）证明：由（1）得，令，
则
，
由，
得，
所以函数在上单调递增.
（3）解：由题意，得，
则，
所以，
则.
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）由奇函数的性质得出，再利用结合代入法，再根据奇函数的定义，从而列方程组验证求出a，b的值.
（2）根据函数单调性的定义，从而证出函数在上单调递增.
（3）由函数的奇函数和单调性，从而得出不等式，再解一元二次不等式得出不等式的解集.
（1）由题设，，则，
所以，则，满足题设，
所以；
（2）由（1），令，
则
，
由，则，
所以函数在上单调递增；
（3）由题设，
则，
所以，即.
20．（2025高一上·冀州月考）若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“美好函数”．
（1）下列三个函数①；②；③，哪个（些）是在上的美好函数，说明理由．
（2）已知函数．
①函数G是在上的“美好函数”，求a的值；
②当时，函数G是在上的“美好函数”，求t的值；
（3）已知函数，若函数G是在（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求a的值．
【答案】（1）解：对于①，在上单调递增，
当时，；当时，，
∴，符合题意；
对于②，在上单调递增，
当时，；当时，，
∴，不符合题意；
对于③，在上单调递增，
当时，；当时，，
∴，不符合题意，
则①是在上的美好函数.
（2）解：①因为二次函数对称轴为直线，
当时，；当时，，
当时，在上单调递增，
，
；
当时，在上单调递减，
，
，
综上所述，或.
②二次函数为，对称轴为直线
又因为在上单调递增，在上单调递减，
当，；
当时，；
当时，，
若，在上单调递增，
则，
解得（舍去）；
若，在上单调递减，在上单调递增，
则，
解得（舍去）或；
若，在上单调递减，在上单调递增，
则，
解得或（舍去）；
若，在上单调递减，
则，
解得（舍去），
综上所述，或.
（3）解：由（2）可知，
二次函数对称轴为直线，
又，
，
，
则当时，在上单调递增，
当时取得最大值，时取得最小值，
∴，
，为整数，且，
，
则的值为5，
又∵，
，
．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据“美好函数”的定义和函数最值求解方法，从而逐项判断找出美好函数的序号.
（2）①分和两种情况结合二次函数求最值的方法，从而求出二次函数在给定区间上的最值，再利用列方程，从而求出的值.
②先求出二次函数的对称轴，再分，，和四种情况求出函数在给定区间上的最值，再利用列方程，从而求出的值.
（3）由二次函数的单调性可知当时，随的增大而增大，从而求出和，再由为整数求出的值，最后由列方程求出的值.
（1）对于①在上单调递增
当时，，当时，，
∴，符合题意；
对于②在上单调递增
当时，，当时，，
∴，不符合题意；
对于③在上单调递增
当时，，当时，，
∴，不符合题意；
故①是在上的美好函数；
（2）①二次函数对称轴为直线，
当时，，当时，，
当时，在上单调递增
，
，
，
当时，在上单调递减，
，
，
综上所述，或；
②二次函数为，对称轴为直线，
在上单调递增，在上单调递减，
当，，
当时，，
当时，．
若，在上单调递增，
则，解得（舍去）；
若，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得（舍去），；
若，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得，（舍去）；
若，在上单调递减，
则，解得（舍去）．
综上所述，或；
（3）由（2）可知，二次函数对称轴为直线，
又，
，
，
当时，在上单调递增
当时取得最大值，时取得最小值，
∴
，为整数，且，
，即的值为5，
又∵，
，
．
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