浙江省金华市卓越联盟2025-2026学年高一上学期12月阶段性联考数学试题
1．（2025高一上·金华月考）是第几象限角（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
2．（2025高一上·金华月考）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一上·金华月考）命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高一上·金华月考）已知实数，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025高一上·金华月考）如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·金华月考）已知某种塑料经自然降解后残留量与时间（单位：年）之间的关系式为，其中为初始量，若这种塑料经自然降解，残留量不超过初始量的，则至少需要（ ）（参考数据：）
A．3年 B．4年 C．5年 D．6年
7．（2025高一上·金华月考）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高一上·金华月考）已知函数，记，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·金华月考）下列说法正确的是（ ）
A．函数恒过定点
B．函数与的图象关于直线对称
C．，当时，恒有
D．若幂函数在单调递减，则
10．（2025高一上·金华月考）函数，下列四个选项正确的是（ ）
A．是以为周期的函数
B．的图象关于对称
C．在区间上单调递增
D．，使得有解
11．（2025高一上·金华月考）已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．方程在的各根之和为，则
12．（2025高一上·金华月考）已知函数的定义域为，则的定义域为 .
13．（2025高一上·金华月考）若，，则的最小值为 .
14．（2025高一上·金华月考）已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 .
15．（2025高一上·金华月考）计算：
（1）；
（2）.
16．（2025高一上·金华月考）已知集合，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
17．（2025高一上·金华月考）如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
（1）当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，求此时的值；
（2）当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间.
18．（2025高一上·金华月考）已知函数，函数，其中.
（1）请探究与之间的等量关系（写出一个即可），并给出证明过程；
（2）求函数的零点；
（3）解关于的不等式：.
19．（2025高一上·金华月考）已知，函数.
（1）若，判断在上的单调性，并用定义证明；
（2）若，求的值域；
（3）若存在，使，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】解：，故终边相同，
又，第一象限的角，所以是第一象限的角，
故答案为：A
【分析】本题的核心是利用终边相同的角的性质，将负角转化为0到2π之间的正角，再判断其所在的象限。
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，故.
故答案为：B.
【分析】本题的核心是理解交集的定义，即同时属于集合A和集合B的元素组成的集合，我们需要找出所有满足 2≤x<6的偶数x。
3．【答案】C
【知识点】存在量词命题；命题的真假判断与应用；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题可得“，”是真命题，
当时，不等式为，显然成立；
当时，则，解得，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】本题的核心是将原特称命题为假，转化为其否定的全称命题为真，再通过分类讨论a=0和 a0 两种情况，结合二次函数的性质，确定实数a的取值范围。
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为在定义域内单调递减，
可知函数在定义域内单调递减，
若，即，可得，
所以等价于；
又因为在定义域内单调递增，
若，即，可得，
所以等价于；
综上所述：等价于，
所以“”是“”成立的充要条件.
故答案为：B.
【分析】本题的核心是通过构造函数，利用函数的单调性，分别将两个条件转化为等价的不等式，再比较这两个不等式是否等价，从而判断充分性与必要性。
5．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意可知，所以是等边三角形，
所以，，
所以扇形的面积为，的面积为，
又半圆的面积为，
所以图中阴影部分的面积为.
故答案为：B.
【分析】本题的核心是利用折叠的性质，先判断出AOD 为等边三角形，再分别计算扇形、三角形的面积，最后通过面积的加减求出阴影部分的面积。
6．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由题意得，即，
化简得，解得，
则至少需要6年，故D正确.
故答案为：D
【分析】本题的核心是根据残留量不超过初始量的40%建立不等式，再利用对数的运算性质求解不等式，最终确定满足条件的最小整数年数。
7．【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：当时，在上单调递减，最小值为，
此时在上单调递增且值域为，在上单调递减，
所以在上单调递减，则，
所以，即时，存在最小值，
当时，在上单调递减，最小值为，
此时在上单调递增且值域为，在上单调递增，
所以在上单调递增，则，
所以，即时，存在最小值，
当时，在上为常数函数，
此时在上单调递增且值域为，在上单调递增，
所以在上单调递增，则，显然无最小值，
当时，在上单调递增，
当时，，显然不可能存在最小值，
综上，存在最小值，则.
故答案为：D
【分析】本题的核心是对a的取值范围进行分类讨论，分别分析分段函数在x≤2和x>2两段上的单调性与值域，再通过两段函数值的衔接条件，确定f(x)存在最小值时a的取值范围。
8．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于方程，其根的判别式，
所以无实数解，恒成立，即的定义域为.
根据复合函数的性质可知的图象与的图象有相同的对称轴，
且在上单调递减，在上单调递增.
而，所以.
因为，所以，即，
所以，
所以，即，
所以.
故答案为：A.
【分析】本题的核心是利用复合函数的单调性和二次函数的对称性，将所有自变量转化到同一个单调区间内，再比较函数值的大小。
9．【答案】B,D
【知识点】对数函数的图象与性质；互为反函数的两个函数之间的关系；幂函数的图象与性质；一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】解：A，函数恒过定点，故A错误；
B，函数与的图象关于直线对称，故B正确；
C，因为指数函数的增长速度远远快于一次函数，所以时，恒有，故C错误；
D，由幂函数性质可知，幂函数在单调递减，则，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】本题的核心是逐一验证每个选项，依据对数函数过定点的性质、反函数的图象特征、指数函数与一次函数的增长速度对比，以及幂函数的单调性规律来判断对错。
10．【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由
令，当，可得，即，
当，可得，即，
作出函数图象如下：
由图象可知最小正周期为，A错误，
是图象的一条对称轴，B正确，
在区间上单调递增，再结合函数周期，
所以在区间上单调递增，C正确，
由图象可知函数最小值为，
又，由在单调递增，
可得：，
所以，使得有解，D正确，
故答案为：BCD
【分析】本题的核心是理解分段函数的定义，它取 与 中的较大者。我们先找到两个函数的交点，再结合图象分析其周期性、对称性、单调性和值域。
11．【答案】A,B,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A，由是定义在上的奇函数，则，
又，所以，
即，所以，
即是以为周期的周期函数；
又由为奇函数，则，则，，
又由，则，即，
则有，，综合可得，A正确；
B，由，则，
则
，B正确；
C，，所以，
又，
可得在上是减函数，又，，
则，故，
又由，则，
所以必存在，使得，即，，C正确；
D，由C知，在上是减函数，且，，
故在上是增函数，，
又，则，即，
故在上有一根，设为，则，
由为偶函数，则在上有一根，且为，
由，则，
故是以为周期的周期函数，
又，则，故关于对称，
又是以为周期的周期函数，则关于对称，
故在上有一根，且为，
又是以为周期的周期函数，
故在上有一根，且为，
在上有一根，且为；
故，
由，则，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】本题的核心是利用奇函数性质、周期性和函数表达式，逐步推导并验证每个选项的正确性。
12．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题设，可得，则的定义域为.
故答案为：
【分析】本题的核心是理解复合函数定义域的传递规则：外层函数 f(t) 的定义域即为内层函数 t=2x 1 的值域，由此建立不等式求解x的范围。
13．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，
∵，∴，，
∴，
当且仅当，即时取等号，
当时，∴，
∴当，时，的最小值为.
故答案为：.
【分析】本题的核心是利用已知条件a+b=1进行代换，将表达式转化为可以使用基本不等式的形式，再通过基本不等式求最小值。
14．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：当时，，即，
∴恒成立，
取不等式左边得恒成立，
令函数，则二次函数开口向下，且对称轴为，
∴，∴；
取不等式右边得恒成立，
令函数，二次函数开口向上，且对称轴为，
∴，∴即.
当时，，即，
∴，
取不等式左边得恒成立，
令，
由双勾函数的单调性可知，
∴，∴.
取不等式右边得恒成立，
由基本不等式可知，
当且仅当，即时取等号，∵，∴，即.
∵.∴.
故答案为：
【分析】本题的核心是将绝对值不等式f(x)≥∣x+a∣拆分成左右两个不等式，再针对x<1和x≥1两个区间分别求函数的最值，最终取交集得到a的取值范围。
15．【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【分析】(1) 依次化简根式、负指数幂、零指数幂，利用绝对值、指数幂的运算法则逐步计算。(2) 利用对数的运算法则（同底数合并、换底公式、指数与对数互化）化简每一项，再合并计算。
（1）原式
.
（2）原式
.
16．【答案】（1）解：由题得，即，解得或，
所以或.
（2）解：因为，所以，
①当即时，解得，满足题意；
②当即时，解得，
又，所以，
所以，解得.
综上所述，实数的取值范围.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)根据对数不等式 ，转化为指数形式 ，再解不等式得到集合 。
(2)由 可知 ，分 和 两种情况讨论，分别求出 的取值范围，最后取并集。
（1）由题得，即，解得或，
所以或.
（2） 因为，所以，
①当即时，解得，满足题意；
②当即时，解得，
又，所以，
所以，解得.
综上所述，实数的取值范围.
17．【答案】（1）解：由，得，
，
，
又由，则，
故.
（2）解：水轮每分钟逆时针转动5圈，则每秒逆时针转动，
由，可得，
可知秒后点，
则点到水面的高度为，
当第一次到达最高点时，即时，，
即可得
故点第一次到达最高点所需要的时间为4秒.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【分析】(1)先通过余弦定理求出 ，得到 与 的关系；再由 的纵坐标求出 ；最后利用诱导公式将 转化为 求值。
(2)由转速算出角速度 ，由初始位置得到初相 ，写出高度函数；令函数取最大值，解出第一次到达最高点的时间。
（1）由，得，
，
，
又由，则，
故.
（2）水轮每分钟逆时针转动5圈，则每秒逆时针转动，
由，可得，
可知秒后点，
则点到水面的高度为，
当第一次到达最高点时，即时，，
即可得
故点第一次到达最高点所需要的时间为4秒.
18．【答案】（1）证明：由，
故；
（2）解：由（1）知，代入得：，
又，
代入得：，
所以，解得：舍去
，故的零点为0；
（3）解：因为，
，
，
，
即，
当，不等式的解集为；
当，不等式的解集为；
当，不等式的解集为；
当，不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的性质；有理数指数幂的运算性质；指数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）直接对 与 进行平方相加，验证是否等于 。
(2)利用第(1)问的结论 ，代入 并结合 化简，转化为关于 的二次方程求解。
(3)先化简不等式 ，利用 与 消去 项，再令 （奇函数且单调递增），分情况讨论参数 求解。
（1）由，
故；
（2）由（1）知，代入得：，
又，
代入得：，
所以，解得：舍去
，故的零点为0；
（3）因为，
，
，
，
即，
当，不等式的解集为；
当，不等式的解集为；
当，不等式的解集为；
当，不等式的解集为.
19．【答案】（1）证明：在上单调递减，证明如下：
当时，，任取，
则，
，，则，
所以，可得，
在单调递减.
（2）解：当时，，令，
则，
因为在上单调递增，可知，
故，即的值域为.
（3）解：令，即存在使之成立.
令，则存在为方程的解.
①当时，，不符合题目要求，不成立.
②当时，原方程同解于，令，则，
所以，存在使之成立.
设，原问题转化为存在使成立.
当时，函数变为，显然不合题意；
当，即时，函数在和上单调递增，
易知为奇函数且有两个零点为和，如图，
所以当时，必有，可得：
或当，即时，符合题意.
综上，.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的零点与方程根的关系；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)代入 化简函数，再用定义法：任取 ，计算 的符号，判断单调性。
(2)代入 化简函数，换元 （），转化为关于 的函数，再求值域。
(3)令 ，则问题转化为存在 使 ，即函数在 和 上有相同函数值，通过分析函数的单调性与取值范围求 的范围。
（1）在上单调递减，证明如下：
当时，，任取，
则，
，，则，
所以，可得，
在单调递减.
（2）当时，，令，
则，
因为在上单调递增，可知，
故，即的值域为.
（3）令，即存在使之成立.
令，则存在为方程的解.
①当时，，不符合题目要求，不成立.
②当时，原方程同解于，令，则，
所以，存在使之成立.
设，原问题转化为存在使成立.
当时，函数变为，显然不合题意；
当，即时，函数在和上单调递增，
易知为奇函数且有两个零点为和，如图，
所以当时，必有，可得：
或当，即时，符合题意.
综上，.
1 / 1浙江省金华市卓越联盟2025-2026学年高一上学期12月阶段性联考数学试题
1．（2025高一上·金华月考）是第几象限角（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】解：，故终边相同，
又，第一象限的角，所以是第一象限的角，
故答案为：A
【分析】本题的核心是利用终边相同的角的性质，将负角转化为0到2π之间的正角，再判断其所在的象限。
2．（2025高一上·金华月考）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，故.
故答案为：B.
【分析】本题的核心是理解交集的定义，即同时属于集合A和集合B的元素组成的集合，我们需要找出所有满足 2≤x<6的偶数x。
3．（2025高一上·金华月考）命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】存在量词命题；命题的真假判断与应用；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题可得“，”是真命题，
当时，不等式为，显然成立；
当时，则，解得，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】本题的核心是将原特称命题为假，转化为其否定的全称命题为真，再通过分类讨论a=0和 a0 两种情况，结合二次函数的性质，确定实数a的取值范围。
4．（2025高一上·金华月考）已知实数，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为在定义域内单调递减，
可知函数在定义域内单调递减，
若，即，可得，
所以等价于；
又因为在定义域内单调递增，
若，即，可得，
所以等价于；
综上所述：等价于，
所以“”是“”成立的充要条件.
故答案为：B.
【分析】本题的核心是通过构造函数，利用函数的单调性，分别将两个条件转化为等价的不等式，再比较这两个不等式是否等价，从而判断充分性与必要性。
5．（2025高一上·金华月考）如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意可知，所以是等边三角形，
所以，，
所以扇形的面积为，的面积为，
又半圆的面积为，
所以图中阴影部分的面积为.
故答案为：B.
【分析】本题的核心是利用折叠的性质，先判断出AOD 为等边三角形，再分别计算扇形、三角形的面积，最后通过面积的加减求出阴影部分的面积。
6．（2025高一上·金华月考）已知某种塑料经自然降解后残留量与时间（单位：年）之间的关系式为，其中为初始量，若这种塑料经自然降解，残留量不超过初始量的，则至少需要（ ）（参考数据：）
A．3年 B．4年 C．5年 D．6年
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由题意得，即，
化简得，解得，
则至少需要6年，故D正确.
故答案为：D
【分析】本题的核心是根据残留量不超过初始量的40%建立不等式，再利用对数的运算性质求解不等式，最终确定满足条件的最小整数年数。
7．（2025高一上·金华月考）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：当时，在上单调递减，最小值为，
此时在上单调递增且值域为，在上单调递减，
所以在上单调递减，则，
所以，即时，存在最小值，
当时，在上单调递减，最小值为，
此时在上单调递增且值域为，在上单调递增，
所以在上单调递增，则，
所以，即时，存在最小值，
当时，在上为常数函数，
此时在上单调递增且值域为，在上单调递增，
所以在上单调递增，则，显然无最小值，
当时，在上单调递增，
当时，，显然不可能存在最小值，
综上，存在最小值，则.
故答案为：D
【分析】本题的核心是对a的取值范围进行分类讨论，分别分析分段函数在x≤2和x>2两段上的单调性与值域，再通过两段函数值的衔接条件，确定f(x)存在最小值时a的取值范围。
8．（2025高一上·金华月考）已知函数，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于方程，其根的判别式，
所以无实数解，恒成立，即的定义域为.
根据复合函数的性质可知的图象与的图象有相同的对称轴，
且在上单调递减，在上单调递增.
而，所以.
因为，所以，即，
所以，
所以，即，
所以.
故答案为：A.
【分析】本题的核心是利用复合函数的单调性和二次函数的对称性，将所有自变量转化到同一个单调区间内，再比较函数值的大小。
9．（2025高一上·金华月考）下列说法正确的是（ ）
A．函数恒过定点
B．函数与的图象关于直线对称
C．，当时，恒有
D．若幂函数在单调递减，则
【答案】B,D
【知识点】对数函数的图象与性质；互为反函数的两个函数之间的关系；幂函数的图象与性质；一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】解：A，函数恒过定点，故A错误；
B，函数与的图象关于直线对称，故B正确；
C，因为指数函数的增长速度远远快于一次函数，所以时，恒有，故C错误；
D，由幂函数性质可知，幂函数在单调递减，则，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】本题的核心是逐一验证每个选项，依据对数函数过定点的性质、反函数的图象特征、指数函数与一次函数的增长速度对比，以及幂函数的单调性规律来判断对错。
10．（2025高一上·金华月考）函数，下列四个选项正确的是（ ）
A．是以为周期的函数
B．的图象关于对称
C．在区间上单调递增
D．，使得有解
【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由
令，当，可得，即，
当，可得，即，
作出函数图象如下：
由图象可知最小正周期为，A错误，
是图象的一条对称轴，B正确，
在区间上单调递增，再结合函数周期，
所以在区间上单调递增，C正确，
由图象可知函数最小值为，
又，由在单调递增，
可得：，
所以，使得有解，D正确，
故答案为：BCD
【分析】本题的核心是理解分段函数的定义，它取 与 中的较大者。我们先找到两个函数的交点，再结合图象分析其周期性、对称性、单调性和值域。
11．（2025高一上·金华月考）已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．方程在的各根之和为，则
【答案】A,B,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A，由是定义在上的奇函数，则，
又，所以，
即，所以，
即是以为周期的周期函数；
又由为奇函数，则，则，，
又由，则，即，
则有，，综合可得，A正确；
B，由，则，
则
，B正确；
C，，所以，
又，
可得在上是减函数，又，，
则，故，
又由，则，
所以必存在，使得，即，，C正确；
D，由C知，在上是减函数，且，，
故在上是增函数，，
又，则，即，
故在上有一根，设为，则，
由为偶函数，则在上有一根，且为，
由，则，
故是以为周期的周期函数，
又，则，故关于对称，
又是以为周期的周期函数，则关于对称，
故在上有一根，且为，
又是以为周期的周期函数，
故在上有一根，且为，
在上有一根，且为；
故，
由，则，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】本题的核心是利用奇函数性质、周期性和函数表达式，逐步推导并验证每个选项的正确性。
12．（2025高一上·金华月考）已知函数的定义域为，则的定义域为 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题设，可得，则的定义域为.
故答案为：
【分析】本题的核心是理解复合函数定义域的传递规则：外层函数 f(t) 的定义域即为内层函数 t=2x 1 的值域，由此建立不等式求解x的范围。
13．（2025高一上·金华月考）若，，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，
∵，∴，，
∴，
当且仅当，即时取等号，
当时，∴，
∴当，时，的最小值为.
故答案为：.
【分析】本题的核心是利用已知条件a+b=1进行代换，将表达式转化为可以使用基本不等式的形式，再通过基本不等式求最小值。
14．（2025高一上·金华月考）已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：当时，，即，
∴恒成立，
取不等式左边得恒成立，
令函数，则二次函数开口向下，且对称轴为，
∴，∴；
取不等式右边得恒成立，
令函数，二次函数开口向上，且对称轴为，
∴，∴即.
当时，，即，
∴，
取不等式左边得恒成立，
令，
由双勾函数的单调性可知，
∴，∴.
取不等式右边得恒成立，
由基本不等式可知，
当且仅当，即时取等号，∵，∴，即.
∵.∴.
故答案为：
【分析】本题的核心是将绝对值不等式f(x)≥∣x+a∣拆分成左右两个不等式，再针对x<1和x≥1两个区间分别求函数的最值，最终取交集得到a的取值范围。
15．（2025高一上·金华月考）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【分析】(1) 依次化简根式、负指数幂、零指数幂，利用绝对值、指数幂的运算法则逐步计算。(2) 利用对数的运算法则（同底数合并、换底公式、指数与对数互化）化简每一项，再合并计算。
（1）原式
.
（2）原式
.
16．（2025高一上·金华月考）已知集合，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由题得，即，解得或，
所以或.
（2）解：因为，所以，
①当即时，解得，满足题意；
②当即时，解得，
又，所以，
所以，解得.
综上所述，实数的取值范围.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)根据对数不等式 ，转化为指数形式 ，再解不等式得到集合 。
(2)由 可知 ，分 和 两种情况讨论，分别求出 的取值范围，最后取并集。
（1）由题得，即，解得或，
所以或.
（2） 因为，所以，
①当即时，解得，满足题意；
②当即时，解得，
又，所以，
所以，解得.
综上所述，实数的取值范围.
17．（2025高一上·金华月考）如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
（1）当，点在转动过程中第一次使得时，记水轮与轴交于点，求此时的值；
（2）当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间.
【答案】（1）解：由，得，
，
，
又由，则，
故.
（2）解：水轮每分钟逆时针转动5圈，则每秒逆时针转动，
由，可得，
可知秒后点，
则点到水面的高度为，
当第一次到达最高点时，即时，，
即可得
故点第一次到达最高点所需要的时间为4秒.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【分析】(1)先通过余弦定理求出 ，得到 与 的关系；再由 的纵坐标求出 ；最后利用诱导公式将 转化为 求值。
(2)由转速算出角速度 ，由初始位置得到初相 ，写出高度函数；令函数取最大值，解出第一次到达最高点的时间。
（1）由，得，
，
，
又由，则，
故.
（2）水轮每分钟逆时针转动5圈，则每秒逆时针转动，
由，可得，
可知秒后点，
则点到水面的高度为，
当第一次到达最高点时，即时，，
即可得
故点第一次到达最高点所需要的时间为4秒.
18．（2025高一上·金华月考）已知函数，函数，其中.
（1）请探究与之间的等量关系（写出一个即可），并给出证明过程；
（2）求函数的零点；
（3）解关于的不等式：.
【答案】（1）证明：由，
故；
（2）解：由（1）知，代入得：，
又，
代入得：，
所以，解得：舍去
，故的零点为0；
（3）解：因为，
，
，
，
即，
当，不等式的解集为；
当，不等式的解集为；
当，不等式的解集为；
当，不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的性质；有理数指数幂的运算性质；指数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）直接对 与 进行平方相加，验证是否等于 。
(2)利用第(1)问的结论 ，代入 并结合 化简，转化为关于 的二次方程求解。
(3)先化简不等式 ，利用 与 消去 项，再令 （奇函数且单调递增），分情况讨论参数 求解。
（1）由，
故；
（2）由（1）知，代入得：，
又，
代入得：，
所以，解得：舍去
，故的零点为0；
（3）因为，
，
，
，
即，
当，不等式的解集为；
当，不等式的解集为；
当，不等式的解集为；
当，不等式的解集为.
19．（2025高一上·金华月考）已知，函数.
（1）若，判断在上的单调性，并用定义证明；
（2）若，求的值域；
（3）若存在，使，求的取值范围.
【答案】（1）证明：在上单调递减，证明如下：
当时，，任取，
则，
，，则，
所以，可得，
在单调递减.
（2）解：当时，，令，
则，
因为在上单调递增，可知，
故，即的值域为.
（3）解：令，即存在使之成立.
令，则存在为方程的解.
①当时，，不符合题目要求，不成立.
②当时，原方程同解于，令，则，
所以，存在使之成立.
设，原问题转化为存在使成立.
当时，函数变为，显然不合题意；
当，即时，函数在和上单调递增，
易知为奇函数且有两个零点为和，如图，
所以当时，必有，可得：
或当，即时，符合题意.
综上，.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的零点与方程根的关系；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)代入 化简函数，再用定义法：任取 ，计算 的符号，判断单调性。
(2)代入 化简函数，换元 （），转化为关于 的函数，再求值域。
(3)令 ，则问题转化为存在 使 ，即函数在 和 上有相同函数值，通过分析函数的单调性与取值范围求 的范围。
（1）在上单调递减，证明如下：
当时，，任取，
则，
，，则，
所以，可得，
在单调递减.
（2）当时，，令，
则，
因为在上单调递增，可知，
故，即的值域为.
（3）令，即存在使之成立.
令，则存在为方程的解.
①当时，，不符合题目要求，不成立.
②当时，原方程同解于，令，则，
所以，存在使之成立.
设，原问题转化为存在使成立.
当时，函数变为，显然不合题意；
当，即时，函数在和上单调递增，
易知为奇函数且有两个零点为和，如图，
所以当时，必有，可得：
或当，即时，符合题意.
综上，.
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