高考数学一轮复习《三角函数》专项试题（含解析）

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高考数学一轮复习《三角函数》专项试题
一、选择题。（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若，，则（　　）
A． B． C． D．
2．若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
3．如图是函数的图象，则的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．3
4．已知，则（　　）
A． B． C． D．
5．扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（　　）
A．1 B． C．3 D．6
6．已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．将函数图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数的图象，若点被变换成了点，且，则的所有可能值之和为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题。（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知为锐角，若，则下列说法正确的有（　　）
A．的终边经过点 B．
C． D．若，则
10．已知函数，则（　　）
A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递增
C．的最小正周期为 D．在点处的切线方程为
11．如图所示为函数（，）的部分图象，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．在区间上单调递增
C．将的图象向右平移个单位可以得到的图象
D．方程在上有三个根
三、填空题。（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为　 　.
13．已知，则　 　．
14．已知，则　 　.
四、解答题。（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求A；
（2）若，，求的周长.
16．已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）若的面积为，为的中点，求长度的最小值．
17．记的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，且边上的高为，求的周长．
18．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）若不等式在上恒成立，求m的取值范围.
19．已知的角所对应的边为，，.
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）在（2）的条件下，求证：.
答案与解析
一、选择题
1．若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：将变形为，
即.
.
把代入上式，
可得.
已知，所以，即.
因为，可得.
由，
所以.
又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】先利用三角函数的恒等变换可得，再利用即可求解.
2．若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，则，
由题意可得：，即，
所以，故.
故答案为：A.
【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面周长，从而得出圆锥底面的半径，再利用勾股定理得出圆锥的高，最后由圆锥的体积公式得出该圆锥的体积.
3．如图是函数的图象，则的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】由三角型函数的对称性，可得，
所以，
故答案为：C.
【分析】由三角型函数图象的对称性可知到间隔半个周期，再利用正弦型函数的最小正周期公式，从而得出的值.
4．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：因为．
故答案为：D．
【分析】先通过诱导公式把转化为 ，再利用二倍角公式将转化为 ，最后用二倍角的余弦公式展开计算.
5．扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（　　）
A．1 B． C．3 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：设扇形的圆心角为，由扇形面积为6，可得，解得.
故答案为：C.
【分析】设扇形的圆心角为，根据扇形面积公式计算即可.
6．已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】因为，所以，
即，整理得，
即，
已知
所以或，
所以或（舍去）.
故选：D
【分析】利用 “化切为弦” 将正切式转化为正弦、余弦式，逆用两角和正弦公式化简，结合正弦函数性质sin A = sin B时A = B + 2k或A = - B + 2k，结合角的范围求解
7．已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，解得或，
又，，
.
故选：C.
【分析】结合已知条件和两角和的正切公式先求得，进而利用诱导公式以及二倍角公式，同角的三角函数关系式化简计算即可.
8．将函数图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数的图象，若点被变换成了点，且，则的所有可能值之和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：易知点，
因为A被变换成点，且，
所以或，
函数平移和伸缩变换得到 ，
经过变换后为点，
当时，，代入得，
即或，
对于，
因为，当时，，
对于，
化简得，
当时，，
时，，
则可由先向右平移，
再纵坐标不变横坐标变为原来的二倍得到，
横坐标为的点向右平移得到的点横坐标为，再乘以2可得，
而，不合题意舍去；
当时，，代入得，
即或，
对于，
化简得，
因为，当时，，
对于，
化简得 ，，
此时，
综上，所有可能值为和，它们的和为．
故答案为：A．
【分析】先求的点，将点变换成了点，可得，则或，，再将代入解析式，分类讨论分别求出的值即可．
二、多项选择题
9．已知为锐角，若，则下列说法正确的有（　　）
A．的终边经过点 B．
C． D．若，则
【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：对于A，因为，又因为角为锐角，
则，则，
则的终边经过点，
取，则的终边经过点，故A正确；
对于B，因为，又因为为锐角，
则，所以，
则，故B错误；
对于C，因为，又因为，
所以，
则，故C正确；
对于D，因为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由二倍角的正切公式结合，从而可得的值，则判断出选项A；利用已知条件结合角为锐角，从而得出的值，再结合诱导公式判断出选项B；由选项B结合二倍角的余弦公式和同角三角函数基本关系式，则判断出选项C；由两角差的正切公式可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
10．已知函数，则（　　）
A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递增
C．的最小正周期为 D．在点处的切线方程为
【答案】B,D
【解析】【解答】解：A、由于，则不是的对称轴，故A错误；
B、当时，，
由余弦函数的性质可知，在区间上单调递增，故B正确；
C、函数的最小正周期为，故C错误；
D、，，则在点处的切线方程为，故D正确．
故答案为：BD
【分析】利用余弦函数的性质逐项分析即可判断ABC；利用导数的意义可得，再利用点斜式方程即可判断D.
11．如图所示为函数（，）的部分图象，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．在区间上单调递增
C．将的图象向右平移个单位可以得到的图象
D．方程在上有三个根
【答案】A,C
【解析】【解答】解：A、由图象可得的最小正周期，所以，
因为，所以，所以，
而，所以，所以，故选项A正确；
B、当时，，所以在区间上不单调，故选项B错误；
C、，故选项C正确；
D、当时，，由，得或，所以方程在上有2个根，故选项D错误.
故选：AC.
【分析】根据给定的函数图象和正弦函数的性质求得函数解析式即可判断选项A；根据求得，进而利用正弦函数的单调性即可判断选项B；根据三角函数的图象变换和诱导公式即可判断选项C；由可得，利用正弦函数的性质即可判断选项D.
三、填空题
12．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：由解得，，
令，得，
依题意，在区间上单调递增，
则实数的取值范围为.
故答案为：
【分析】先求得的单调递增区间，再令即可求解.
13．已知，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，所以，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】借助辅助角公式与同角三角函数基本关系求得，，进而根据诱导公式可知，化简计算即可求得 .
14．已知，则　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式可得，进而利用二倍角的余弦公式代入数值求解即可.
四、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求A；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）解：由得，
，
即，
故，
因为，
所以，
即，
因为，所以，故，
因为，所以.
（2）解：，由正弦定理得，
因为，所以，
由（1）知，，由余弦定理得，
解得，故，所以，
所以的周长为.
【解析】【分析】（1）思路是对已知等式进行三角恒等变换，通过整理化简得到关于的式子，结合角的范围求出，进而确定角 .
（2）先根据正弦定理将转化为边的关系，再结合（1）中求得的角，利用余弦定理求出边和，最后计算周长 .
（1）由得，
，
即，
故，
因为，
所以，
即，
因为，所以，故，
因为，所以；
（2），由正弦定理得，
因为，所以，
由（1）知，，由余弦定理得，
解得，故，所以，
所以的周长为.
16．已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）若的面积为，为的中点，求长度的最小值．
【答案】（1）∵，由正弦定理得
∴
，
∵，∴，
又，∴.
（2）由题意得，∴，
在中，由余弦定理得
，当时取到等号，
∴的最小值为.
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简求解.
（2）利用余弦定理及基本不等式求解.
（1）在中，由及正弦定理得，
则
，而，则，又，
所以.
（2）依题意，，由（1）知，得，
在中，由余弦定理得
，当时取到等号，
所以的最小值为.
17．记的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，且边上的高为，求的周长．
【答案】（1）解：因为
又因为，
所以
又因为，所以，
解得或，
所以或．
（2）解：若，，
由余弦定理，得：，
所以，
所以的周长为；
若，为直角三角形，斜边上的高为，
由斜边中线长为斜边一半，则斜边上的中线为1，
则该三角形不存在，故的周长为6．
【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，结合诱导公式和两角和的正弦公式，从而得出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）利用已知条件和分类讨论的方法，若，利用三角形的面积公式，从而得出bc的值，再利用余弦定理得出b+c的值，结合三角形的周长公式得出的周长；若，为直角三角形，斜边上的高为，由斜边中线长为斜边一半，则斜边上的中线为1，则该三角形不存在，综上所述，的周长为6．
（1），
又，
所以
又，所以，解得或，
所以或．
（2）若，，
由余弦定理得，，
所以，所以的周长为；
若，为直角三角形，斜边上的高为，
由斜边中线长为斜边一半，则斜边上的中线为1，则该三角形不存在，
故的周长为6．
18．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）若不等式在上恒成立，求m的取值范围.
【答案】（1）解：由函数图象可知，，
则，
因为，所以，
由，
得，
则，
因为，所以，
所以．
（2）解：由，
得，
所以的单调递减区间为．
（3）解：因为不等式在上恒成立，
所以，
又因为，
所以，
当时，，
则，
所以m的取值范围为．
【解析】【分析】（1）根据函数图象的最高点的纵坐标确定A的值，再利用特殊点的坐标得出的值，从而得出函数的解析式.
（2）根据换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数的单调性，则得出函数的单调递减区间.
（3）根据x的取值范围结合正弦型函数求最值的方法得出函数在的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
（1）由函数图象可知，，
则，因为，所以．
由，得，
即，
因为，所以，所以．
（2）由，得，
所以的单调递减区间为．
（3）因为不等式在上恒成立，所以，
因为，所以，
当时，，
则，即m的取值范围为．
19．已知的角所对应的边为，，.
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）在（2）的条件下，求证：.
【答案】（1）由和正弦定理知，
又，则，
又，cos A = 2sin A代入该式
因，sinA>0，解得

（2）由得，
，
即，
由，，即，
则或，
当时，，与题目中的矛盾，舍去，
故，又，故，
即
（3）证明：因，则，
则，即，
故，
即，
因为，故为钝角，令，，
令，
由，
故在上单调递减，
又，，
所以由零点存在定理可知，存在使得，所以，
因，
则
由可得，
又
则，从而，则.
又，则，
所以，即
又，则，
综上：
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边的关系a = bcos A转化为角的关系，再结合已知角B的值，以及同角三角函数的平方关系来求解sin A；
（2）先将tan C化切为弦，再利用三角函数的和角公式以及三角形内角和定理，推导出角之间的关系，从而求出A + 2B的值；
（3）先利用已知条件和三角函数公式得到关于cos B的方程，构造函数并利用其单调性确定cos B的范围，进而得到sin B、sin C等的范围，再根据角的大小关系和正弦定理来证明边的大小关系，得出.
（1）由和正弦定理知，
又，则，又，
因，解得；
（2）由得，
，
即，
由，，即，
则或，
当时，，与题目中的矛盾，舍去，
故，又，故，
即；
（3）因，则，
则，即，
故，
即，
因为，故为钝角，令，，
令，
由，
故在上单调递减，
有，，所以，
因，则
由可得，
则，从而，则.
又，则，
所以，即
又，则，
综上：
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