20.2勾股定理的逆定理及其应用 课堂练习（含答案）人教版八年级下册数学

20.2勾股定理的逆定理及其应用课堂练习（含答案）人教版八年级下册数学
一、单选题
1．下列各组数据中，能构成直角三角形的是（　　）
A． B．6，7，8 C．1，2，3 D．9，12，15
2．制作一直角三角板，下列长度可以采用的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列是勾股数的是　　
A．12，15，18 B．6，10，7 C．12，16，20 D．，，
4．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．6，8，10 B．1，1， C．2，3，4 D．5，12，14
5．下列各组数中，能作为直角三角形边长的是（　　）
A．1，2，3 B．6，7，8 C．1，1， D．5，12，13
6．在中，，，的对应边长分别为，，，若，，满足，则（　　）
A． B． C． D．无法确定
7．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝ ： ：
8．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．，3，5 C．6，8，10 D．5，12，12
9．已知a，b，c是三角形三边，满足 ，则三角形的形状是（　　）
A．腰和底不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
10．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　）
A．1，3，5 B．，，1 C．，2，3 D．6，8，9
二、填空题
11．若三角形的三边之比为，则此三角形为　 　三角形．
12．如图所示的方格纸中，点A，B，C都在方格线的交点上，则　 　°．
13．在探索勾股定理的实践课上，同学们发现勾股定理本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…，分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第6个勾股数组为　 　．
14．如图，，，，点B在点O的北偏东50°方向，则点A在点O的　 　方向．
15．一个三角形的三边长分别为 6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为　 　．
16．已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数．
（1）若三角形为等边三角形，则t＝　 　 ；
（2）下列结论正确的是　 　 ．（写出所有正确的结论）
①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形；
②若，则5＜t＜11；
③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7．
三、综合题
17．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
四、实践探究题
18．（1）大家知道(3，4，5)(5，12， 13)(8，15，17)都是勾股数组.有人说勾股数组中一定有一个偶数，你认为这种观点正确吗 请说明你的理由.
（2）你还能发现勾股数组具有哪些规律 与同伴进行交流.
（3）小明发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数分别可以写成 再找几个勾股数组，看看他发现的规律是否正确.满足这个规律的数组都是勾股数组吗
19．旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”.
【问题解决】如图1，P是等边△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB.
（1）则点P与P'之间的距离为PP'=　 　，　 　°(直接写出答案)
（2）在(1)的条件下，小明同学在求时思路如下：如图2，过点B作BH⊥AP，交AP延长线于H，请你根据他的思路，计算　 　(直接写出答案)
（3）【类比探究】如图3，点P是正方形ABCD内一点，.求的度数 请写出完整过程； ▲ (直接写出答案)
（4）【学以致用】如图4，将绕点B逆时针旋转至，连接PP'、A'C，记A'C与AB交于点D，可知，，由，，可知为等边三角形，有.故，因此，当A'、P'、P、C共线时，如图5，有最小值为A'C.
请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值为　 　(直接写出答案)
20．我们定义：对角线相等的四边形为等对四边形．
（1）尝试：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为5的等对四边形，要求四个顶点均在格点上；
（2）推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等边三角形和，连结．求证：四边形是等对四边形：
（3）拓展：如图3，已知四边形是等对四边形，，求边的长．
五、证明题
21．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．
（1）求证：；
（2）求修建的公路的长．
答案
1．D 2．B 3．C 4．A 5．D 6．B 7．D 8．C 9．D 10．B 11．直角 12．135
13． 14．北偏西40°（或西偏北50°） 15．5 16．（1）2 （2）①②
17．（1）解：如图，过作，
，，，
是直角三角形
∴
解得：
答：山地C距离公路的垂直距离为
（2）解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，
由（1）可知，
有危险需要暂时封锁
由作图可知：
=
在中
即需要封锁的公路长为．
18．（1）解：正确。若三个数均为奇数，则为偶数，而为奇数，矛盾，故必含偶数。
（2）解：关勾股数组的规律如下：
①将一组勾股数中的每一个数同时扩大正整数倍后，仍然是一组勾股数，如3，4，5，都乘以2得到6， 8， 10也是勾股数；
②当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数，如5，12，13，最大的两个数12，13是连续整数，最小数的平方是25是奇数；
③当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数，如8，15，17，最大的两个数是连续的奇数，另一数的平方是64，是4的倍数；
（3）解：他发现的规律正确，理由如下：
如： 勾股数5， 12， 13， 其中1 2 = 2 × 3 × 2 ， 5 = 满足该形式；
勾股数6， 8， 10， 约去公因数后为3， 4， 5， 满足该形式；
故他发现的规律正确；
满足这个规律的数组都是勾股数组，理由如下：
∴满足这个规律的数组都是勾股数组.
19．（1）3；150°
（2）
（3）解：；完整过程如下：
将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP，交BP的延长线于点H
由旋转可得：∠PBP'=90°，BP'=BP=2，P'C=PA=1，∠BP'C=∠APB∴△BP'P为等腰直角三角形∴∠BP'P=45°
在Rt△BPP'中，由勾股定理可得PP'2=BP'2+BP2=8∴PP'2+P'C2=9，PC2=9∴PC2=PP'2+P'C2
∴△PP'C为直角三角形，即∠PP'C=90°∴∠BP'C=∠BP'P+∠PP'C=135°
∴∠APB=∠BP'C=135°∴
（4）
20．（1）解：如图：
对角线长为，即为所求.
（2）证明：如图4，连结CD，BE，
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠EAC=60°，
∴∠CAD＝∠EAB，
∵AB＝AD，∠CAD＝∠EAB，AC＝AE，
∴△CAD≌△EAB，
∴CD＝BE，
∴四边形BCED是等对四边形，
（3）解：如图5，作AB和CD的中垂线交于点E，连结AE，BE，CE，DE，
则AE＝BE，CE＝DE，
∵AC＝BD，
∴△AEC≌△BED，
∴∠EAC＝∠EBD，
∴∠AEB＝∠AOB＝180°－∠BOC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
同理：△CDE是等边三角形，
∴AE＝BE＝AB＝4，，
∵，
∴，
∴∠BEC＝90°，
∴∠AED＝360°－60°－60°－90°＝150°，
∵∠AEF＝30°，
∴D、E、F在同一条直线上，
Rt△ADF中，AF＝2，，
∴.
21．（1）证明：∵，，，，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴．
答：修建的公路的长是．
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