贵州安顺市全市各普通高中2025-2026学年第一学期期末教学质量监测高三数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 贵州安顺市全市各普通高中2025-2026学年第一学期期末教学质量监测高三数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 82.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-10 00:00:00 | ||
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文档简介
全市各普通高中2025—2026学年度第一学期期末教学质量监测
高三数学试题
注意事项：
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
请在答题卡相应位置作答，在试卷上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，且，则实数的最小值为
A.0 B.1 C.2 D.3
2. 已知角，若，则
A. B.
C. D.
3. 已知某学习小组一次数学测试成绩（单位：分）分别为78，82，85，90，，95，98，105，若该组数据的第50百分位数为92，则实数
A.89 B.92 C.94 D.99
4. 已知函数，则下列结论正确的是
A. 是奇函数，且在上单调递增
B. 是奇函数，且在上单调递减
C. 是偶函数，且在上单调递增
D. 是偶函数，且在上单调递减
5. 已知圆关于直线对称，则坐标原点到直线的距离等于
A.0 B.
C. D.5
6. 一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置，如图（1），水面恰好过棱，，，的中点，，，。若将容器的底面水平放置，如图（2），则容器中水面的高为
A.6 B.7 C.8 D.9
7. 定义：数列的“间隔和”数列为。若则
A.22 B.30 C.34 D.36
8. 记二项式的展开式中的系数为，且（），则
A.5 B.6 C.7 D.8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 设复数（为虚数单位，），则下列结论正确的是
A. 当时，为纯虚数
B. 一定是实数
C. 的最小值为2
D. 在复平面内对应点的轨迹是圆
10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列选项正确的是
A. 抛物线的准线方程为
B. 为定值
C. 若为坐标原点，则可能为正三角形
D. 的最小值为
11. 已知函数，下列说法正确的是
A. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
B. 在区间上的最大值为
C. 在区间上存在唯一极值点
D. 若函数在区间上单调递减，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 设，是两个不共线的向量，，，。若，，三点共线，则实数。
13. 已知对任意恒成立，则双曲线（，）的离心率为。
14. 的内角，，所对的边分别为，，，且，，边上的中线长为，则的最大值为；实数的取值范围是。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知数列的前项和为，且满足，（为常数），数列满足。
（1）求常数的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列的前项和为，求证：。
16.（本小题满分15分）
为了解某市市民对2025—2026赛季“市长杯”青少年校园足球超级联赛的关注情况，某单位随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表：
性别 不关注赛事 关注赛事 合计
男性 20 120 140
女性 40 60 100
合计 60 180 240
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为关注赛事与性别有关？
（2）为了宣传该项赛事，从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法随机抽取6人组成宣传小组。现从这6人中随机抽取3人到学校内宣传，求到学校内宣传的市民中男性人数的分布列和数学期望。
附：，。
0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
17.（本小题满分15分）
已知函数（为常数，且）.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
18.（本小题满分17分）
在图（1）的直角梯形中，，，，点是的中点，，
现将图（1）中的沿着翻折至如图（2）所示的位置，连接，，使得，
得到四棱锥，已知，分别为，的中点，平面与棱交于点.
（1）求证：平面.
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
19.（本小题满分17分）
已知椭圆经过点，离心率为，直线过椭圆的右焦点且与椭圆相交于，两点（点在轴上方）.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）若 （为坐标原点），求直线的方程.
（3）已知点为轴正半轴上异于点的一定点，若直线，的倾斜角分别为，
（），是否存在唯一实数，使得恒成立？ 若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.
全市各普通高中2025—2026学年度第一学期期末教学质量监测
高三数学参考答案
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C A B D C B
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（两个答案的每个3分，三个答案的每个2分）。
题号 9 10 11
答案 AC ABD ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
题号 12 13 14
答案 －7 16；
（注意：第14题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
解：（1）由，得，
即，解得. 3分
（2）由（1）有，①
当时，，②
①－②得，即， 7分
所以数列为常数列.
又，所以数列的通项公式为. 8分
（3）证明：由（2）得，
即是等比数列，且首项为1，公比为，10分
所以. 13分
16.（本小题满分15分）
解：（1）零假设为：关注赛事与性别无关. ………………………………………… 1分
. ………………………………………… 4分
依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，即认为关注赛事与性别有关. ………………………………………………………………………………………… 6分
（2）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是，
则应抽取男性市民人，抽取女性市民人. ………………………… 8分
依题意，可能的取值为1，2，3. …………………………………………………… 9分
；………………………………………………………… 10分
；………………………………………………………… 11分
. ………………………………………………………… 12分
的分布列为
1 2 3
……………………………………………………………………………………… 13分
的数学期望为. ………………………………………… 15分
17.（本小题满分15分）
解：（1）当时，，定义域为，. ……
……………………………………………………………………………………… 2分
令，即，解得；
令，即，解得. …………………………………………………… 4分
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
在处取得极小值，极小值为，无极大值. ………… 6分
（2）因为，所以由，得. ……………… 8分
设，则. …………………………………… 9分
令，解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减. ………………………… 11分
所以 。……… 13分
又 ，所以当 时，；当 时，，且 。
由函数 有两个零点知，函数 与 的图象有两个交点，
所以 ，即实数 的取值范围是 。……… 15分
18.（本小题满分17分）
解：（1）由题可知，在图（2）中，，，，
所以 平面 。……… 2分
又 ，所以 平面 。
因为 平面 ，所以 。……… 4分
又 ， 为 的中点，所以 。
因为 ，所以 平面 。……… 6分
（2）方法一：
由题可知 ，，所以 。
又 ，所以 ，所以 。
因为 ，所以 平面 。……… 8分
因为 平面 ，所以 ；
同理 平面 ，所以 。
因为 ，所以 平面 。
又因为 平面 ，所以 ，
由射影定理得 ，
故点 为线段 上靠近点 的三等分点。……… 10分
以点 为原点，分别以 ，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ，，，，
。
。……… 13分
设平面 的法向量为 ，
则
故可取。 ……………………………………………………………… 14分
平面的一个法向量可取为。 ………………………………………… 15分
设平面与平面的夹角为，
，，
即平面与平面的夹角的余弦值为。 …………………………………… 17分
方法二：以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，。
因为点在上，所以可设。
又，
所以 解得，，
故，点。
以下与方法一相同。
方法三：点在平面内的投影在上，设，则，
故可设，，
所以，，
解得，故点。
以下与方法一相同。
19.（本小题满分17分）
解：（1）由题意知 …………………………………………………… 3分
解得 ………………………………………………………………………… 4分
所以椭圆的标准方程为。 …………………………………………………… 5分
（2）由题意知的斜率不为，，
故设的方程为，，。 ………………………………………… 6分
由得，
，， 7分
因为，所以，
依题意知，，，所以， 8分
则 解得，， 9分
所以直线的方程为。 10分
（3）存在唯一实数，使得恒成立，
因为恒成立，
所以为定值，即为定值. 11分
设，则，，
12分
所以，
即
为定值， 15分
则，解得或（舍去），此时， 16分
所以当，时，恒成立. 17分
高三数学试题
注意事项：
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
请在答题卡相应位置作答，在试卷上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，且，则实数的最小值为
A.0 B.1 C.2 D.3
2. 已知角，若，则
A. B.
C. D.
3. 已知某学习小组一次数学测试成绩（单位：分）分别为78，82，85，90，，95，98，105，若该组数据的第50百分位数为92，则实数
A.89 B.92 C.94 D.99
4. 已知函数，则下列结论正确的是
A. 是奇函数，且在上单调递增
B. 是奇函数，且在上单调递减
C. 是偶函数，且在上单调递增
D. 是偶函数，且在上单调递减
5. 已知圆关于直线对称，则坐标原点到直线的距离等于
A.0 B.
C. D.5
6. 一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置，如图（1），水面恰好过棱，，，的中点，，，。若将容器的底面水平放置，如图（2），则容器中水面的高为
A.6 B.7 C.8 D.9
7. 定义：数列的“间隔和”数列为。若则
A.22 B.30 C.34 D.36
8. 记二项式的展开式中的系数为，且（），则
A.5 B.6 C.7 D.8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 设复数（为虚数单位，），则下列结论正确的是
A. 当时，为纯虚数
B. 一定是实数
C. 的最小值为2
D. 在复平面内对应点的轨迹是圆
10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列选项正确的是
A. 抛物线的准线方程为
B. 为定值
C. 若为坐标原点，则可能为正三角形
D. 的最小值为
11. 已知函数，下列说法正确的是
A. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
B. 在区间上的最大值为
C. 在区间上存在唯一极值点
D. 若函数在区间上单调递减，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 设，是两个不共线的向量，，，。若，，三点共线，则实数。
13. 已知对任意恒成立，则双曲线（，）的离心率为。
14. 的内角，，所对的边分别为，，，且，，边上的中线长为，则的最大值为；实数的取值范围是。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知数列的前项和为，且满足，（为常数），数列满足。
（1）求常数的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列的前项和为，求证：。
16.（本小题满分15分）
为了解某市市民对2025—2026赛季“市长杯”青少年校园足球超级联赛的关注情况，某单位随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表：
性别 不关注赛事 关注赛事 合计
男性 20 120 140
女性 40 60 100
合计 60 180 240
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为关注赛事与性别有关？
（2）为了宣传该项赛事，从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法随机抽取6人组成宣传小组。现从这6人中随机抽取3人到学校内宣传，求到学校内宣传的市民中男性人数的分布列和数学期望。
附：，。
0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
17.（本小题满分15分）
已知函数（为常数，且）.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
18.（本小题满分17分）
在图（1）的直角梯形中，，，，点是的中点，，
现将图（1）中的沿着翻折至如图（2）所示的位置，连接，，使得，
得到四棱锥，已知，分别为，的中点，平面与棱交于点.
（1）求证：平面.
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
19.（本小题满分17分）
已知椭圆经过点，离心率为，直线过椭圆的右焦点且与椭圆相交于，两点（点在轴上方）.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）若 （为坐标原点），求直线的方程.
（3）已知点为轴正半轴上异于点的一定点，若直线，的倾斜角分别为，
（），是否存在唯一实数，使得恒成立？ 若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.
全市各普通高中2025—2026学年度第一学期期末教学质量监测
高三数学参考答案
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C A B D C B
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（两个答案的每个3分，三个答案的每个2分）。
题号 9 10 11
答案 AC ABD ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
题号 12 13 14
答案 －7 16；
（注意：第14题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
解：（1）由，得，
即，解得. 3分
（2）由（1）有，①
当时，，②
①－②得，即， 7分
所以数列为常数列.
又，所以数列的通项公式为. 8分
（3）证明：由（2）得，
即是等比数列，且首项为1，公比为，10分
所以. 13分
16.（本小题满分15分）
解：（1）零假设为：关注赛事与性别无关. ………………………………………… 1分
. ………………………………………… 4分
依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，即认为关注赛事与性别有关. ………………………………………………………………………………………… 6分
（2）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是，
则应抽取男性市民人，抽取女性市民人. ………………………… 8分
依题意，可能的取值为1，2，3. …………………………………………………… 9分
；………………………………………………………… 10分
；………………………………………………………… 11分
. ………………………………………………………… 12分
的分布列为
1 2 3
……………………………………………………………………………………… 13分
的数学期望为. ………………………………………… 15分
17.（本小题满分15分）
解：（1）当时，，定义域为，. ……
……………………………………………………………………………………… 2分
令，即，解得；
令，即，解得. …………………………………………………… 4分
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
在处取得极小值，极小值为，无极大值. ………… 6分
（2）因为，所以由，得. ……………… 8分
设，则. …………………………………… 9分
令，解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减. ………………………… 11分
所以 。……… 13分
又 ，所以当 时，；当 时，，且 。
由函数 有两个零点知，函数 与 的图象有两个交点，
所以 ，即实数 的取值范围是 。……… 15分
18.（本小题满分17分）
解：（1）由题可知，在图（2）中，，，，
所以 平面 。……… 2分
又 ，所以 平面 。
因为 平面 ，所以 。……… 4分
又 ， 为 的中点，所以 。
因为 ，所以 平面 。……… 6分
（2）方法一：
由题可知 ，，所以 。
又 ，所以 ，所以 。
因为 ，所以 平面 。……… 8分
因为 平面 ，所以 ；
同理 平面 ，所以 。
因为 ，所以 平面 。
又因为 平面 ，所以 ，
由射影定理得 ，
故点 为线段 上靠近点 的三等分点。……… 10分
以点 为原点，分别以 ，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ，，，，
。
。……… 13分
设平面 的法向量为 ，
则
故可取。 ……………………………………………………………… 14分
平面的一个法向量可取为。 ………………………………………… 15分
设平面与平面的夹角为，
，，
即平面与平面的夹角的余弦值为。 …………………………………… 17分
方法二：以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，。
因为点在上，所以可设。
又，
所以 解得，，
故，点。
以下与方法一相同。
方法三：点在平面内的投影在上，设，则，
故可设，，
所以，，
解得，故点。
以下与方法一相同。
19.（本小题满分17分）
解：（1）由题意知 …………………………………………………… 3分
解得 ………………………………………………………………………… 4分
所以椭圆的标准方程为。 …………………………………………………… 5分
（2）由题意知的斜率不为，，
故设的方程为，，。 ………………………………………… 6分
由得，
，， 7分
因为，所以，
依题意知，，，所以， 8分
则 解得，， 9分
所以直线的方程为。 10分
（3）存在唯一实数，使得恒成立，
因为恒成立，
所以为定值，即为定值. 11分
设，则，，
12分
所以，
即
为定值， 15分
则，解得或（舍去），此时， 16分
所以当，时，恒成立. 17分
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