人教版高中数学必修第一册第2章一元二次函数、方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式第1课时一元二次不等式的解法课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
第二章　一元二次函数、方程和不等式
2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
第一课时　一元二次不等式的解法
1. 会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个 数，了解函数的零点与方程根的关系.
2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的 现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元 二次不等式的解集.
3. 借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的 联系.
一、一元二次不等式
一元二次不等式
定义 一般地，我们把只含有 未知数，并且未知数的最高次数 是 的不等式，称为一元二次不等式
一般
形式 ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数， a≠0
预习教材新知
一个　
2　
二、一元二次不等式的解法
1. 二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0 的实数x 叫做二次函数 y＝ax2＋bx＋c的 .
零点　
2. 二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系（a＞0）
根的判别式Δ＝ b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c 的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0 的根 两个不等实根 x1，x2 没有实数根
根的判别式Δ＝ b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＞0 的解集
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＜0 的解集
{x｜x＜x1或x＞x2}
R
{x｜x1＜x＜x2}


记一记：（1）二次函数的零点不是点，是二次函数图象与x 轴交点的横 坐标.
（2）解集是指解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合的形式.
A. {x｜－2＜x＜1} B. {x｜－1＜x＜2}
C. {x｜1＜x≤2} D. {x｜x＜0或x＞3}
解析：由题图知y＞0的解集为{x｜－1＜x＜2}.
B
课堂互动探究
　不含参数的一元二次不等式的解法
1. （根据教材P53练习T1（5）改编）不等式－2x2＋x＋3＜0的解集 是 .
A. {x｜x＞0或x＜－1} B. {x｜x≥0或x≤－1}
C. {x｜－1＜x＜0} D. {x｜－1≤x≤0}
解析：分析知应使－x2－x＞0，即x2＋x＜0，所以－1＜x＜0.
C
解析：∵x☉（x－2）＝x（x－2）＋2x＋x－2＝x2＋x－2＞0，
∴（x＋2）（x－1）＞0，
∴x＜－2或x＞1.故选C.
A. {x｜0＜x＜2} B. {x｜－2＜x＜1}
C. {x｜x＜－2或x＞1} D. {x｜－1＜x＜2}
3.在R上定义运算☉：a☉b＝ab＋2a＋b，则满足x☉（x－2）＞0的实数x的取值范围为（　 　）
C
解不含参数的一元二次不等式的方法步骤
（1）通过变形化成标准的一元二次不等式的形式（要求二次项系数为正且 右边为0）；
（2）求出相应的一元二次方程的根，有三种情况：Δ＝0，Δ＜0和Δ＞0（即 求相应方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根x1，x2）；
（3）画出对应二次函数的草图；
（4）结合图形求不等式的解集.
　含参数的一元二次不等式的解法
【例1】解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0.
[思路点拨]（1）对于二次项系数a是否需要分a＝0，a＜0，a＞0三类进行 讨论？
（2）当a≠0时，是否还要比较两根大小？
解：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1＜0，解得x＞1.
1. 解关于x的不等式x2＋（1－a）x－a＜0.
解：∵原不等式可化为（x＋1）（x－a）＜0，
∴方程x2＋（1－a）x－a＝0的两根为x1＝－1，x2＝a.
又函数y＝x2＋（1－a）x－a的图象开口向上，
则当a＜－1时，原不等式的解集为{x｜a＜x＜－1}；
当a＝－1时，原不等式的解集为 ；
当a＞－1时，原不等式的解集为{x｜－1＜x＜a}.
总结：含参一元二次不等式的解法
【例2】（根据教材P58T6改编）已知不等式kx2＋2kx－（k＋2）＜0恒成 立，求实数k的取值范围.
　一元二次不等式在R上的恒成立问题
A. {a｜－1≤a≤4} B. {a｜a≤－2或a≥5}
C. {a｜a≤－1或a≥4} D. {a｜－2≤a≤5}
解析：法一　x2－2x＋5＝（x－1）2＋4的最小值为4，所以要使x2－2x＋ 5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A.
A
法二　不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立等价于不等式x2－2x ＋5－a2＋3a≥0对任意实数x恒成立，所以关于x的方程x2－2x＋5－a2＋ 3a＝0的判别式Δ＝（－2）2－4×（5－a2＋3a）≤0，解得－1≤a≤4，故 选A.
1. 知识链：（1）一元二次不等式的概念；（2）二次函数与一元二次方程、 不等式的对应关系；（3）含参数的一元二次不等式的解法.
2. 方法链：数形结合法、分类讨论法.
3. 警示牌：解含参数的一元二次不等式时，因分类讨论的标准不统一导 致错误.
参考答案
预习教材新知
一、一元二次不等式
一个　2
二、一元二次不等式的解法
1. 零点
基础试练
B　解析：由题图知y＞0的解集为{x｜－1＜x＜2}.
课堂互动探究
2. C　解析：分析知应使－x2－x＞0，即x2＋x＜0，所以－1＜x＜0.
3. C　解析：∵x☉（x－2）＝x（x－2）＋2x＋x－2＝x2＋x－2＞0，∴ （x＋2）（x－1）＞0，∴x＜－2或x＞1.故选C.
练一练
2. A　解析：法一　x2－2x＋5＝（x－1）2＋4的最小值为4，所以要使x2 －2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故 选A.
法二　不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立等价于不等式x2－2x ＋5－a2＋3a≥0对任意实数x恒成立，所以关于x的方程x2－2x＋5－a2＋3a ＝0的判别式Δ＝（－2）2－4×（5－a2＋3a）≤0，解得－1≤a≤4，故选A.