人教版高中数学必修第一册第2章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
第二章　一元二次函数、方程和不等式
2.1　等式性质与不等式性质
1. 理解等式的性质.
2. 理解不等式的概念.
3. 掌握不等式的性质.
一、不等关系与不等式
1. 不等式指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接起来的 式子.
2. 关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：a－b＞0 ；a －b＝0 ；a－b＜0 .
说明：符号“ ”叫做等价号，读作“等价于”，“p q”的含义是：p可 以推出 q，q也可以推出p，即 p与 q可以互推.
预习教材新知
a＞b　
a＝b　
a＜b　
a＝b　
三、等式的性质
性质 名称 内容
性质1 对称性 如果a＝b，那么b＝a
性质2 传递性 如果a＝b，b＝c，那么
性质3 同加（减）性 如果a＝b，那么a±c＝b±c
性质4 同乘性 如果a＝b，那么
性质5 同除性
a＝c　
ac＝bc　
四、不等式的性质
性质 名称 性质内容 注意
性质1 对称性 a＞b b a
性质2 传递性 a＞b，b＞c a＞c 不可逆
性质3 可加性 a＞b a＋c＞b＋c 可逆
性质4 可乘性 a＞b，c＞0
a＞b，c＜0 　 c的符号
性质5 同向可加性 a＞b，c＞d 同向
性质6 同向同正可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0 　 同向同正
＜　
ac＞bc　
ac＜bc　
a＋c＞b＋d　
ac＞bd
性质 名称 性质内容 注意
性质7 同向同正可乘方性 a＞b＞0 an＞bn（n∈N， n≥2） 同向同正
想一想：若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数比 乙班多.这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？
提示：如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d.
A. t＞s B. t≥s C. t≤s D. t＜s
解析：t－s＝（2a＋2b）－（a2＋2b＋1）＝－（a－1）2≤0，故t≤s， 当a＝1时，t＝s.
C
A. 如果a＝b，那么a＋c＝b－c
B. 如果a2＝6a，那么a＝6
D
A. ｜a｜＞｜b｜ B. a＜b
C. a＋b＜ab D. a3＞b3
CD
课堂互动探究
　用不等式（组）表示不等关系
A. a＋b＋c＜130且abc＜72 000 B. a＋b＋c＞130且abc＞72 000
C. a＋b＋c≤130且abc≤72 000 D. a＋b＋c≥130且abc≥72 000
CD
2. 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜 园的面积不小于100 m2，不靠墙的一边长为x m，其中的不等关系可用不等 式（组）表示为 .
＞0，m＞0）　
用不等式（组）表示不等关系的3个步骤
（1）分析题中有哪些未知量.
（2）选择其中起关键作用的未知量设为x或y，再用x或y来表示其他未知量.
（3）根据题目中的不等关系列出不等式（组）.
　数式的大小比较
（2）（根据教材P43T3改编）比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小.
A. M＜N B. M＞N
C. M＝N D. M≥N
解析：∵0＜a1＜1，0＜a2＜1，
∴－1＜a1－1＜0，－1＜a2－1＜0，
∴M－N＝a1a2－（a1＋a2－1）＝a1a2－a1－a2＋1
＝a1（a2－1）－（a2－1）＝（a1－1）（a2－1）＞0，
∴M＞N.
B
　不等式的性质及其应用
【例2】思考辨析（正确的画“√”，错误的画“ ”）
　判断正误

解析：（2）当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立，所以 （2）错.
解析：（4）显然c2＞0，所以两边同乘c2，得a＞b，所以（4）对.

√
√
总结：利用不等式的性质判断正误的两种方法
（1）直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性 质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可.
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是 取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.
　证明不等式
A. 若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd
B. 若a＞b，则a2＞b2
C. 若ac2＞bc2，则a＞b
D. 若a＞b，则ac2＞bc2
解析：因为a＞b＞0，c＞d＞0，所以ac＞bc，bc＞bd，所以ac＞bd， 所以A为真命题；当a＝1，b＝－2时，a2＜b2，所以B不是真命题；因为ac2 ＞bc2，所以c2＞0，所以a＞b，所以C为真命题；当c＝0时，ac2＝bc2＝ 0，所以D不是真命题.
AC
A. 4＜a＋b＜7 B. 2＜b－a＜3
C. 3＜ab＜10
ACD
总结：利用不等式性质证明不等式的注意事项
（1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要 在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以 应用.
（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件， 且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
　用不等式性质求代数式的取值范围
总结： 利用不等式的性质求取值范围的策略
（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性 质进行运算，求得待求的范围.
（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变 形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.
1. 知识链：（1）用不等式（组）表示不等关系；（2）作差法比较大小； （3）重要不等式.
2. 方法链：作差法.
3. 警示牌：在用不等式（组）表示实际问题中变量不等关系时，易忽略实际 意义.
参考答案
预习教材新知
一、不等关系与不等式
2. a＞b　a＝b　a＜b
二、重要不等式
a＝b
三、等式的性质
a＝c　ac＝bc
四、不等式的性质
＜　ac＞bc　ac＜bc　a＋c＞b＋d　ac＞bd
课堂互动探究
练一练
1. B　解析：∵0＜a1＜1，0＜a2＜1，∴－1＜a1－1＜0，－1＜a2－1＜0，
∴M－N＝a1a2－（a1＋a2－1）＝a1a2－a1－a2＋1
＝a1（a2－1）－（a2－1）＝（a1－1）（a2－1）＞0，∴M＞N.
∴1＋a＞0，1－a＞0.
题型三　不等式的性质及其应用
角度1　判断正误
【例2】（1） 　（2） 　（3）√　（4）√
（2）当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立，所以（2）错.
（4）显然c2＞0，所以两边同乘c2，得a＞b，所以（4）对.
角度2　证明不等式
角度3　用不等式性质求代数式的取值范围
【例4】解：因为3＜a＜7，1＜b＜10，所以4＜a＋b＜17；
由9＜3a＜21，2＜2b＜20，则－20＜－2b＜－2，
所以－11＜3a－2b＜19；
练一练