人教版高中数学必修第一册第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性第1课时奇偶性的概念课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
第三章　函数的概念与性质
3.2　函数的基本性质
3.2.2　奇偶性
第一课时　奇偶性的概念
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果 x∈D，都有－ x∈D
结论 f（－x）＝f（x） f（－x）＝－f（x）
图象特点 关于 对称 关于 对称
预习教材新知
y轴　
原点　
记一记：1.从奇函数、偶函数的定义可知，当x是定义域中的一个数值时， 则－x也必是定义域中的一个数值，因此函数y＝f（x）是奇函数或偶函数 的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称.换言之，若所给函数的定义 域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性.例如，函数y＝x2在区间
（－∞，＋∞）上是偶函数，但在区间[－3，5]上却不具有奇偶性.
2. 若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则根据定义可得，f（－0）＝－f（0），
即f（0）＝0，即奇函数的图象过原点.
A. y＝x（x∈[0，1]） B. y＝3x2
D. y＝x｜x｜
解析：利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函 数需满足f（－x）＝－f（x），排除选项B，故选CD.
CD
B. 0 C. 1 D. 无法确定
解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，
∴a－1＝0，即a＝1.
C
课堂互动探究
　判断函数的奇偶性
A. f（x）＝x4－1 B. f（x）＝x2（－1＜x＜3）
A
A. ｜f（x）｜－g（x）是奇函数 B. ｜f（x）｜＋g（x）是偶函数
C. f（x）－｜g（x）｜是奇函数 D. f（x）＋｜g（x）｜是偶函数
解析：由f（－x）＝f（x），知｜f（x）｜为偶函数，所以｜f（x）｜ －g（x）和｜f（x）｜＋g（x）均为非奇非偶函数，故A，B不正确.由
g（x）是奇函数可得g（－x）＝－g（x），所以｜g（－x）｜＝
｜g（x）｜，所以｜g（x）｜为偶函数，所以f（x）＋｜g（x）｜为偶函 数，f（x）－｜g（x）｜为偶函数，故D正确，C不正确.
D
3. 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝2－｜x｜；
解：（1）因为函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，又f（－x）＝2 －｜－x｜＝2－｜x｜＝f（x），所以f（x）为偶函数.
解：（2）因为函数f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f（x） ＝0，又因为f（－x）＝－f（x），f（－x）＝f（x），所以f（x）既 是奇函数又是偶函数.
解：（3）因为函数f（x）的定义域为{x｜x≠1}，不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数.
解：（4）f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称. 当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝1－（－x）＝1＋x＝f（x）；
当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝1＋（－x）＝1－x＝f（x）.
综上可知，对于x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有f（－x）＝
f（x），所以f（x）为偶函数.
判断函数奇偶性的方法
（1）定义法
（2）图象法
（3）性质法
设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.
【例1】已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x） ＝x2＋2x.现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示.
　奇、偶函数的图象问题
（1）请补充完整函数y＝f（x）的图象；
解：（1）由题图及y＝f（x）是定义在R上的奇函 数，可得完整图象如下.
（2）根据图象写出函数y＝f（x）的单调递增区间及值域；
解：（2）由（1）所得函数图象知，单调递增区间为 （－1，1），值域为R.
（3）根据图象写出使f（x）＜0的x的取值集合；
解：（3）由（1）所得函数图象知，使f（x）＜0的x 的取值集合为（－2，0）∪（2，＋∞）.
（4）求出函数f（x）在R上的解析式.
1. 设奇函数f（x）的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时，f（x）的图象如 图所示，不等式f（x）＜0的解集用区间表示为 .
解析：由f（x）在[0，6]上的图象知，满足f（x）＜0的不等式的解集为 （0，3）.又f（x）为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6，0）上，不 等式f（x）＜0的解集为[－6，－3）.综上可知不等式f（x）＜0的解集为 [－6，－3）∪（0，3）.
[－6，－3）∪（0，3）
总结：巧用奇、偶函数的图象求解问题
（1）依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称.
（2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及 解不等式等问题.
　利用函数的奇偶性求值
【例2】（1）若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－ 1，2a]，则a＝ ，b＝ .
0　
A. 21 B. －21 C. 26 D. －26
解析：（2）设g（x）＝x5＋ax3＋bx，则g（x）为奇函数，由题设可得f （－3）＝g（－3）－8＝5，求得g（－3）＝13.又g（x）为奇函数，所以 g（3）＝－g（－3）＝－13，于是f（3）＝g（3）－8＝－13－8＝－21.
B
总结：利用奇偶性求值的常见类型
（1）求参数值：若解析式含参数，则根据f（－x）＝－f（x）或f（－ x）＝f（x）列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根 据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.
（2）求函数值：利用f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）求解，有 时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
A. 2 B. 0 C. －5 D. －6
解析：由f（a）＝a3＋a＋1＝7，得a3＋a＝6，所以f（－a）＝－a3－a ＋1＝－（a3＋a）＋1＝－6＋1＝－5.
C
D. 1
A
1. 知识链：（1）函数奇偶性的概念；（2）奇函数、偶函数的图象特征； （3）函数奇偶性的判断.
2. 方法链：特值法、数形结合法.
3. 警示牌：易忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称.
参考答案
预习教材新知
y轴　原点
基础试练
1. CD　解析：利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A； 又奇函数需满足f（－x）＝－f（x），排除选项B，故选CD.
2. C　解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.
课堂互动探究
2. D　解析：由f（－x）＝f（x），知｜f（x）｜为偶函数，所以｜f （x）｜－g（x）和｜f（x）｜＋g（x）均为非奇非偶函数，故A，B不 正确.由g（x）是奇函数可得g（－x）＝－g（x），所以｜g（－x）｜ ＝｜g（x）｜，所以｜g（x）｜为偶函数，所以f（x）＋｜g（x）｜为 偶函数，f（x）－｜g（x）｜为偶函数，故D正确，C不正确.
3. 解：（1）因为函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，又f（－x）＝ 2－｜－x｜＝2－｜x｜＝f（x），所以f（x）为偶函数.
（2）因为函数f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f（x）＝ 0，又因为f（－x）＝－f（x），f（－x）＝f（x），所以f（x）既是 奇函数又是偶函数.
（3）因为函数f（x）的定义域为{x｜x≠1}，不关于原点对称，所以f（x）
是非奇非偶函数.
（4）f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.当x＞0 时，－x＜0，f（－x）＝1－（－x）＝1＋x＝f（x）；
当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝1＋（－x）＝1－x＝f（x）.
综上可知，对于x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有f（－x）＝f（x）， 所以f（x）为偶函数.
题型二　奇、偶函数的图象问题
【例1】解：（1）由题图及y＝f（x）是定义在R上的奇函数，可得完整图象如下.
（2）由（1）所得函数图象知，单调递增区间为（－1，1），值域为R.
（3）由（1）所得函数图象知，使f（x）＜0的x的取值集合为（－2，0） ∪（2，＋∞）.
1. [－6，－3）∪（0，3）　解析：由f（x）在[0，6]上的图象知，满足
f（x）＜0的不等式的解集为（0，3）.又f（x）为奇函数，图象关于原点对 称，所以在[－6，0）上，不等式f（x）＜0的解集为[－6，－3）.综上可知 不等式f（x）＜0的解集为[－6，－3）∪（0，3）.
（2）设g（x）＝x5＋ax3＋bx，则g（x）为奇函数，由题设可得f（－3） ＝g（－3）－8＝5，求得g（－3）＝13.又g（x）为奇函数，所以g（3） ＝－g（－3）＝－13，于是f（3）＝g（3）－8＝－13－8＝－21.