人教版高中数学必修第一册第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.2函数的表示法课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
第三章　函数的概念与性质
3.1　函数的概念及其表示
3.1.2　函数的表示法
一、函数的表示方法
记一记： 三种函数表示方法的适用情况
预习教材新知

√
√

课堂互动探究
　函数的三种表示方法
1. 已知函数f（x）＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，试分别用图象法和列表 法表示函数y＝f（x）.
解：用图象法表示函数y＝f（x），如图所示.
用列表法表示函数y＝f（x），如表所示.
x 1 2 3 4
y －2 －3 －4 －5
2. 某种商品每件0.5元，买x件，需花费y元，分别用列表法、解析法、图象 法将y表示成x（x∈{1，2，3，4}）的函数.
解：列表法：
x/件 1 2 3 4
y/元 0.5 1 1.5 2
解析法：y＝0.5x，x∈{1，2，3，4}.
图象法：如图所示.
列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关 系，同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意： （1）解析法必须注明函数的定义域；（2）列表法中选取的自变量要有代表 性，应能反映定义域的特征；（3）图象法中要注意图象是离散点还是连续 的曲线.
【例1】（1）已知f（x）为一次函数，f（2x＋1）＋f（2x－1）＝－4x＋ 6，求f（x）；
　求函数的解析式
（2）已知函数f（x＋1）＝x2＋2x，求f（x）；
解：（2）法一（换元法）　令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，所以f（t） ＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1，即f（x）＝x2－1.
法二（配凑法）　因为x2＋2x＝（x2＋2x＋1）－1＝（x＋1）2－1，所以f （x＋1）＝（x＋1）2－1，即f（x）＝x2－1.
（3）已知f（x）为一次函数，且f（f（x））＝4x－1，求f（x）；
A. f（x）＝x2＋2x＋1 B. f（x）＝x2－2x＋1
C. f（x）＝x2＋2x－1 D. f（x）＝x2－2x－1
解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，
所以f（t）＝f（x－1）＝（t＋1）2＝t2＋2t＋1，
所以f（x）＝x2＋2x＋1.
A
x2－
2（x≥0）　
总结：求函数解析式的常用方法
（1）待定系数法：已知函数f（x）的函数类型，求f（x）的解析式时，可 根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程 （组），确定其系数即可.
（2）换元法：令t＝g（x），注明t的范围，再求出f（t）的解析式，然后 用x代替所有的t即可求出f（x），一定要注意t的范围即为f（x）中x的 范围.
　分段函数
（2）如图，在边长为6的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由 点B（起点）向点A（终点）运动（不包括点A，B）.设点P经过的路程为 x，△APB的面积为y.求y关于x的函数关系式.
母题探究：（变结论）本例2（1）中条件不变，若f（a）＝3，求实数a 的值.
解：①当a≤－2时，a＋1＝3，所以a＝2＞－2不合题意，舍去.
②当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0，所以（a－1）（a＋3） ＝0，所以a＝1或a＝－3.因为1∈（－2，2），－3 （－2，2），所以a＝1 符合题意.
③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意.
综合①②③，当f（a）＝3时，a＝1或a＝2.
A. －x B. －x2 C. x D. x2
解析：依题意，当x＜0时，φ（x）＝x＜0，
所以f（φ（x））＝x.
C
4. 甲车沿某公路从A地出发，驶往距离A地300 km的B地，甲车先以75 km/h的速度行驶，在到达A，B中点C处停留2 h后，再以100 km/h的速度驶 往B地.将甲车与A地的距离f（t）（单位：km）表示为离开A地的时间t （单位：h）的函数，求出该函数的解析式并画出函数的图象.
它的图象如图所示：
总结：1.分段函数求值的方法
（1）先确定要求值的自变量属于哪一段区间.
（2）然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f（f（x0））的 形式时，应从内到外依次求值.
1. 知识链：（1）函数的三种表示法；（2）函数图象的画法及其应用； （3）函数解析式的求法.
2. 方法链：待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法（或消元法）、数形 结合法.
3. 警示牌：画函数图象时忽略函数的定义域.
参考答案
预习教材新知
基础试练
（1） 　（2）√　（3）√　（4）
课堂互动探究
题型一　函数的三种表示方法
练一练
1. 解：用图象法表示函数y＝f（x），如图所示.
用列表法表示函数y＝f（x），如表所示.
x 1 2 3 4
y －2 －3 －4 －5
2. 解：列表法：
x/件 1 2 3 4
y/元 0.5 1 1.5 2
解析法：y＝0.5x，x∈{1，2，3，4}.
图象法：如图所示.
（2）法一（换元法）　令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，所以f（t）＝（t －1）2＋2（t－1）＝t2－1，即f（x）＝x2－1.
法二（配凑法）　因为x2＋2x＝（x2＋2x＋1）－1＝（x＋1）2－1，所以f （x＋1）＝（x＋1）2－1，即f（x）＝x2－1.
（2）当点P在线段BC（不包括点B）上移动时，BP＝x且0＜x≤6，
当点P在线段CD（不包括点C）上移动时，6＜x≤12，
当点P在线段DA（不包括点A，D）上移动时，12＜x＜18，
母题探究：解：①当a≤－2时，a＋1＝3，所以a＝2＞－2不合题意，舍去.
②当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0，所以（a－1）（a＋3） ＝0，所以a＝1或a＝－3.因为1∈（－2，2），－3 （－2，2），所以a＝1 符合题意.
③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意.
综合①②③，当f（a）＝3时，a＝1或a＝2.
练一练
3. C　解析：依题意，当x＜0时，φ（x）＝x＜0，
所以f（φ（x））＝x.