人教版高中数学必修第一册第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大（小）值第2课时函数的最值课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
第三章　函数的概念与性质
3.2　函数的基本性质
3.2.1　单调性与最大（小）值
第二课时　函数的最值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满 足： x∈D，都有
f（x） M f（x） M
x0∈D，使得
结论 M是函数y＝f（x）的最大值 M是函数y＝f（x）的最小值
几何意义 f（x）图象上最高点的 f（x）图象上最低点的
预习教材新知
≤　
≥　
f（x0）＝M　
纵坐标
纵坐标
（2）函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是 .
解析：（2）函数y＝2x2＋2在（0，＋∞）上单调递增，又因为x∈N*，所 以当x＝1时，y最小值＝2×12＋2＝4.
1　
4　
课堂互动探究
　单调性法求函数的最值（值域）
解：作出f（x）的图象如图.
由图象可知，当x＝2时，f（x）取最大值为2；
　二次函数的最值
　不含参的最值问题
B. －1 D. －2
C
总结：不含参数的最值问题
首先配方，确定对称轴，考查对称轴与区间的关系.
（1）当对称轴不在区间上时，该区间是单调区间，最值在端点处取到；
（2）当对称轴在区间上时，最值在对称轴、距离对称轴较远的端点处取得.
　含参数的一元二次函数的最值问题
【例3】求f（x）＝x2－2ax－1在区间[0，2]上的最大值M（a）和最小值 m（a）.
解：f（x）＝（x－a）2－1－a2，图象的对称轴为直线x＝a.
（1）当a＜0时，由图①可知，f（x）在区间[0，2]上单调递增，
所以f（x）min＝f（0）＝－1，f（x）max＝f（2）＝3－4a.
（2）当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0，2]内，
所以f（x）min＝f（a）＝－1－a2，f（x）max＝f（2）＝3－4a.
解：（3）当1＜a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0，2]内，
所以f（x）min＝f（a）＝－1－a2，f（x）max＝f（0）＝－1.
3. 已知二次函数f（x）＝x2－2x＋3.
（1）当x∈[－2，3]时，求f（x）的最值.
解：f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，图象的对称轴为直线x＝1，开 口向上.
（1）f（x）在[－2，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，
所以f（x）min＝f（1）＝2.
又因为f（－2）＞f（3），所以f（x）max＝f（－2）＝11.
（2）当x∈[t，t＋1]时，求f（x）的最小值g（t）.
解：（2）①当t＞1时，f（x）在[t，t＋1]上单调递增，
所以g（t）＝f（t）＝t2－2t＋3.
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，g（t）＝f（1）＝2.
总结： 含参数的一元二次函数的最值
以一元二次函数图象开口向上、对称轴为直线x＝m为例，区间为[a，b]， 则有
当开口向下时，可用类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置 关系.
【例4】一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该 产品还需要增加投资1万元，年产量为x（x∈N*）件.当x≤20时，年销售总 收入为（33x－x2）万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元.记该工厂 生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.（年利润＝年销售总收入－年总 投资）
　函数最值的实际应用
（1）求y（万元）与x（件）的函数关系式；
（2）当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多 少？
[思路点拨]由年销售总收入随x的不同而有不同的对应关系，应选择分段函数 模型构建y与x的函数关系式，进而求得最大利润.
解：（2）当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－（x－16）2＋156，当x ＝16时，y最大值＝156.而当x＞20时，160－x＜140，故x＝16时取得最大年 利润，最大年利润为156万元.
即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元.
4. 某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为 L1＝－x2＋21x和L2＝2x（销售量单位：辆）.若该公司在两地共销售15 辆，那么当该公司在甲、乙两地各销售多少时，能获得最大利润？最大 的利润是多少？
总结：解实际应用问题的5个步骤
（1）审：审清题意，读懂题，找出各量之间的关系.（2）设：从实际问题 中抽象出数学模型，恰当设出未知数.（3）列：根据已知条件列出正确的数 量关系.（4）解：转化为求函数的最值或解方程或解不等式.（5）答：回归 实际，明确答案，得出结论.
1. 知识链：（1）函数的最大值、最小值定义；（2）求解函数最值的方法.
2. 方法链：单调性法、数形结合法.
3. 警示牌：（1）在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域；（2）求含 参数的二次函数的最值时不要忘
记按对称轴与区间的位置分类讨论.
参考答案
预习教材新知
≤　≥　f（x0）＝M　纵坐标　纵坐标
基础试练
题型一　单调性法求函数的最值（值域）
【例1】解：任取2≤x1＜x2≤5，
因为2≤x1＜x2≤5，
所以x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0，
所以f（x2）－f（x1）＜0，
课堂互动探究
所以f（x2）＜f（x1）.
所以f（x）在[2，5]上单调递减，
练一练
所以－1≤x≤1.
2. 解：作出f（x）的图象如图.
题型二　二次函数的最值
角度1　不含参的最值问题
角度2　含参数的一元二次函数的最值问题
【例3】解：f（x）＝（x－a）2－1－a2，图象的对称轴为直线x＝a.
（1）当a＜0时，由图①可知，f（x）在区间[0，2]上单调递增，
所以f（x）min＝f（0）＝－1，f（x）max＝f（2）＝3－4a.
（2）当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0，2]内，
所以f（x）min＝f（a）＝－1－a2，f（x）max＝f（2）＝3－4a.
（3）当1＜a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0，2]内，
所以f（x）min＝f（a）＝－1－a2，f（x）max＝f（0）＝－1.
（4）当a＞2时，由图④可知，f（x）在[0，2]上单调递减，
所以f（x）min＝f（2）＝3－4a，f（x）max＝f（0）＝－1.
3. 解：f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，图象的对称轴为直线x＝1， 开口向上.
（1）f（x）在[－2，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，
所以f（x）min＝f（1）＝2.
又因为f（－2）＞f（3），所以f（x）max＝f（－2）＝11.
（2）①当t＞1时，f（x）在[t，t＋1]上单调递增，
所以g（t）＝f（t）＝t2－2t＋3.
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，g（t）＝f（1）＝2.
③当t＋1＜1，即t＜0时，f（x）在[t，t＋1]上单调递减，
所以g（t）＝f（t＋1）＝t2＋2.
（2）当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－（x－16）2＋156，当x＝16 时，y最大值＝156.而当x＞20时，160－x＜140，故x＝16时取得最大年利 润，最大年利润为156万元.
即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元.