人教版高中数学必修第一册第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大（小）值第1课时单调性课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
第三章　函数的概念与性质
3.2　函数的基本性质
3.2.1　单调性与最大（小）值
第一课时　单调性
1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.
2. 理解单调性的作用和实际意义.
3. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、 最小值.理解函数的最 大值、最小值的作用和实际意义.
4. 结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.
一、增函数与减函数的定义
预习教材新知
前提 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I D
条件 x1，x2∈I，x1＜x2
都有 都有
图示
f（x1）＜f（x2）　
f（x1）＞f（x2）　
结论 f（x）在区间I上单调递增 f（x）在区间I上单调递减
特殊 情况 当函数f（x）在它的定义域上单调 递增时，我们就称它是 函数 当函数f（x）在它的定义域上 单调递减时，我们就称它 是 函数
增　
减　
2. 单调性的等价形式
单调递增或单调递减　
（严格的）单调性　
错误
解析：（2）错误；若函数f（x）为R上的减函数，因为－3＜3，
所以f（－3）＞f
错误
正确
错误
错误
A. [－4，4] B. [－4，－3]∪[1，4]
C. [－3，1] D. [－3，4]
解析：由图可知，函数y＝f（x）的单调递增区间为[－3，1].
C
（2）函数y＝x2＋2x－3，x∈（－2，2]的单调递减区间为 .
解析：（2）由二次函数的性质可知y＝x2＋2x－3的图象的对称轴为直线x ＝－1，开口向上，所以其单调递减区间为（－2，－1].
（－∞，0），（0，＋∞）　
（－2，－1]
课堂互动探究
　利用图象求函数的单调区间
A. 函数在区间[－5，－3]上单调递增
B. 函数在区间[1，4]上单调递增
C. 函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D. 函数在区间[－5，5]上没有单调性
解析：根据图象上升和下降分别对应增区间和减区间知ABD正确.
ABD
2. 已知函数f（x）＝x2－4｜x｜＋3，x∈R.
（1）将函数写成分段函数的形式；
（2）画出函数的图象；
解：（2）作出函数图象如图.
（3）根据图象写出它的单调区间.
解：（3）由图象可知单调递增区间为[－2，0），[2，＋∞），单调递减区 间为（－∞，－2），[0，2）.
求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数 等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数但函数图象 容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间.
　函数的单调性判断与证明
总结：利用定义证明函数单调性的步骤
注意：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的 形式.
　函数单调性的应用
　比较大小
A. f（2）＜f（1）＜f（4） B. f（1）＜f（2）＜f（4）
C. f（2）＜f（4）＜f（1） D. f（4）＜f（2）＜f（1）
解析：由题意知函数f（x）的图象的对称轴方程为x＝2，且函数f（x）的 图象开口向上，故f（x）在[2，＋∞）上单调递增，且f（1）＝f（3）.所 以f（2）＜f（3）＜f（4），即f（2）＜f（1）＜f（4）.
A
总结：利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要注意将对应的自变量转 化到同一个单调区间上.
　解不等式
【例3】已知f（x）是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f（x－2）＜
f（1－x），则x的取值范围是 .
总结：利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数的对应法则，构造不 等式（不等式组）求解，注意函数的定义域，所有自变量都必须在函数的定 义域内.
C
　利用函数的单调性求参数的取值范围
【例4】若函数f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3在区间（－∞，3]上单调递 增，则实数a的取值范围是 .
解析：由题意得－（a＋1）≥3，即a≤－4，所以实数a的取值范围是
（－∞，－4].
（－∞，－4]　
A. m＞0
C. －1＜m＜3
B
A. －3≤a＜0 B. a≤－2
C. a＜0 D. －3≤a≤－2
D
总结：利用函数单调性求参数取值范围的两种思路
1. 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间， 与已知单调区间比较求参数.
2. 依据常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数等）的单调性求解.
1. 知识链：（1）增（减）函数的定义、函数单调递增（减）的概念；（2） 函数的单调区间.
2. 方法链：数形结合法.
3. 警示牌：（1）函数的单调区间不能用并集；（2）分段函数的单调性.
参考答案
一、增函数与减函数的定义
f（x1）＜f（x2）　f（x1）＞f（x2）　增　减
二、函数的单调性与单调区间
单调递增或单调递减　（严格的）单调性
基础试练
故（3）正确；函数f（x）＝－（x－2）2，f（1）＝－1，f（2）＝0，满足
f（1）＜f（2），而f（x）＝－（x－2）2在（－∞，2）上单调递增，在（2，＋ ∞ ）上单调递减，f（x）在其定义域R上不是增函数，故（4）错误；
2. C　解析：由图可知，函数y＝f（x）的单调递增区间为[－3，1].
3. （1）（－ ∞ ，0），（0，＋ ∞ ）　（2）（－2，－1]
（2）由二次函数的性质可知y＝x2＋2x－3的图象的对称轴为直线x＝－1， 开口向上，所以其单调递减区间为（－2，－1].
课堂互动探究
题型一　利用图象求函数的单调区间
练一练
1. ABD　解析：根据图象上升和下降分别对应增区间和减区间知ABD正确.
（2）作出函数图象如图.
（3）由图象可知单调递增区间为[－2，0），[2，＋∞），单调递减区间为 （－∞，－2），[0，2）.
题型二　函数的单调性判断与证明
【例1】证明：设x1，x2是区间（0，1）上的任意两个实数，
∵0＜x1＜x2＜1，
∴x1－x2＜0，0＜x1x2＜1，则－1＋x1x2＜0，
1. 证明：对于任意的x1，x2∈（－∞，0），且x1＜x2，
∵x1＜x2＜0，
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）.
对于任意的x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，
练一练
∴f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.
题型三　函数单调性的应用
角度1　比较大小
【例2】A　解析：由题意知函数f（x）的图象的对称轴方程为x＝2，且函 数f（x）的图象开口向上，故f（x）在[2，＋∞）上单调递增，且f（1） ＝f（3）.所以f（2）＜f（3）＜f（4），即f（2）＜f（1）＜f（4）.
角度2　解不等式
因为f（x）是增函数，且f（x－2）＜f（1－x），
角度3　利用函数的单调性求参数的取值范围
【例4】（－∞，－4]　解析：由题意得－（a＋1）≥3，即a≤－4，所以实数 a的取值范围是（－∞，－4].
练一练