人教版高中数学必修第一册第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念课件(共54张PPT)

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第三章　函数的概念与性质
3.1　函数的概念及其表示
3.1.1　函数的概念
1. 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系 刻画函数，建立完整的函数概念.
2. 体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
3. 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
4. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、 解析法）表示函数，理解函数图象的作用.
5. 通过具体示例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
一、函数的概念
预习教材新知
实数集　
任意
一个数x　
唯一确定
自变量x　
{f（x）｜x∈A}　
记一记：函数的定义中有“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空 数集A中的任意一个（任意性）数x，在非空数集B中都有（存在性）唯一 （唯一性）的数y与之对应，这三性只要有一个不满足便不能构成函数.集合 A是函数的定义域，而集合B不一定是函数的值域，函数的值域应是集合B 的子集.
二、区间及有关概念
（1）一般区间的表示
设a，b∈R，且a＜b，规定如下：
定义 名称 符号 数轴表示
{x｜a≤x≤b} 闭区间
{x｜a＜x＜b} 开区间
{x｜a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b）
{x｜a＜x≤b} 半开半闭区间 （a，b]
[a，b]
（a，b）
（2）特殊区间的表示
定义 R {x｜x≥a} {x｜x＞a} {x｜ x≤a} {x｜x＜a}
符号 [a，＋∞） （a，＋∞） （－∞，a] （－∞，a）
（－∞，＋∞）
相同　
完全一致　
解析：根据函数的定义知：y是x的函数时，x确定一个值，y就随之确定一 个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照 选项，可知只有B不符合此条件.故选B.
B
A. y＝x2 B. y＝x＋1
C. y＝x－1 D. y＝｜x｜
解析：只有y＝｜x｜是符合题意的对应关系.
D
C. f（x）＝（x－1）2和g（x）＝（x＋1）2
解析：A中两函数的定义域不同；B中两函数的对应关系不同；C中两函数的 对应关系不同，故选D.
D
4. 用区间表示下列集合：
（1）{x｜10≤x≤100}用区间表示为 ；
解析：结合区间的定义可知（1）为[10，100]，
（2）{x｜x＞1}用区间表示为 ；
解析：结合区间的定义可知（2）为（1，＋∞）.
[10，100]　
（1，＋∞）　
（3）若集合A＝[2a－1，a＋2]，则实数a的取值范围用区间表示为
.
（－∞，3）
解析：结合区间的定义可知（3）由区间的定义知，区间（a，b）（或[a， b]）成立的条件是a＜b.
∵A＝[2a－1，a＋2]，
∴2a－1＜a＋2，
∴a＜3，
∴实数a的取值范围是（－∞，3）.
课堂互动探究
　函数关系的判断
1. 设M＝{x｜0≤x≤2}，N＝{y｜0≤y≤2}，给出下列四个图形：
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
B
解析：结合区间的定义可知（1）为[10，100]，（2）为（1，＋∞）.（3） 由区间的定义知，区间（a，b）（或[a，b]）成立的条件是a＜b.
∵A＝[2a－1，a＋2]，
∴2a－1＜a＋2，
∴a＜3，
∴实数a的取值范围是（－∞，3）.
A. A＝R，B＝{x｜x≥0}，f：x→y＝｜x｜
B. A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2
C. A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：x→y2＝x
D. A＝{x｜－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0
解析：选项A，B，D中对集合A中任意实数x，按给定的对应关系f，在集 合B中都有唯一实数y与之对应，因此选项A，B，D符合函数的定义.选项C 中，对于A中元素1，按对应法则f，在B中有元素－1和1与之对应，不符合 函数的定义.
ABD
3. 判断下列对应关系是不是从集合A到集合B的函数.
（1）A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，对应法则f：x→y＝x2， x∈A，y∈B；
解：（1）对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素 ±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素 对应，是“多对一”的对应，故是函数.
（2）A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，2，4}，对应法则f：x→y＝x2， x∈A，y∈B；
解：（2）对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元 素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数.
（3）A＝{三角形}，B＝{x｜x＞0}，对应法则f：对A中元素求面积与B 中元素对应.
解：（3）集合A不是实数集，故不是函数.
判断一个对应关系是否为函数的方法
　同一个函数的判断
D. f（x）＝x0，g（x）＝1
B
解析：选项A中两个函数定义域不同，前者是{x｜x≠－1}，后者是全体实 数，故不是同一个函数；选项C中两个函数定义域不同，前者是全体实数， 后者是非负数，故不是同一个函数；选项D中两个函数定义域不同，前者是 {x｜x≠0}，后者是全体实数，故不是同一个函数；选项B中两个函数的定 义域和对应关系都相同，是同一个函数.
②是同一个函数，定义域、对应关系都相同.
③f（x）与g（t）两函数的三要素完全相同，是同一个函数.
②③　
判断同一个函数应注意的3个点
（1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使 定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数.
（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变 量是没有限制的.
（3）在化简解析式时，必须是等价变形.
　求函数的定义域
　求具体函数的定义域
【例1】求下列函数的定义域：
A. [－1，＋∞） B. （－∞，－1]
C. R D. [－1，1）∪（1，＋∞）
D
总结：求函数定义域的常用方法
（1）若f（x）是分式，则应考虑使分母不为零.
（2）若f（x）是偶次根式，则被开方数大于或等于零.
（3）若f（x）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.
（4）若f（x）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的 交集.
（5）若f（x）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有 意义.
　求抽象函数的定义域
解得0＜x≤1，
∴函数g（x）的定义域为（0，1].
（0，1]　
2. （1）已知函数f（x＋2）的定义域为[1，3]，则函数f（x）的定义域 为 .
解析：（1）令u＝x＋2，则f（x＋2）＝f（u），因为函数f（x＋2）的 定义域为[1，3]，所以u＝x＋2∈[3，5]，所以函数f（x）的定义域为[3，5].
[3，5]　
（2）已知函数f（x＋1）的定义域为[3，8]，则函数f（x2）的定义域 为 .
解析：（2）令u＝x＋1，υ＝x2，则f（x＋1）＝f（u），f（x2）＝f（υ）.
因为函数f（x＋1）的定义域为[3，8]，所以u＝x＋1∈[4，9]，所以函数
f（x）的定义域为[4，9]，所以υ＝x2∈[4，9]，所以x∈[－3，－2]∪[2，3]，所以函数f（x2）的定义域为[－3，－2]∪[2，3].
[－3，－2]∪[2，3]　
总结：抽象函数定义域求解方法
（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的定 义域由不等式a≤g（x）≤b求出；
（2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g （x）在x∈[a，b]上的值域.
【例3】求下列函数的值域：
（1）y＝x＋1；
解：（1）（观察法）∵x∈R，
∴x＋1∈R，即函数值域是R.
　求函数的值域
（2）y＝x2－2x＋3，x∈[0，3）；
解：（2）（配方法）y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，由x∈[0，3），再结 合函数的图象（如图），可得函数的值域为[2，6）.
解：（1）当x＝0时，y＝0；
1. 知识链：（1）函数的概念；（2）函数的三要素：定义域、对应关系、值 域；（3）构建问题情境.
2. 方法链：定义法、图象法.
3. 警示牌：函数概念的理解.
参考答案
预习教材新知
一、函数的概念
实数集　任意一个数x　唯一确定　自变量x　{f（x）｜x∈A}
二、区间及有关概念
（1）[a，b]　（a，b）　（2）（－∞，＋∞）
三、同一个函数
相同　完全一致
基础试练
1. B　解析：根据函数的定义知：y是x的函数时，x确定一个值，y就随之 确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交 点，对照选项，可知只有B不符合此条件.故选B.
2. D　解析：只有y＝｜x｜是符合题意的对应关系.
3. D　解析：A中两函数的定义域不同；B中两函数的对应关系不同；C中两 函数的对应关系不同，故选D.
4. （1）[10，100]　（2）（1，＋∞）　（3）（－∞，3）
解析：结合区间的定义可知（1）为[10，100]，（2）为（1，＋ ∞ ）.（3）由 区间的定义知，区间（a，b）（或[a，b]）成立的条件是a＜b.∵A＝[2a －1，a＋2]，∴2a－1＜a＋2，∴a＜3，∴实数a的取值范围是（－∞，3）.
课堂互动探究
题型一　函数关系的判断
练一练
1. B　解析：图①不满足定义域M＝{x｜0≤x≤2}；图③不满足集合N＝{y｜ 0≤y≤2}；图④不满足函数的定义，如x＝1时对应两个不同的y值.
2. ABD　解析：选项A，B，D中对集合A中任意实数x，按给定的对应关系 f，在集合B中都有唯一实数y与之对应，因此选项A，B，D符合函数的定 义.选项C中，对于A中元素1，按对应法则f，在B中有元素－1和1与之对 应，不符合函数的定义.
3. 解：（1）对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素 ±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素 对应，是“多对一”的对应，故是函数.
（2）对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与 之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数.
（3）集合A不是实数集，故不是函数.
题型三　求函数的定义域
角度1　求具体函数的定义域
即函数的定义域为{x｜x≤1，且x≠－1}.
角度2　求抽象函数的定义域
【例2】（0，1]　解析：∵函数y＝f（x）的定义域是[0，2]，
解得0＜x≤1，∴函数g（x）的定义域为（0，1].
练一练
2. （1）[3，5]　（2）[－3，－2]∪[2，3]　解析：（1）令u＝x＋2，则f （x＋2）＝f（u），因为函数f（x＋2）的定义域为[1，3]，所以u＝x＋ 2∈[3，5]，所以函数f（x）的定义域为[3，5].
（2）令u＝x＋1，υ＝x2，则f（x＋1）＝f（u），f（x2）＝f（υ）.因为 函数f（x＋1）的定义域为[3，8]，所以u＝x＋1∈[4，9]，所以函数f （x）的定义域为[4，9]，所以υ＝x2∈[4，9]，所以x∈[－3，－2]∪[2， 3]，所以函数f（x2）的定义域为[－3，－2]∪[2，3].
题型四　求函数的值域
【例3】解：（1）（观察法）∵x∈R，∴x＋1∈R，即函数值域是R.
（2）（配方法）y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，由x∈[0，3），再结合函 数的图象（如图），可得函数的值域为[2，6）.
练一练