人教版高中数学必修第一册第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性第2课时奇偶性的应用课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
第三章　函数的概念与性质
3.2　函数的基本性质
3.2.2　奇偶性
第二课时　奇偶性的应用
1. 若f（x）为奇函数且在区间[a，b]（a＜b）上单调递增，则f（x）在 [－b，－a]上 ，即在对称区间上单调性 .
2. 若f（x）为偶函数且在区间[a，b]（a＜b）上单调递增，则f（x）在 [－b，－a]上 ，即在对称区间上单调性 .
预习教材新知
单调递增　
一致（相同）　
单调递减　
相反　
记一记：偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时 的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数， 取最值时的自变量也互为相反数.
1. 定义在[－3，3]上的偶函数f（x）在区间[0，3]上的图象如图中曲线 OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则 函数f（x）的单调递减区间是 .
解析：利用偶函数的图象关于y轴对称，作出其在[－3，0]上的图象后写出单 调递减区间.由于函数f（x）是[－3，3]上的偶函数，所以其图象如图所示. 所以它的单调递减区间为[－1，0]和[1，3].
[－1，0]和[1，3]　
2. 若奇函数f（x）在区间[－4，－2]上的最大值为2，则f（x）在区间[2， 4]上的最小值为 .
－2　
课堂互动探究
　用奇偶性求解析式
A. －x2＋x B. x2＋x
C. x2－x D. －x2－x
解析：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2 －x，设x＜0，则－x＞0，f（x）＝f（－x）＝（－x）2－（－x）＝x2 ＋x.
B
2. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－x2－ x，则当x≤0时，f（x）＝ .
x2－x　
解析：∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x）.
利用函数奇偶性求解析式的方法
（1）“求谁设谁”，在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
（2）把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间的函数解析式中.
（3）利用f（x）的奇偶性将f（－x）用－f（x）或f（x）表示，从而求 出f（x）.
　利用函数的单调性与奇偶性比较大小
B
A. f（3）＞f（－5） B. f（－5）＞f（－3）
C. f（－5）＞f（3） D. f（－3）＞f（－5）
D
总结：比较大小的求解策略
看自变量是否在同一单调区间上：
（1）在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；（2）不在同一 单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利 用单调性比较大小.
【例2】奇函数f（x）在区间（－∞，＋∞）上单调递增，不等式f（2x＋ 1）＋f（2－x）＜0的解集是 .
解析：因为f（x）是R上的奇函数，由于f（2x＋1）＋f（2－x）＜0，所 以f（2x＋1）＜f（x－2）.
又y＝f（x）在R上单调递增，所以2x＋1＜x－2，解得x＜－3.故原不等 式的解集为（－∞，－3）.
　利用函数的单调性与奇偶性解不等式
（－∞，－3）　
2. 已知奇函数f（x）是定义在（－1，1）上的减函数，则不等式f（1－ x）＋f（1－3x）＜0的解集为 .
3. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递减，
f（－2）＝0，则不等式xf（x＋1）＞0的解集为 .
（－∞，－3）∪（0，1）
总结：抽象不等式问题的解题步骤是：（1）将所给的不等式化归为两个函 数值的大小关系；（2）利用奇偶性得出函数的单调性，再利用单调性脱去 函数的符号“f”，转化为解不等式（组）的问题.
1. 知识链：（1）利用奇偶性求函数的值、解析式；（2）利用奇偶性和单调 性比较大小、解不等式.
2. 方法链：转化法、数形结合法.
3. 警示牌：利用奇偶性求函数的解析式时，因转化混乱导致求解错误.
参考答案
预习教材新知
1. 单调递增　一致（相同）
2. 单调递减　相反
基础试练
1. [－1，0]和[1，3]　解析：利用偶函数的图象关于y轴对称，作出其在[－3，0]上的图象后写出单调递减区间.由于函数f（x）是[－3，3]上的偶函数，所以其图象如图所示.所以它的单调递减区间为[－1，0]和[1，3].
2. －2
题型一　用奇偶性求解析式
练一练
1. B　解析：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x） ＝x2－x，设x＜0，则－x＞0，f（x）＝f（－x）＝（－x）2－（－x） ＝x2＋x.
2. x2－x　解析：函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0；
课堂互动探究
题型三　利用函数的单调性与奇偶性解不等式
【例2】（－∞，－3）　解析：因为f（x）是R上的奇函数，由于f（2x＋ 1）＋f（2－x）＜0，所以f（2x＋1）＜f（x－2）.
又y＝f（x）在R上单调递增，所以2x＋1＜x－2，解得x＜－3.故原不等式 的解集为（－∞，－3）.