人教版高中数学必修第一册第3章函数的概念与性质3.3幂函数课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
第三章　函数的概念与性质
3.3　幂函数
一、幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
预习教材新知
y＝xα　
三、五个幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞）
值域 R R
奇偶性
单调性 增 在[0，＋∞） 上 ，
在（－∞，0]
上 在（0，＋∞） 上 ，
在（－∞，0） 上
{x｜x≠0}
[0，＋∞）
[0，＋∞）
{y｜y≠0}
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
增　
减　
增
增
减　
减　
记一记：（1）所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图象都过点 （1，1）.
（2）α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞）上单调递增.特 别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸；当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸.
（3）α＜0时，幂函数在区间（0，＋∞）上单调递减.在第一象限内，当x从 右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时， 图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
（4）任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的 图象都不过第四象限.
D
2. 已知幂函数f（x）＝（m2－3）xm在区间（0，＋∞）是递减函数，则m ＝ .
解析：由题意可知m2－3＝1，所以m＝±2，又由于在区间（0，＋∞）是递 减函数，所以m＝－2.
－2　
3. 下列函数中的幂函数有 .（填充号）
①y＝x0；②y＝（x＋1）3；③y＝2x；④y＝x－1；⑤y＝x4＋1.
解析：由幂函数的定义可知，①④是幂函数；②③⑤不是幂函数.
①④　
课堂互动探究
　幂函数的概念
A. y＝x0 B. y＝x－2
C. y＝（x＋1）2
解析：形如y＝xα（α为常数）的函数为幂函数，所以只有y＝x0和y＝x－2为 幂函数.
AB
A. 2 B. 3 C. 128 D. 512
A
解：∵函数y为幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则 y＝x－3，且有x≠0；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y＝x－3，定义域为{x｜x≠0}或y＝x0，定义域为 {x｜x≠0}.
幂函数的判断及应用
（1）判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数） 的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.
（2）若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα（α为常数）这一形式.
　幂函数的图象及应用
在同一坐标系中作出函数f（x）＝x2和g（x）＝x－2的图象（如图所示），观察图象可得，
（1）当x＞1或x＜－1时，f（x）＞g（x）；
（2）当x＝1或x＝－1时，f（x）＝g（x）；
（3）当－1＜x＜1且x≠0时，f（x）＜g（x）.
A. a＞b＞c＞d B. b＞c＞d＞a
C. d＞b＞c＞a D. c＞b＞d＞a
B
解析：由幂函数的图象特征可知，a＜0，b＞0，c＞0，d＞0.由幂函数的 性质知，当x＞1时，幂指数越大的幂函数的增长速度越快，则b＞c＞1＞ d.故b＞c＞d＞a.
总结：解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα（α是常数），由于α的取值不 同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同.同时，注意分类讨论思想的 应用.
【例2】（1）已知幂函数f（x）的图象过点（－2，－8），且f（a＋1）≤ －f（a－3），则实数a的取值范围是 .
解析：设f（x）＝xα，则f（－2）＝（－2）α＝－8，得α＝3，所以f（x） ＝x3.容易判断f（x）是定义在R上的增函数，且为奇函数，所以由f（a＋ 1）≤－f（a－3），得f（a＋1）≤f（3－a），得a＋1≤3－a，解得 a≤1，故实数a的取值范围是（－∞，1].
　比较幂值的大小
（－∞，1]　
（2）比较下列各组数中两个数的大小.
A. c＜a＜b B. a＜c＜b
C. b＜a＜c D. c＜b＜a
D
直接法 当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较
转化法 当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小；或通过中间值比较大小
总结：比较幂值大小的常用方法
　幂函数性质的综合应用
（3，5]　
A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 2
A
（1）充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等.
（2）注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合、转化与化归思 想等.
总结： 解决幂函数的综合问题，应注意以下两点
1. 知识链：（1）幂函数的定义；（2）几个常见幂函数的图象及性质.
2. 方法链：待定系数法、数形结合法.
3. 常见误区：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质.
参考答案
预习教材新知
一、幂函数的概念
y＝xα
3. ①④　解析：由幂函数的定义可知，①④是幂函数；②③⑤不是幂函数.
课堂互动探究
2. －2　解析：由题意可知m2－3＝1，所以m＝±2，又由于在区间（0，＋∞）
是递减函数，所以m＝－2.
题型一　幂函数的概念
练一练
1. AB　解析：形如y＝xα（α为常数）的函数为幂函数，所以只有y＝x0和y ＝x－2为幂函数.
3. 解：∵函数y为幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2 时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；当m＝－1时，m2－2m－3 ＝0，则y＝x0，且有x≠0.故所求幂函数的解析式为y＝x－3，定义域为{x｜ x≠0}或y＝x0，定义域为{x｜x≠0}.
（1）当x＞1或x＜－1时，f（x）＞g（x）；
（2）当x＝1或x＝－1时，f（x）＝g（x）；
（3）当－1＜x＜1且x≠0时，f（x）＜g（x）.
练一练
1. B　解析：由幂函数的图象特征可知，a＜0，b＞0，c＞0，d＞0.由幂函 数的性质知，当x＞1时，幂指数越大的幂函数的增长速度越快，则b＞c＞1 ＞d.故b＞c＞d＞a.
题型三　比较幂值的大小
【例2】（1）（－∞，1]　解析：设f（x）＝xα，则f（－2）＝（－2）α＝ －8，得α＝3，所以f（x）＝x3.容易判断f（x）是定义在R上的增函数，且 为奇函数，所以由f（a＋1）≤－f（a－3），得f（a＋1）≤f（3－a）， 得a＋1≤3－a，解得a≤1，故实数a的取值范围是（－∞，1].
练一练