《创新课堂》4.1第二课时　数列的递推公式 课件 高中数学选修2同步讲练测

(共58张PPT)
第二课时　数列的递推公式
1.了解数列递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的项（逻辑推理）.
2.理解数列的前n项和Sn与an的关系（数学运算）.
课标要求
观察某次智力测试中的一道题，数列1，3，6，10，15，…中数字出现的规律是：
　　a2－a1＝3－1＝2，
　　a3－a2＝6－3＝3，
　　a4－a3＝10－6＝4，
　　a5－a4＝15－10＝5，
　　……
　　你能用an＋1与an的一个数学表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？这就是这节课我们要学习的内容.
情境导入
知识点一　数列的递推公式
01
知识点二　由递推公式求通项公式
02
知识点三　an与Sn的关系
03
课时作业
04
目录
知识点一
数列的递推公式
01
PART
问题1　观察如图所示的钢管堆放示意图：
（1）如果最上面一层为第一层，记第n层的钢管数为an，你能写出an的一
个表达式吗？
提示：an＝n＋3（1≤n≤7）.
（2）你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层
之间的关系？
提示：自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，即a1＝4，a2＝5
＝4＋1＝a1＋1，a3＝6＝5＋1＝a2＋1.依此类推：an＝an－1＋1
（2≤n≤7）.
【知识梳理】
如果一个数列的 两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，
那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
　　提醒：（1）与数列通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公
式；（2）注意通项公式反映的是an与n之间的关系，递推公式反映的是项
与项之间的关系.
相邻　
【例1】　（链接教材P6例5）已知数列{an}中，a1＝1，且满足an＝3an－1
＋ （n∈N*，且n＞1），写出数列{an}的前5项.
解：由题意，得a2＝3a1＋ ，
而a1＝1，所以a2＝3×1＋ ＝ .
同理a3＝3a2＋ ＝10，a4＝3a3＋ ＝ ，a5＝3a4＋ ＝
91.
【规律方法】
　由递推公式写出数列的项的方法
（1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关
系，依次代入计算即可；
（2）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项
的形式.
训练1　（1）在数列{an}中，an＋1＝ 若a1＝ ，则a4
＝（　C　）
A. B. C. D.
解析：因为an＋1＝ a1＝ ，所以a2＝2a1－1＝ ，a3＝
2a2－1＝ ，a4＝2a3＝ .
C
（2）已知数列{an}满足an＋1＝ ，a5＝2，则a1＝ 　 　.
解析：因为an＋1＝ ，a5＝2，令n＝4，2＝ ，所以a4＝ ，令n＝
3， ＝ ，所以a3＝－1，令n＝2，－1＝ ，所以a2＝2，令n＝1，
2＝ ，所以a1＝ .

知识点二
由递推公式求通项公式
02
PART
问题2　通项公式与递推公式都是表示数列的常见方法，你能比较一下它
们的异同吗？
提示：相同点：都可以求出数列的任何一项.
不同点：通项公式给定任何一个序号n即可求项an；递推公式要求任一
项，需先确定它的前后项.
【例2】　（1）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋ － ，则an＝
（　B　）
A. B.
C. D.
B
解析：法一（归纳法）　数列的前5项分别为a1＝1，a2＝1＋1－ ＝2－
＝ ，a3＝ ＋ － ＝2－ ＝ ，a4＝ ＋ － ＝2－ ＝ ，a5＝ ＋ －
＝2－ ＝ ，所以an＝2－ ＝ （n≥2），又a1＝1满足上式，由此可
得数列的一个通项公式为an＝ .
法二（迭代法）　a2＝a1＋1－ ，a3＝a2＋ － ，…，an＝an－1＋ －
（n≥2），则an＝a1＋1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝2－ ＝
（n≥2）.又a1＝1也适合上式，所以an＝ （n∈N*）.
法三（累加法）　an＋1－an＝ － ，a1＝1，a2－a1＝1－ ，a3－a2＝
－ ，a4－a3＝ － ，…，an－an－1＝ － （n≥2），以上各式相加
得an＝1＋1－ ＋ － ＋…＋ － .所以an＝ （n≥2）.因为a1＝
1也适合上式，所以an＝ （n∈N*）.
（2）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ an（n∈N*），则an＝
（　D　）
A. n＋1 B. n
C. D.
D
解析：法一（累乘法）　因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ an
（n∈N*），所以 ＝ ，所以an＝ · ·…· · ·a1＝
× ×…× × ×1＝ .
法二（构造特殊数列法）　因为an＋1＝ an（n∈N*），所以（n＋1）
＝nan，所以数列{nan}是常数列，所以nan＝1·a1＝1，所以an＝ .
【规律方法】
　由递推公式求通项公式的常用方法
（1）归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出
通项公式；
（2）迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f（n）（f（n）是可以求和的），使
用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan（p为非零常数），或an＋1＝f（n）an（f（n）是可以求积
的），使用累乘法或迭代法；
③an＋1＝pan＋q（p，q为非零常数），适当变形后转化为②中的形式
解决.
训练2　（1）已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋ －
（n≥2），求an；
解：因为an＝an－1＋ － （n≥2），
所以an－an－1＝ － .
所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝
（ － ）＋（ － ）＋…＋（ － ）＋1＝ －
＋1.
又a1＝1也符合上式，
所以an＝ － ＋1，n∈N*.
（2）已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1（n≥2），求an.
解：因为ln an－ln an－1＝1，所以ln ＝1，即 ＝e（n≥2）.
所以an＝ · ·…· ·a1＝ ·1＝en－1（n≥2），
又a1＝1也符合上式，
所以an＝en－1，n∈N*.
知识点三
an与Sn的关系
03
PART
问题3　如果我们把数列{an}的前n项加在一起的和记作Sn，那么你能用它
表示a2吗？a6＋a7＋a8＋a9＋a10怎么表示？an呢？
提示：a2＝S2－S1，a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝S10－S5，an＝
【知识梳理】
1. 数列{an}的前n项和
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，
记作 ，即Sn＝ .
2. 数列{an}的前n项和公式
如果数列{an}的前n项和 与它的 之间的对应关系可以用
一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
Sn　
a1＋a2＋…＋an　
Sn　
序号n　
3. an与Sn的关系
an＝
　　提醒：在应用数列的前n项和公式求通项时，往往容易忽略验证n＝1
时的情况，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只
适用于n≥2的情形.
【例3】　（链接教材P7思考）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－
30n.求a1及an.
解：因为Sn＝2n2－30n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2（n－1）2－30（n－1）]＝4n
－32，
且当n＝1时，a1＝4×1－32＝－28，依然成立，
所以an＝4n－32，n∈N*.
变式　（1）将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋
1”，其他条件不变，求an；
解：因为Sn＝2n2－30n＋1，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n＋1－[2（n－1）2－30（n－1）＋
1]＝4n－32.
当n＝1时不适合上式.
所以an＝
（2）若数列{an}满足a1a2a3…an＝n2，求an.
解：由a1a2a3…an＝n2，
可得n≥2时，有a1a2a3…an－1＝（n－1）2，
两式相除得an＝ ＝（ ）2，n≥2.
当n＝1时，a1＝12＝1不适合上式，
所以an＝
【规律方法】
　由Sn求通项公式an的步骤
（1）当n＝1时，a1＝S1；
（2）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；
（3）验证a1与an的关系：①若a1适合an（n≥2），则an＝Sn－Sn－1；②
若a1不适合an（n≥2），则an＝
训练3　（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an
＝ ；
解析：当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝（2n＋2－3）－（2n＋1－3）＝2n＋1，
当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，故an＝

（2）已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an
＝ .
解析：当n＝1时，由已知可得a1＝21＝2.由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n
①，可得当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1） ＝ ②，由①
－②得nan＝2n－ ＝ （n≥2），∴an＝ （n≥2）.显然a1＝
2不适合上式，∴an＝

1. 已知在数列{an}中，a1＝2， ＝an＋n（n∈N*），则a4＝
（　　）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析：　因为a1＝2， ＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2
＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
√
2. 已知数列{an}满足a1＝1， － ＝1，则a10＝（　　）
A. 10 B. 20
C. 100 D. 200
解析：　数列{an}满足a1＝1， － ＝1，可得 ＝1， －
＝1， － ＝1，…， － ＝1，叠加可得 ＝10，所
以a10＝100.
√
3. 若数列{an}满足（n－1）an＝（n＋1）an－1（n≥2，n∈N*），且a1
＝1，则a100＝ .
解析：由（n－1）an＝（n＋1）an－1，得 ＝ （n≥2，n∈N*），
则a100＝a1· · ·…· ＝1× × ×…× ＝ 5 050.
5 050
4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，
（1）若Sn＝3n＋2，则数列{an}的通项公式为an＝ ；
解析：当n＝1时，a1＝S1＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋2）－
（3n－1＋2）＝2·3n－1，a1＝5不满足上式，故an＝
（2）若Sn＝n2－n，则数列{an}的通项公式为an＝ .
解析：当n＝1时，a1＝S1＝12－1＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（n2
－n）－[（n－1）2－（n－1）]＝2n－2，又a1＝0满足an＝2n－2，故
an＝2n－2.
2n－2
课堂小结
1. 理清单
（1）数列的递推公式；
（2）由数列的递推公式求通项公式；
（3）数列的前n项和Sn与an的关系.
2. 应体会
利用递推公式求数列的通项公式时，利用了迭代法、累加法、累乘法.
3. 避易错
（1）累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；
（2）由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况.
课时作业
04
PART
1. 数列2，4，6，8，10，…的递推公式是（　　）
A. an＝an－1＋2（n≥2）
B. an＝2an－1（n≥2）
C. a1＝2，an＝an－1＋2（n≥2）
D. a1＝2，an＝2an－1（n≥2）
解析：　A、B中没有说明第一项，无法递推；D中a1＝2，a2＝4，a3＝
8，不合题意.故选C.
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2. 设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a9＝（　　）
A. 15 B. 17
C. 49 D. 64
解析：　由已知，a9＝S9－S8＝92－82＝17.
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3. 已知a1＝1，an＝an－1＋3（n≥2，n∈N*），则数列的通项公式为
（　　）
A. an＝3n＋1 B. an＝3n
C. an＝3n－2 D. an＝3（n－1）
解析：　因为an＝an－1＋3，所以an－an－1＝3.所以a2－a1＝3，a3－a2
＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，以上各式两边分别相加，得an－a1
＝3（n－1），因为a1＝1，所以an＝a1＋3（n－1）＝1＋3（n－1）＝
3n－2.当n＝1时，也适合上式，所以an＝3n－2.
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4. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，则a11＝（　　）
A. 512 B. 256
C. 2 048 D. 1 024
解析：　因为an＋1＝2an，即 ＝2，所以 ＝2， ＝2，…， ＝
2，累乘可得a11＝1 024.
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5. 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝（n＋1）an（n∈N*），且a1＝
2，则数列{an}的通项公式为（　　）
A. －n－1 B. －n
C. n＋1 D. 2n
解析：　因为2Sn＝（n＋1）an，n∈N*，所以2Sn＋1＝（n＋2）an＋1，
n∈N*，两式相减得2an＋1＝（n＋2）·an＋1－（n＋1）an，整理得nan＋1
＝（n＋1）an，得 ＝ ，n∈N*，所以 为常数列，所以 ＝
＝2，所以an＝2n.
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6. 〔多选〕符合递推公式an＝ an－1的数列是（　　）
A. 1，2，3，4，… B. 1， ，2，2 ，…
C. 3，3 ，6，6 ，… D. 0， ，2，2 ，…
解析：　B与C中从第2项起，后一项是前一项的 倍，符合递推公式
an＝ an－1.A中，后一项与前一项之差为1，递推公式为an＝an－1＋1.D
中，无法推出递推公式.综上，B、C正确.
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7. 〔多选〕已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，下列说法正确的
是（　　）
A. a1＝3 B. an＝2n（n≥2）
C. an＝2n D. an＝2n（n≥2）
解析：　当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝（2n＋1－1）－（2n－1）＝2n.当n＝1时，不符合上式，故an＝
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8. 数列{an}中，已知a1＝5，且an＋1＝an＋（－1）n，则a10＝ .
解析：因为an＋1＝an＋（－1）n，所以an＋1－an＝（－1）n，所以a10＝
a10－a9＋a9－a8＋…＋a2－a1＋a1＝（－1）9＋（－1）8＋…＋（－1）1
＋5＝4.
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9. 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln（1＋ ），则数列{an}的通项公
式an＝ .
解析：a2＝a1＋ln（1＋ ），a3＝a2＋ln（1＋ ），…，an＝an－1＋ln（1
＋ ）（n≥2），则an＝a1＋ln（ × × ×…× ）＝2＋ln n
（n≥2）.又a1＝2＝2＋ln 1，所以an＝2＋ln n.
2＋ln n
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10. 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2
（n≥3）给出.
（1）写出此数列的前5项；
解： 因为an＝an－1＋an－2（n≥3），且a1＝1，a2＝2，
所以a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
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（2）通过公式bn＝ 构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项.
解：因为bn＝ ，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
所以b1＝ ＝ ，b2＝ ＝ ，b3＝ ＝ ，b4＝ ＝ .
故数列{bn}的前4项依次为b1＝ ，b2＝ ，b3＝ ，b4＝ .
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11. 公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着
这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足an＋2＝an＋1＋
an（n≥1），那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝（　　）
A. a2 023 B. a2 024
C. a2 025 D. a2 026
解析：　由于an＋2＝an＋1＋an（n≥1），则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024
＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a5＋a6＋…＋a2
024＝a2 023＋a2 024＝a2 025.
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12. 〔多选〕由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1
＝2，当n≥2时，bn＝ ，则（　　）
A. b3＝5 B. b4＝9
C. b5＝15 D. b6＝33
解析： 　因为an＝2n－1，bn＝ ，所以b2＝ ＝a2＝3，b3＝
＝a3＝5，b4＝ ＝a5＝9，b5＝ ＝a9＝17，b6＝ ＝a17＝33.
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13. 已知数列{an}满足4n－1a1＋4n－2a2＋…＋an＝n（n∈N*），则an
＝ .
解析：由4n－1a1＋4n－2a2＋…＋an＝n（n∈N*），可得 ＋ ＋…＋
＝ （n∈N*），所以 ＋ ＋…＋ ＝ （n∈N*，n≥2），两式
相减得 ＝ － ＝ ＝ （n∈N*，n≥2），所以an＝4－
3n（n∈N*，n≥2），当n＝1时，41－1a1＝1，所以a1＝1，适合上式，所
以an＝4－3n.
4－3n
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14. （1）已知数列{an}中，a1＝1，当n∈N*且n≥2时，（2n＋1）an＝
（2n－3）an－1，求通项公式an；
解：当n≥2时，因为（2n＋1）an＝（2n－3）·an－1，所以 ＝ ，
所以 · · ·…· · ＝ × × ×…× × ＝
.
所以 ＝ ，所以an＝ ，
当n＝1时，a1＝1符合上式，所以an＝ .
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（2）已知数列{an}满足a1＝ ，an＝an－1＋ （n≥2），求an.
解：因为an＝an－1＋ （n≥2），
所以an－an－1＝ ＝ － ，
所以a2－a1＝ － ，a3－a2＝ － ，…，an－an－1＝ －
（n≥2）.
以上各式相加，得an－a1＝ － （n≥2），
所以an＝a1＋ － ＝ （n≥2），
又a1＝ 适合上式，所以an＝ .
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15. 已知数列{an}满足：a1＝m（m为正整数），an＋1＝
若a4＝4，求m所有可能的取值.
解：若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1.
若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0（舍去），
若a2为偶数，则 ＝1，a2＝2.
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若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝ （舍去），
若a1为偶数，则 ＝2，a1＝4；
若a3为偶数，则 ＝4，a3＝8.
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝ （舍去），
若a2为偶数，则 ＝8，a2＝16.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5，
若a1为偶数，则 ＝16，a1＝32.
故m所有可能的取值为4，5，32.
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演示完毕 感谢观看