《创新课堂》4.1第一课时 数列的概念与简单表示 课件 高中数学选修2同步讲练测
文档属性
| 名称 | 《创新课堂》4.1第一课时 数列的概念与简单表示 课件 高中数学选修2同步讲练测 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-06 00:00:00 | ||
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文档简介
(共61张PPT)
第一课时 数列的概念与简单表示
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念及分类（数学抽象）.
2.理解数列的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数（数学抽象、数学运算）.
课标要求
在生活中，常有按顺序记录数据来研究事物变化规律的事例.例如，一棵树在某一时刻的高度为2 m，如果在每年的同一时刻都记录下这棵树的高度，并按时间的先后顺序排列起来就得到一列数.通过对记录下来的这列数的分析，可以研究树的生长规律.将某个学生某一学科的历次考试成绩按考试时间顺序逐个记录，据此可研究该学生这科成绩的变化情况.你还能举出一些这样的例子吗？
情境导入
知识点一 数列的概念与分类
01
知识点二 数列的表示
02
课时作业
03
目录
知识点一
数列的概念与分类
01
PART
问题1 请同学们观察以下五组数据：
①
②古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2
401，16 807；
③战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭.这句话
中隐藏着一列数：1， ， ， ， ，…；
④从学号1开始，记下本班的每一个同学的某次数学考试成绩：101，
115，91，95，121，…，95；
⑤－ 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－ ， ，－
， ，….
（1）以上各组数据中数可以交换位置吗？
提示：不能.
（2）每组数据中数的个数有什么不同？
提示：②④中项数有限；①③⑤中项数无限.
【知识梳理】
1. 数列的概念
（1）定义：按照确定的 排列的一列数称为数列；
（2）项：数列中的 叫做这个数列的项.数列的第一个位置上
的数叫做这个数列的第1项，常用符号 表示，第二个位置上的数叫
做这个数列的第2项，用 表示……第n个位置上的数叫做这个数列的
第n项，用 表示.其中第1项也叫做 ；
（3）记法：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}.
顺序
每一个数
a1
a2
an
首项
2. 数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数 的数列
无穷数列 项数 的数列
有限
无限
分类标准 名称 含义
按项的
变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列
常数列 各项都 的数列
周期数列 项呈现周期性变化的数列
摆动数列 从第2项起，有些项 它的前一项，有些项 它的前一项的数列
大于
小于
相等
大于
小
于
提醒：（1）如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同
的数列；（2）同一个数可以在数列中重复出现；（3）{an}表示一个数
列，an表示数列中的第n项.
【例1】 （1）〔多选〕下列说法中正确的有（ ）
A. 数列4，7，3，4的首项是4，末项是4
B. 数列1，2，5，6和数列6，5，2，1是同一数列
C. 数列{an}中，若a3＝3，则从第2项起，各项都不等于3
D. 数列中的项不能是代数式
解析： 由数列的定义可知，数列4，7，3，4的首项是4，末项也是4，
故A正确；数列是按照确定的顺序排列的一列数，所以这两个数列不是同
一数列，故B错误；同一个数在一个数列中可以重复出现，即数列的项可
以相等，故C错误；数列是按照一定顺序排列的一列数，因此数列中的项
必须是数，不能是其他形式，故D正确.
√
√
（2）下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪
些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？
①1，0.84，0.842，0.843，…；
②2，4，6，8，10，…；
③7，7，7，7，…；
④ ， ， ， ，…；
⑤10，9，8，7，6，5，4，3，2，1；
⑥0，－1，2，－3，4，－5，….
解：⑤是有穷数列；①②③④⑥是无穷数列；②是递增数列；①④⑤是递
减数列；③是常数列；⑥是摆动数列.
【规律方法】
数列的判定方法及其分类
（1）判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列
的数；
（2）判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋
势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数是有限的还是无限的.
训练1 （1）下列各项表示数列的是（ B ）
A. △，○，☆，□
B. 2 008，2 009，2 010，…，2 024
C. 锐角三角形，直角三角形，钝角三角形
D. a＋b，a－b，a·b，λa
解析：数列是指按照确定的顺序排列的一列数，而不能是图形、文字、向
量等，只有B项符合.
B
（2）给出下列数列：
①1，2，22，23，24，…，263；②－ ，－ ，－ ，…，－ ，…；③
1，2，3，…，10 000；④－1，1，－1，1，－1，1，…；⑤1，2，3，5，
8，13，21，…；⑥ ， ， ， ，….
其中， 为有穷数列， 为无穷数列， 为递
增数列， 为递减数列， 为常数列， 为摆动数列.（填
序号）
解析：根据数列的分类，容易得到：①③为有穷数列，②④⑤⑥为无穷数
列，①③⑤为递增数列，②为递减数列，⑥为常数列，④为摆动数列.
①③
②④⑤⑥
①③⑤
②
⑥
④
知识点二
数列的表示
02
PART
问题2 （1）如果我们以序号n为自变量，以项an为函数值，可以将数列
看作函数吗？
提示：两者具有一一对应的关系，可以看作特殊的函数.
（2）回顾函数的表示方法：列表、图象、解析法，你认为数列可以用上
面的方法表示吗？
提示：可以.但是对于解析法来说，数列不同于连续函数的表示，需要重
新作定义.
【知识梳理】
1. 数列中的项与序号的对应关系
数列{an}是从 （或它的有限子集{1，2，…，n}）到
的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记
为 .
正整数集N*
实
数集R
an＝f（n）
2. 通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来
表示，那么这个式子叫做这个数列的 .
提醒：（1）数列是自变量取1，2，3，…时的离散函数；（2）数列
的表示方法有列表法、图象法及通项公式法；（3）数列的通项公式可能
有多个，也可能不存在.
通项公式
【例2】 （链接教材P4例1）根据数列{an}的通项公式，写出数列的前5
项，并画出它们的图象.
（1）an＝（－1）n＋2；
解：数列{an}的前5项依次是1，3，1，3，1，图象如图1所示.
（2）an＝ .
解：数列{an}的前5项依次是2， ， ， ， ，图象如图2所示.
【规律方法】
1. 列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它
只能表示有限个元素之间的对应关系.
2. 图象法表示数列时，数列的图象是以（n，an）为坐标的一系列孤立
的点.
训练2 某种练习本单价5元，小王买了n本（n∈N*，n≤5）该练习本，
记an为买n本的总价，试用三种方法来表示数列{an}.
解：通项公式法：an＝5n（n∈N*，n≤5）.
列表法：
n 1 2 3 4 5
an 5 10 15 20 25
图象法：
提能点｜数列通项公式的求解及应用
角度1 由数列的前几项写出数列的通项公式
【例3】 （链接教材P5例2）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4
项分别是下列各数：
（1）3，5，7，9，…；
解：各项减去1后为正偶数，所以它的一个通项公式为an＝2n＋1.
（2） ， ， ， ，…；
解：每一项的分子比分母小1，而分母组成的数列为21，22，23，24，…，
所以原数列的一个通项公式为an＝ .
（3）9，99，999，9 999，…；
解：各项加1后，分别变成10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公
式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1.
（4）－1， ，－ ， ，….
解：这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数
项为正，所以它的一个通项公式为an＝ .
变式 （1）试写出前4项为1，11，111，1 111的数列的一个通项公式；
解：由本例的第（3）题可知，每一项除以9即可，即an＝ （10n－1）.
（2）试写出前4项为0.9，0.99，0.999，0.999 9的数列的一个通项公式.
解： an＝1－0.1n.
【规律方法】
根据数列的前几项求其通项公式的方法
（1）先统一各项的结构，如都化成分数、根式等；
（2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应
序号间的函数解析式；
（3）对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用（－1）n或
（－1）n＋1处理；
（4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周
期函数，如三角函数等.
训练3 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）2×3，3×4，4×5，5×6，…；
解：由2×3＝（1＋1）×（1＋2），3×4＝（2＋1）×（2＋2），4×5＝
（3＋1）×（3＋2），5×6＝（4＋1）×（4＋2），…，可得an＝（n＋
1）（n＋2）.
（2）1 ，2 ，3 ，4 ，…；
解：此数列的整数部分1，2，3，4，…，恰好是序号n，分数部分与序号
n的关系为 ，故所求数列的一个通项公式为an＝n＋ ＝ .
（3）3，33，333，3 333，…；
解：联想特殊数列9，99，999，…的通项公式为an＝10n－1，于是该数列
的一个通项公式为an＝ （10n－1），即an＝ （10n－1）.
（4）－1，0，－1，0，….
解： an＝ 是此数列的一个通项公式.
由于－1＝－ － ，0＝－ ＋ .
联想到（－1）n具有转换符号的作用，故此数列的通项公式也可写成an＝
.
角度2 数列中项的求解及判断
【例4】 （链接教材P5例3）已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
（1）写出数列的第4项和第6项；
解： a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60.
（2）－49是否为该数列的项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的
项呢？
解：令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝ （舍去），
所以n＝7，即－49是该数列的第7项.
令3n2－28n＝68，解得n＝ 或n＝－2.
因为 N*，－2 N*，所以68不是该数列的项.
（3）数列{an}中有多少个负数项？
解： an＝n（3n－28），令an＜0，结合n∈N*，解得n＝1，2，3，4，
5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项.
变式 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N*.问当n为何值
时，an取得最小值？并求出最小值.
解：∵an＝n2－5n＋4＝（n－ ）2－ ，
∴当n＝2或3时，an取得最小值，为a2＝a3＝－2.
【规律方法】
求项或判断某数是否为数列的项的方法
（1）如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就
可以求出数列中的指定项；
（2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，
求出n的值.若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数
列的项.
训练4 已知数列{an}的通项公式为an＝ ，n∈N*.
（1）求a10；
解： a10＝ ＝ .
（2） 是不是这个数列的项？
解：令 ＝ ，得n＝100，故 是这个数列的项.
（3）这个数列中有多少项是整数？
解：易知an＝1＋ ，若an是整数，则n＝1，2，3，6，
故这个数列中共有4项是整数.
（4）该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明
理由.
解：令 ＝n，得n2－n－6＝0，解得n＝3或n＝－2（舍去）.
故该数列中有等于项数的项，该项为a3＝3.
1. 下列说法正确的是（ ）
A. {0，1，2，3，4，5}是有穷数列
B. 所有正整数构成的数列是无穷数列
C. 数列2，5，7，8和数列5，2，7，8是同一数列
D. 数列1，2，3，4，…，n是无穷数列
解析： 因为{0，1，2，3，4，5}是集合，不是数列，故A错误；所有正
整数构成的数列是无穷数列，故B正确；数列是按照一定次序排列的一列
数，因此数的次序很关键，所以这两个数列不是同一数列，故C错误；数
列1，2，3，4，…，n，共有n项，是有穷数列，故D错误.
√
2. 已知数列－1，0， ， ，…， ，…，则 是其（ ）
A. 第14项 B. 第12项
C. 第10项 D. 第8项
解析： 令 ＝ ，整理得5n2－72n＋144＝0，解得n＝12或n＝
（舍去）.故选B.
√
3. 数列－1， ，－ ， ，－ ，…的一个通项公式an＝ .
解析：由题可知，数列－1， ，－ ， ，－ ，…，每项的分子为1，
分母是项数的平方，奇数项为负，偶数项为正，故可得数列的一个通项公
式为an＝ .
4. 已知数列{an}的通项公式是an＝n2－pn＋q，且a1＝0，a2＝－4.
（1）a5＝ ；
解析：由已知得 解得 所以an＝n2－7n＋6，
所以a5＝52－7×5＋6＝－4.
（2）150是数列中的第 项.
解析：令an＝n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9（舍去），所以150
是该数列的第16项.
－4
16
课堂小结
1. 理清单
（1）数列的概念与分类；
（2）数列的表示；
（3）数列通项公式的求解及应用.
2. 应体会
（1）对数列进行分类应用了观察法；
（2）由数列的前n项求数列的通项公式时要注意归纳法、猜想法的应用.
3. 避易错
（1）归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；
（2）不注意用（－1）n进行调节，不注意分子、分母间的联系.
课时作业
03
PART
1. 下列说法错误的是（ ）
A. 数列可以用图象来表示
B. 数列的通项公式是唯一的
C. 数列可以用一群孤立的点表示
D. 数列{2n＋1}是递增数列
解析： 易知A、C正确；数列的通项公式不唯一，故B错误；因为y＝
2n＋1在（0，＋∞）上单调递增，所以数列{2n＋1}是递增数列，故D正
确.故选B.
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2. 已知数列 ，2， ，2 ， ，…， ， ，…，则
是这个数列的（ ）
A. 第19项 B. 第20项
C. 第21项 D. 第22项
解析： 令 ＝ ，解得n＝21，所以 是这个数列的第21项.故
选C.
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3. 数列－1， ，－ ， ，…的一个通项公式是（ ）
A. an＝（－1）n B. an＝（－1）n
C. an＝（－1）n D. an＝（－1）n
解析： 因为数列－1， ，－ ， ，…，所以其奇数项符号为负，偶
数项符号为正，而分母1，3，5，7可归纳为2n－1，分子1，4，9，16可归
纳为n2，故数列－1， ，－ ， ，…的一个通项公式是an＝（－1）
n ，故B正确.
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4. 已知数列{an}的一个通项公式为an＝（－1）n·2n＋a，且a3＝－5，
则实数a＝（ ）
A. 3 B. 1 C. －1 D. 0
解析： 因为a3＝－5，an＝（－1）n·2n＋a，所以－8＋a＝－5，解
得a＝3，故选A.
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5. 下列各图是由一些火柴棒拼成的一系列图形，如第一个图由4根火柴棒
组成，第二个图由7根火柴棒组成，按这种规律排列下去，第51个图中的
火柴棒有（ ）
A. 151根 B. 154根
C. 157根 D. 160根
解析： 第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由4＋3＝7根火柴棒组
成，第三个图由4＋2×3＝10根火柴棒组成，…，第51个图中的火柴棒有4
＋50×3＝154根.故选B.
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6. 〔多选〕已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则（ ）
A. 3不是数列{an}中的项
B. 3可能是数列{an}的第2项
C. 3可能是数列{an}的第6项
D. a3＜0
解析： 令n2－8n＋15＝3，解此方程可得n＝2或n＝6，所以3可能是
该数列的第2项，也可能是该数列的第6项，a3＝9－24＋15＝0.
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7. 〔多选〕已知数列{an}的通项公式为an＝ ，则下列n的值中满足
an＜an＋1的有（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解析： 由数列{an}的通项公式为an＝ ，可得a3＝ ，a4＝ ，
a5＝4，a6＝－4，a7＝－ ，显然a3＜a4＜a5，a6＜a7，但a5＞a6.故满足
an＜an＋1的n的值有3，4，6.
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8. 已知数列{an}的通项公式为an＝ 则a2a3＝ .
解析：由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2a3＝20.
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9. 已知数列{an}的通项公式为an＝2 025－3n，则使an＞0成立的正整数n
的最大值为 .
解析：由an＝2 025－3n＞0，得n＜675，又因为n∈N*，所以正整数n的
最大值为674.
674
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10. 根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的
图象.
（1）an＝ n－1；
解： 当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为
－ ，0， ，1， .图象如图1所示.
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（2）an＝ sin .
解：当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为
－1，0，1，0，－1.图象如图2所示.
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11. 设an＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ （n∈N*），则a2＝（ ）
A. B. ＋
C. ＋ ＋ D. ＋ ＋ ＋
解析： ∵an＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ （n∈N*），∴a2＝ ＋
＋ .
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12. 已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，则该数列的第22
项为（ ）
A. 6 B. 7 C. 64 D. 65
解析： 由数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，可知1有1个，
2有2个，3有3个，4有4个，5有5个，6有6个，7有7个，因为1＋2＋3＋4＋
5＋6＝21，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以该数列的第22项为7.
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13. 正整数的排列规则如图所示，其中排在第i行第j列的数记为ai，j，例
如a4，3＝9，则a64，9＝ .
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7 8 9 10
2 025
……
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解析：根据题意，第1行第1列的数为1，此时a1，1＝ ＋1＝1，第
2行第1列的数为2，此时a2，1＝ ＋1＝2，第3行第1列的数为4，
此时a3，1＝ ＋1＝4，据此分析可得：第64行第1列的数为a64，1
＝ ＋1＝2 017，则a64，9＝2 025.
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14. 已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110.
（1）20是不是{an}中的项？
解： 令an＝－n2＋n＋110＝20，
即n2－n－90＝0，
∴（n＋9）（n－10）＝0，∴n＝10或n＝－9（舍去）.
∴20是数列{an}中的项，且为数列{an}中的第10项.
（2）当n取何值时，an＝0？
解： 令an＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，
∴（n－11）（n＋10）＝0，∴n＝11或n＝－10（舍去），
∴当n＝11时，an＝0.
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15. 在数列{an}中，an＝ .
（1）求数列{an}的第7项；
解： a7＝ ＝ .
（2）求证：此数列的各项都在区间（0，1）内；
解： 证明：因为an＝ ＝1－ ，
所以0＜an＜1，故此数列的各项都在区间（0，1）内.
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（3）区间（ ， ）内有没有数列{an}中的项？若有，有几项？
解： 令 ＜ ＜ ，则 ＜n2＜2，n∈N*，
解得n＝1，即在区间（ ， ）内有数列{an}中的项，且只有1项a1.
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演示完毕 感谢观看
第一课时 数列的概念与简单表示
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念及分类（数学抽象）.
2.理解数列的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数（数学抽象、数学运算）.
课标要求
在生活中，常有按顺序记录数据来研究事物变化规律的事例.例如，一棵树在某一时刻的高度为2 m，如果在每年的同一时刻都记录下这棵树的高度，并按时间的先后顺序排列起来就得到一列数.通过对记录下来的这列数的分析，可以研究树的生长规律.将某个学生某一学科的历次考试成绩按考试时间顺序逐个记录，据此可研究该学生这科成绩的变化情况.你还能举出一些这样的例子吗？
情境导入
知识点一 数列的概念与分类
01
知识点二 数列的表示
02
课时作业
03
目录
知识点一
数列的概念与分类
01
PART
问题1 请同学们观察以下五组数据：
①
②古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2
401，16 807；
③战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭.这句话
中隐藏着一列数：1， ， ， ， ，…；
④从学号1开始，记下本班的每一个同学的某次数学考试成绩：101，
115，91，95，121，…，95；
⑤－ 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－ ， ，－
， ，….
（1）以上各组数据中数可以交换位置吗？
提示：不能.
（2）每组数据中数的个数有什么不同？
提示：②④中项数有限；①③⑤中项数无限.
【知识梳理】
1. 数列的概念
（1）定义：按照确定的 排列的一列数称为数列；
（2）项：数列中的 叫做这个数列的项.数列的第一个位置上
的数叫做这个数列的第1项，常用符号 表示，第二个位置上的数叫
做这个数列的第2项，用 表示……第n个位置上的数叫做这个数列的
第n项，用 表示.其中第1项也叫做 ；
（3）记法：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}.
顺序
每一个数
a1
a2
an
首项
2. 数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数 的数列
无穷数列 项数 的数列
有限
无限
分类标准 名称 含义
按项的
变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列
常数列 各项都 的数列
周期数列 项呈现周期性变化的数列
摆动数列 从第2项起，有些项 它的前一项，有些项 它的前一项的数列
大于
小于
相等
大于
小
于
提醒：（1）如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同
的数列；（2）同一个数可以在数列中重复出现；（3）{an}表示一个数
列，an表示数列中的第n项.
【例1】 （1）〔多选〕下列说法中正确的有（ ）
A. 数列4，7，3，4的首项是4，末项是4
B. 数列1，2，5，6和数列6，5，2，1是同一数列
C. 数列{an}中，若a3＝3，则从第2项起，各项都不等于3
D. 数列中的项不能是代数式
解析： 由数列的定义可知，数列4，7，3，4的首项是4，末项也是4，
故A正确；数列是按照确定的顺序排列的一列数，所以这两个数列不是同
一数列，故B错误；同一个数在一个数列中可以重复出现，即数列的项可
以相等，故C错误；数列是按照一定顺序排列的一列数，因此数列中的项
必须是数，不能是其他形式，故D正确.
√
√
（2）下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪
些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？
①1，0.84，0.842，0.843，…；
②2，4，6，8，10，…；
③7，7，7，7，…；
④ ， ， ， ，…；
⑤10，9，8，7，6，5，4，3，2，1；
⑥0，－1，2，－3，4，－5，….
解：⑤是有穷数列；①②③④⑥是无穷数列；②是递增数列；①④⑤是递
减数列；③是常数列；⑥是摆动数列.
【规律方法】
数列的判定方法及其分类
（1）判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列
的数；
（2）判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋
势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数是有限的还是无限的.
训练1 （1）下列各项表示数列的是（ B ）
A. △，○，☆，□
B. 2 008，2 009，2 010，…，2 024
C. 锐角三角形，直角三角形，钝角三角形
D. a＋b，a－b，a·b，λa
解析：数列是指按照确定的顺序排列的一列数，而不能是图形、文字、向
量等，只有B项符合.
B
（2）给出下列数列：
①1，2，22，23，24，…，263；②－ ，－ ，－ ，…，－ ，…；③
1，2，3，…，10 000；④－1，1，－1，1，－1，1，…；⑤1，2，3，5，
8，13，21，…；⑥ ， ， ， ，….
其中， 为有穷数列， 为无穷数列， 为递
增数列， 为递减数列， 为常数列， 为摆动数列.（填
序号）
解析：根据数列的分类，容易得到：①③为有穷数列，②④⑤⑥为无穷数
列，①③⑤为递增数列，②为递减数列，⑥为常数列，④为摆动数列.
①③
②④⑤⑥
①③⑤
②
⑥
④
知识点二
数列的表示
02
PART
问题2 （1）如果我们以序号n为自变量，以项an为函数值，可以将数列
看作函数吗？
提示：两者具有一一对应的关系，可以看作特殊的函数.
（2）回顾函数的表示方法：列表、图象、解析法，你认为数列可以用上
面的方法表示吗？
提示：可以.但是对于解析法来说，数列不同于连续函数的表示，需要重
新作定义.
【知识梳理】
1. 数列中的项与序号的对应关系
数列{an}是从 （或它的有限子集{1，2，…，n}）到
的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记
为 .
正整数集N*
实
数集R
an＝f（n）
2. 通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来
表示，那么这个式子叫做这个数列的 .
提醒：（1）数列是自变量取1，2，3，…时的离散函数；（2）数列
的表示方法有列表法、图象法及通项公式法；（3）数列的通项公式可能
有多个，也可能不存在.
通项公式
【例2】 （链接教材P4例1）根据数列{an}的通项公式，写出数列的前5
项，并画出它们的图象.
（1）an＝（－1）n＋2；
解：数列{an}的前5项依次是1，3，1，3，1，图象如图1所示.
（2）an＝ .
解：数列{an}的前5项依次是2， ， ， ， ，图象如图2所示.
【规律方法】
1. 列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它
只能表示有限个元素之间的对应关系.
2. 图象法表示数列时，数列的图象是以（n，an）为坐标的一系列孤立
的点.
训练2 某种练习本单价5元，小王买了n本（n∈N*，n≤5）该练习本，
记an为买n本的总价，试用三种方法来表示数列{an}.
解：通项公式法：an＝5n（n∈N*，n≤5）.
列表法：
n 1 2 3 4 5
an 5 10 15 20 25
图象法：
提能点｜数列通项公式的求解及应用
角度1 由数列的前几项写出数列的通项公式
【例3】 （链接教材P5例2）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4
项分别是下列各数：
（1）3，5，7，9，…；
解：各项减去1后为正偶数，所以它的一个通项公式为an＝2n＋1.
（2） ， ， ， ，…；
解：每一项的分子比分母小1，而分母组成的数列为21，22，23，24，…，
所以原数列的一个通项公式为an＝ .
（3）9，99，999，9 999，…；
解：各项加1后，分别变成10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公
式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1.
（4）－1， ，－ ， ，….
解：这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数
项为正，所以它的一个通项公式为an＝ .
变式 （1）试写出前4项为1，11，111，1 111的数列的一个通项公式；
解：由本例的第（3）题可知，每一项除以9即可，即an＝ （10n－1）.
（2）试写出前4项为0.9，0.99，0.999，0.999 9的数列的一个通项公式.
解： an＝1－0.1n.
【规律方法】
根据数列的前几项求其通项公式的方法
（1）先统一各项的结构，如都化成分数、根式等；
（2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应
序号间的函数解析式；
（3）对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用（－1）n或
（－1）n＋1处理；
（4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周
期函数，如三角函数等.
训练3 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）2×3，3×4，4×5，5×6，…；
解：由2×3＝（1＋1）×（1＋2），3×4＝（2＋1）×（2＋2），4×5＝
（3＋1）×（3＋2），5×6＝（4＋1）×（4＋2），…，可得an＝（n＋
1）（n＋2）.
（2）1 ，2 ，3 ，4 ，…；
解：此数列的整数部分1，2，3，4，…，恰好是序号n，分数部分与序号
n的关系为 ，故所求数列的一个通项公式为an＝n＋ ＝ .
（3）3，33，333，3 333，…；
解：联想特殊数列9，99，999，…的通项公式为an＝10n－1，于是该数列
的一个通项公式为an＝ （10n－1），即an＝ （10n－1）.
（4）－1，0，－1，0，….
解： an＝ 是此数列的一个通项公式.
由于－1＝－ － ，0＝－ ＋ .
联想到（－1）n具有转换符号的作用，故此数列的通项公式也可写成an＝
.
角度2 数列中项的求解及判断
【例4】 （链接教材P5例3）已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
（1）写出数列的第4项和第6项；
解： a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60.
（2）－49是否为该数列的项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的
项呢？
解：令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝ （舍去），
所以n＝7，即－49是该数列的第7项.
令3n2－28n＝68，解得n＝ 或n＝－2.
因为 N*，－2 N*，所以68不是该数列的项.
（3）数列{an}中有多少个负数项？
解： an＝n（3n－28），令an＜0，结合n∈N*，解得n＝1，2，3，4，
5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项.
变式 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N*.问当n为何值
时，an取得最小值？并求出最小值.
解：∵an＝n2－5n＋4＝（n－ ）2－ ，
∴当n＝2或3时，an取得最小值，为a2＝a3＝－2.
【规律方法】
求项或判断某数是否为数列的项的方法
（1）如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就
可以求出数列中的指定项；
（2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，
求出n的值.若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数
列的项.
训练4 已知数列{an}的通项公式为an＝ ，n∈N*.
（1）求a10；
解： a10＝ ＝ .
（2） 是不是这个数列的项？
解：令 ＝ ，得n＝100，故 是这个数列的项.
（3）这个数列中有多少项是整数？
解：易知an＝1＋ ，若an是整数，则n＝1，2，3，6，
故这个数列中共有4项是整数.
（4）该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明
理由.
解：令 ＝n，得n2－n－6＝0，解得n＝3或n＝－2（舍去）.
故该数列中有等于项数的项，该项为a3＝3.
1. 下列说法正确的是（ ）
A. {0，1，2，3，4，5}是有穷数列
B. 所有正整数构成的数列是无穷数列
C. 数列2，5，7，8和数列5，2，7，8是同一数列
D. 数列1，2，3，4，…，n是无穷数列
解析： 因为{0，1，2，3，4，5}是集合，不是数列，故A错误；所有正
整数构成的数列是无穷数列，故B正确；数列是按照一定次序排列的一列
数，因此数的次序很关键，所以这两个数列不是同一数列，故C错误；数
列1，2，3，4，…，n，共有n项，是有穷数列，故D错误.
√
2. 已知数列－1，0， ， ，…， ，…，则 是其（ ）
A. 第14项 B. 第12项
C. 第10项 D. 第8项
解析： 令 ＝ ，整理得5n2－72n＋144＝0，解得n＝12或n＝
（舍去）.故选B.
√
3. 数列－1， ，－ ， ，－ ，…的一个通项公式an＝ .
解析：由题可知，数列－1， ，－ ， ，－ ，…，每项的分子为1，
分母是项数的平方，奇数项为负，偶数项为正，故可得数列的一个通项公
式为an＝ .
4. 已知数列{an}的通项公式是an＝n2－pn＋q，且a1＝0，a2＝－4.
（1）a5＝ ；
解析：由已知得 解得 所以an＝n2－7n＋6，
所以a5＝52－7×5＋6＝－4.
（2）150是数列中的第 项.
解析：令an＝n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9（舍去），所以150
是该数列的第16项.
－4
16
课堂小结
1. 理清单
（1）数列的概念与分类；
（2）数列的表示；
（3）数列通项公式的求解及应用.
2. 应体会
（1）对数列进行分类应用了观察法；
（2）由数列的前n项求数列的通项公式时要注意归纳法、猜想法的应用.
3. 避易错
（1）归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；
（2）不注意用（－1）n进行调节，不注意分子、分母间的联系.
课时作业
03
PART
1. 下列说法错误的是（ ）
A. 数列可以用图象来表示
B. 数列的通项公式是唯一的
C. 数列可以用一群孤立的点表示
D. 数列{2n＋1}是递增数列
解析： 易知A、C正确；数列的通项公式不唯一，故B错误；因为y＝
2n＋1在（0，＋∞）上单调递增，所以数列{2n＋1}是递增数列，故D正
确.故选B.
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2. 已知数列 ，2， ，2 ， ，…， ， ，…，则
是这个数列的（ ）
A. 第19项 B. 第20项
C. 第21项 D. 第22项
解析： 令 ＝ ，解得n＝21，所以 是这个数列的第21项.故
选C.
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3. 数列－1， ，－ ， ，…的一个通项公式是（ ）
A. an＝（－1）n B. an＝（－1）n
C. an＝（－1）n D. an＝（－1）n
解析： 因为数列－1， ，－ ， ，…，所以其奇数项符号为负，偶
数项符号为正，而分母1，3，5，7可归纳为2n－1，分子1，4，9，16可归
纳为n2，故数列－1， ，－ ， ，…的一个通项公式是an＝（－1）
n ，故B正确.
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4. 已知数列{an}的一个通项公式为an＝（－1）n·2n＋a，且a3＝－5，
则实数a＝（ ）
A. 3 B. 1 C. －1 D. 0
解析： 因为a3＝－5，an＝（－1）n·2n＋a，所以－8＋a＝－5，解
得a＝3，故选A.
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5. 下列各图是由一些火柴棒拼成的一系列图形，如第一个图由4根火柴棒
组成，第二个图由7根火柴棒组成，按这种规律排列下去，第51个图中的
火柴棒有（ ）
A. 151根 B. 154根
C. 157根 D. 160根
解析： 第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由4＋3＝7根火柴棒组
成，第三个图由4＋2×3＝10根火柴棒组成，…，第51个图中的火柴棒有4
＋50×3＝154根.故选B.
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6. 〔多选〕已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则（ ）
A. 3不是数列{an}中的项
B. 3可能是数列{an}的第2项
C. 3可能是数列{an}的第6项
D. a3＜0
解析： 令n2－8n＋15＝3，解此方程可得n＝2或n＝6，所以3可能是
该数列的第2项，也可能是该数列的第6项，a3＝9－24＋15＝0.
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7. 〔多选〕已知数列{an}的通项公式为an＝ ，则下列n的值中满足
an＜an＋1的有（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解析： 由数列{an}的通项公式为an＝ ，可得a3＝ ，a4＝ ，
a5＝4，a6＝－4，a7＝－ ，显然a3＜a4＜a5，a6＜a7，但a5＞a6.故满足
an＜an＋1的n的值有3，4，6.
√
√
√
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8. 已知数列{an}的通项公式为an＝ 则a2a3＝ .
解析：由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2a3＝20.
20
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9. 已知数列{an}的通项公式为an＝2 025－3n，则使an＞0成立的正整数n
的最大值为 .
解析：由an＝2 025－3n＞0，得n＜675，又因为n∈N*，所以正整数n的
最大值为674.
674
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10. 根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的
图象.
（1）an＝ n－1；
解： 当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为
－ ，0， ，1， .图象如图1所示.
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（2）an＝ sin .
解：当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为
－1，0，1，0，－1.图象如图2所示.
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11. 设an＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ （n∈N*），则a2＝（ ）
A. B. ＋
C. ＋ ＋ D. ＋ ＋ ＋
解析： ∵an＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ （n∈N*），∴a2＝ ＋
＋ .
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12. 已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，则该数列的第22
项为（ ）
A. 6 B. 7 C. 64 D. 65
解析： 由数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，可知1有1个，
2有2个，3有3个，4有4个，5有5个，6有6个，7有7个，因为1＋2＋3＋4＋
5＋6＝21，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以该数列的第22项为7.
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13. 正整数的排列规则如图所示，其中排在第i行第j列的数记为ai，j，例
如a4，3＝9，则a64，9＝ .
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
2 025
……
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
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解析：根据题意，第1行第1列的数为1，此时a1，1＝ ＋1＝1，第
2行第1列的数为2，此时a2，1＝ ＋1＝2，第3行第1列的数为4，
此时a3，1＝ ＋1＝4，据此分析可得：第64行第1列的数为a64，1
＝ ＋1＝2 017，则a64，9＝2 025.
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14. 已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110.
（1）20是不是{an}中的项？
解： 令an＝－n2＋n＋110＝20，
即n2－n－90＝0，
∴（n＋9）（n－10）＝0，∴n＝10或n＝－9（舍去）.
∴20是数列{an}中的项，且为数列{an}中的第10项.
（2）当n取何值时，an＝0？
解： 令an＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，
∴（n－11）（n＋10）＝0，∴n＝11或n＝－10（舍去），
∴当n＝11时，an＝0.
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15. 在数列{an}中，an＝ .
（1）求数列{an}的第7项；
解： a7＝ ＝ .
（2）求证：此数列的各项都在区间（0，1）内；
解： 证明：因为an＝ ＝1－ ，
所以0＜an＜1，故此数列的各项都在区间（0，1）内.
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（3）区间（ ， ）内有没有数列{an}中的项？若有，有几项？
解： 令 ＜ ＜ ，则 ＜n2＜2，n∈N*，
解得n＝1，即在区间（ ， ）内有数列{an}中的项，且只有1项a1.
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