《创新课堂》5.1.1　变化率问题 课件 高中数学选修2同步讲练测

(共57张PPT)
5.1.1　变化率问题
1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程（数学抽象）.
2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系（数学抽象、
数学运算）.
3.体会极限思想（数学抽象）.
课标要求
　2020年珠穆朗玛峰（简称珠峰）新测高度8 848.86米，是世界第一高峰，是很多登山爱好者的终极之地.很多人为了征服这座山峰，每年都会向它发起挑战，但到现在为止能顺利登顶的人并不多.当山势的陡峭程度不同时，登山队员攀登的难度也是不一样的.你知道如何用数学知识来反映山势的陡峭程度吗？
情境导入
知识点一　物体运动的平均速度
01
知识点二　物体运动的瞬时速度
02
课时作业
03
目录
知识点一
物体运动的平均速度
01
PART
问题1　（1）某公路上存在一段长为2 km的测速路段，假定测速超过100
km/h即为超速，某汽车用时1.5分钟，它超速了吗？你觉得这种测速的本
质是什么？
提示：记测速为v，则v＝ ＝ ＝80 km/h，因此它没有超速.这种
测速的本质是平均速度.
（2）在一次跳水中，某运动员在运动过程中的重心，相对于水面的高度h
（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝－4.9t2
＋2.8t＋11，你能求出该运动员在0≤t≤0.2，1≤t≤1.5，0≤t≤ 内的
平均速度吗？由运动员在0≤t≤ 这段时间里的平均速度，你发现了什
么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
提示：当0≤t≤0.2时， ＝ ＝1.82（m/s）；当1≤t≤1.5
时， ＝ ＝－9.45（m/s）；当0≤t≤ 时， ＝
＝0（m/s）；虽然运动员在0≤t≤ 这段时间里的平均速度是0 m/s，但实
际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的
运动状态.
【知识梳理】
1. 平均速度：我们把位移s看成关于时间t的函数s＝s（t），则物体在时
间段 上的平均速度 ＝ 　 　.
2. 物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的 .
　　提醒：把速度v看成关于时间t的函数v＝v（t），则物体在时间段
上的平均加速度 ＝ .
　
快慢　
【例1】　某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s（t）＝ sin
t，t∈ .
（1）分别求s（t）在区间 和 上的平均速度；
解：物体在区间 上的平均速度为
＝ ＝ ＝ .
物体在区间 上的平均速度为 ＝ ＝ ＝ .
（2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义.
解：由（1）可知 － ＝ ＞0，所以 ＜ .作出函数s（t）＝ sin t在 上的图象，如图所示，可以发现，s（t）＝ sin t在 上随着t的增大，函数值s（t）变化的越来越慢.
【规律方法】
求物体运动的平均速度的步骤
（1）先计算位移的改变量s（t2）－s（t1）；
（2）再计算时间的改变量t2－t1；
（3）得平均速度 ＝ .
训练1　一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之
间的函数关系为s（t）＝5t2＋bt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平
均速度为26 m/s，则实数b＝（　　）
A. 2 B. 1
C. －1 D. 6
解析：　由已知，得 ＝26，所以（5×32＋3b）－（5×22＋
2b）＝26，解得b＝1.
√
知识点二
物体运动的瞬时速度
02
PART
问题2　（1）如果我们用Δs＝s（t2）－s（t1），Δt＝t2－t1，分别代表
位移、时间的增量，你能用Δs，Δt表示平均速度吗？区间 内
的平均速度呢？
提示： ＝ ＝ ；
＝ .
（2）区间 表示时刻t0到时刻t0＋Δt内的时间，随着Δt的改
变，区间变大或变小，如果Δt变成无限接近0的正数，那么我们该如何认
识 ＝ 呢？
提示：用极限思想可以理解为t0时刻的瞬时速度.
【知识梳理】
1. 瞬时速度：物体在 的速度称为瞬时速度.
2. 瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔｜Δt｜无限趋
近于0时，平均速度 就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度.
3. 设物体运动的时间与位移的函数关系为s＝s（t），则物体在t0时刻的
瞬时速度为
v＝ .
　　提醒：Δt可正，可负，但不能为0.
某一时刻　
　
【例2】　（链接教材P61练习1题）某物体的运动路程s（单位：m）与时
间t（单位：s）的关系可用函数s（t）＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s
时的瞬时速度.
解：∵ ＝ ＝
＝3＋Δt，
∴ ＝ （3＋Δt）＝3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
变式　（1）若本例中的条件不变，试求物体的初速度；
解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，
∵ ＝
＝ ＝1＋Δt，
∴ （1＋Δt）＝1.
即物体的初速度为1 m/s.
（2）若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s？
解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又 ＝
＝（2t0＋1）＋Δt，
∴ ＝ （2t0＋1＋Δt）＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，
∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
【规律方法】
求物体运动的瞬时速度的步骤
（1）求位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）；
（2）求平均速度 ＝ ；
（3）求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于的常数v，即为瞬
时速度，即v＝ .
训练2　一质点M按运动方程s（t）＝at2＋1做直线运动（位移单位：m，
时间单位：s），若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a
＝ .
解析：质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.∵质
点M在t＝2附近的平均速度为 ＝ ＝ ＝4a
＋aΔt，∴ ＝4a＝8，即a＝2.
2　
提能点｜求曲线在某点处的切线斜率（方程）
问题3　设P0（x0，f（x0）），P（x，f（x））是抛物线y＝f（x）上
任意的两点，记Δx＝x－x0，则割线P0P的斜率k＝ ，
如图所示.观察割线P0P有什么变化趋势？
提示：当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置.
【知识梳理】
1. 切线的斜率：当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定
的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f（x）在点P0（x0，f
（x0））处的切线.则切线P0T的斜率k0＝ .
2. 切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔｜
Δx｜无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T. 这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.
　　提醒：（1）极限的几何意义：曲线y＝f（x）在x＝x0处的切线斜
率；（2）对曲线在某点处的切线理解的三个注意点：①与该点的位置
有关；②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.若割线有极限位
置，则在此点有切线，且切线是唯一的；若割线不存在极限位置，则
曲线在此点处无切线；③曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，
可以有多个交点.
【例3】　（链接教材P64练习2题）求抛物线f（x）＝x2－2x＋3在点
（1，2）处的切线斜率.
解：由
＝ ＝Δx，
可得切线的斜率为k＝ Δx＝0.
变式　若本例条件不变，求与2x－y＋4＝0平行的该曲线的切线方程.
解：设切点坐标为（x0， －2x0＋3），
由
＝
＝2x0－2＋Δx，
所以切线的斜率为k＝ （2x0－2＋Δx）＝2x0－2，故有2x0－2＝2，
解得x0＝2，所以切点坐标为（2，3），所求切线方程为2x－y－1＝0.
【规律方法】
求曲线在点P0（x0，f（x0））处的切线方程的步骤
训练3　求函数y＝ 在x＝2处的切线方程.
解：因为Δy＝ － ＝ －1
＝－ ，所以 ＝－ ，
所以k＝ ＝ ＝ ＝－1.
又x＝2时，y＝ ＝1.
所以切线方程为y－1＝－1×（x－2），
即x＋y－3＝0.
1. 一物体运动的位移y与时间t满足函数y＝t，则该物体在 上
的平均速度是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. Δt
解析：　 ＝ ＝1.
√
2. 已知某质点运动的方程是s＝2＋ ，当t由1变到2时，其路程的增量Δs
＝（　　）
C. 1 D. －1
解析：　Δs＝ －（2＋1）＝－ .
√
3. 一物体做直线运动，其运动方程为s（t）＝－t2＋2t，则t＝0时，其速
度为（　　）
A. －2 B. －1
C. 0 D. 2
解析：　因为
＝
＝ （－2t＋2－Δt）＝－2t＋2，所以当t＝0时，其速度为2.
√
4. 抛物线f（x）＝x2－x在点（2，2）处的切线的斜率为 　 　.
解析：f（2＋Δx）－f（2）＝（2＋Δx）2－（2＋Δx）－2＝3Δx＋
（Δx）2，所以切线的斜率k＝ ＝
＝ （3＋Δx）＝3.
3
课堂小结
1. 理清单
（1）物体运动的平均速度；
（2）物体运动的瞬时速度；
（3）求曲线在某点处的切线斜率（方程）.
2. 应体会
无限趋近法、定义法.研究曲线在某点处的切线的斜率问题时，要注意数
形结合思想与极限思想的应用.
3. 避易错
对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位.
课时作业
03
PART
1. 已知抛物线y＝f（x）＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则 ＝
（　　）
A. －0.11 B. －1.1
C. 3.89 D. 0.29
解析：　因为Δy＝f（2＋0.1）－f（2）＝（3×2.1－2.12）－（3×2－
22）＝－0.11，所以 ＝ ＝－1.1.故选B.
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2. 若函数f（x）在x0处有定义，则 的结果（　　）
A. 与x0，h均无关
B. 仅与x0有关，而与h无关
C. 仅与h有关，而与x0无关
D. 与x0，h均有关
解析：　根据曲线在某点处切线斜率的意义知，该极限值只与x0有关，
而与h没有关系.
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3. 某物体做直线运动，若它所经过的位移s与时间t的函数关系为s（t）
＝ t2＋t，则这个物体在时间段[1，2]内的平均速度为（　　）
A. 2
C. 3
解析：　 ＝ ＝ ＝ .故选D.
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4. 已知抛物线y＝2x2上一点A（2，8），则在点A处的切线斜率为
（　　）
A. 4 B. 16
C. 8 D. 2
解析：　k＝ ＝8.故选C.
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5. 某物体的运动方程为s＝t2，该物体在t0到t0＋Δt之间的平均速度为k1，
在t0－Δt到t0之间的平均速度为k2，则k1与k2的大小关系为（　　）
A. k1＞k2 B. k1＜k2
C. k1＝k2 D. 不确定
解析：　令s＝f（t）＝t2，则k1＝ ＝
＝2t0＋Δt，k2＝ ＝ ＝2t0－Δt.因为Δt可大
于零也可小于零，所以k1与k2的大小关系不确定.
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6. 〔多选〕已知某物体的运动方程为s（t）＝7t2＋8（0≤t≤5），则下
列说法正确的是（　　）
A. 该物体在1≤t≤3时的平均速度是28
B. 该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C. 该物体位移的最大值为43
D. 该物体在t＝5时的瞬时速度是70
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解析： 　A项，该物体在1≤t≤3时的平均速度是 ＝
＝28，A正确；B项， ＝ ＝56＋7Δt，当Δt趋近于0时，
趋近于56，故B正确；C项，当t＝5时，s（t）有最大值s（t）max＝s
（5）＝183，C错误；D项， ＝ ＝7Δt＋70，当Δt趋
近于0时， 趋近于70，D正确.
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7. 〔多选〕已知物体做自由落体运动的位移函数为s（t）＝ gt2，g＝
9.8 m/s2，若v＝ ，当Δt无限趋近于0时，v趋近于9.8
m/s，则9.8 m/s是（　　）
A. 物体从0 s到1 s这段时间的平均速度
B. 物体从1 s到（1＋Δt）s这段时间的平均速度
C. 物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度
解析： 由平均速度、瞬时速度及切线斜率的几何意义知C、D正确.
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8. 抛物线f（x）＝x2－4x在点（－1，5）处的切线方程为
.
解析：k＝ ＝－6，所以切线方程为y－5＝－6
（x＋1），即6x＋y＋1＝0.
6x＋y＋1＝
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9. 物体M的运动方程为s＝f（t）＝t2＋2t，物体N的运动方程为s＝g
（t）＝2t－3，物体M在 上的平均速度是物体N在 上的平均
速度的2倍，则实数a的值为 .
解析：由题意，得物体M在 上的平均速度为 ＝
＝a＋2，物体N在 上的平均速度为 ＝
＝2.由题意知a＋2＝2×2，所以a＝2.
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10. 在受到制动后的t s内飞轮转过的角度（单位：rad）由函数φ（t）＝4t
－0.3t2给出.
求：（1）t＝2 s时，飞轮转过的角度；
解： t＝2 s时，飞轮转过的角度φ（2）＝8－1.2＝6.8（rad）.
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（2）飞轮停止旋转的时刻.
解：飞轮停止旋转时的瞬时角速度为
＝
＝
＝ （4－0.3Δt－0.6t）＝4－0.6t，
飞轮停止旋转时，瞬时角速度为0，
所以令4－0.6t＝0，得t＝ ，所以在t＝ s时飞轮停止旋转.
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11. 若抛物线y＝x2＋ax＋b在点（0，b）处的切线方程是x－y＋1＝0，
则（　　）
A. a＝1，b＝1 B. a＝－1，b＝1
C. a＝1，b＝－1 D. a＝－1，b＝－1
解析：　由题意可知，抛物线在点（0，b）处的切线的斜率为k＝
＝1，解得a＝1，又点（0，b）在切线
上，∴b＝1.
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12. 〔多选〕如图表示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下
列说法正确的是（　　）
A. 在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B. 在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C. 在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D. 在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
√
√
解析： 在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为v＝ ，故A错误，B
正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为 ，乙的平均速度为 .因
为s2－s0＞s1－s0，t1－t0＞0，所以 ＞ ，故C正确，D错误.
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13. 将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为
，则m的值为 .
解析：体积的增加量ΔV＝ m3－ ＝ （m3－1），所以 ＝
＝ ，所以m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3（舍去）.
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14. 已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.
（1）求它们的交点；
解： 由 解得 或
∴抛物线与直线的交点坐标为（－2，8），（3，13）.
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（2）求抛物线在交点处的切线方程.
解： 若交点坐标为（－2，8），
则k＝ ＝
＝ （－4＋Δx）＝－4.
∴抛物线在点（－2，8）处的切线方程为y－8＝－4（x＋2），
即4x＋y＝0.
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若交点坐标为（3，13），
则k＝ ＝
＝ ＝ （6＋Δx）＝6.
∴抛物线在点（3，13）处的切线方程为y－13＝6（x－3），
即6x－y－5＝0.
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15. 若一物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s）s＝f（t）＝
求：（1）物体在t∈[3，5]内的平均速度；
解： 因为物体在t∈[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3，5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－（3×32＋2）＝3×
（52－32）＝48，
所以物体在t∈[3，5]内的平均速度为 ＝ ＝24（m/s）.
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（2）物体的初速度v0；
解： 求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度.
因为 ＝
＝
＝3Δt－18，
所以物体的初速度v0＝ ＝ （3Δt－18）＝－18（m/s）.
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（3）物体在t＝1时的瞬时速度.
解： 因为
＝
＝3Δt－12，
所以物体在t＝1时的瞬时速度为 （3Δt－12）＝－12（m/s）.
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