《创新课堂》5.1.2第二课时　导数的几何意义 课件 高中数学选修2同步讲练测

(共63张PPT)
第二课时　导数的几何意义
1.通过函数图象直观理解导数的几何意义（直观想象）.
2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程（数学运算）.
3.了解导函数的概念（数学抽象）.
课标要求
从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量v的方向相同.
　　如果设曲线的方程为y＝f（x），A（x0，f（x0）），那么曲线在点A处的切线的斜率是什么？
情境导入
知识点一　导数的几何意义
01
知识点二　利用导数的几何意义判断函数的变化
02
知识点三　导函数（导数）
03
课时作业
04
目录
知识点一
导数的几何意义
01
PART
问题1　观察函数y＝f（x）的图象，平均变化率 ＝
表示什么？瞬时变化率f'（x0）＝ ＝ 表示
什么？
提示：容易发现，平均变化率 ＝
表示的是割线P0P的斜率.如图，当点P沿着曲线无限
趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位
置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f（x）在
点P0处的切线.容易知道，割线P0P的斜率k＝ .记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f（x）无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f（x）在x＝x0处的导数.因此，函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f'（x0）.
【知识梳理】
　函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f（x）在点P
（x0，f（x0））处的 .也就是说，曲线y＝f（x）在点P
（x0，f（x0））处的切线的斜率是 .相应地，切线方程为
.
切线的斜率　
f'（x0）　
y
－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）　
【例1】　已知函数y＝f（x）＝x3.
（1）求曲线y＝f（x）在点（－1，－1）处的切线方程；
解：因为f'（x）＝
＝
＝ ＝3x2，
所以曲线y＝f（x）在点（－1，－1）处的切线的斜率为k＝f'（－1）
＝3，
所以切线方程为y＋1＝3（x＋1），即3x－y＋2＝0.
（2）求曲线y＝f（x）过点E（2，0）的切线方程.
解：（设切点坐标为（x0， ），
则切线的斜率为k＝f'（x0）＝3 ，
所以切线方程为y－ ＝3 （x－x0）.
将点E（2，0）的坐标代入切线方程，
得－ ＝3 （2－x0），
则2 （x0－3）＝0，解得x0＝0或x0＝3，
所以切线方程为y＝0或27x－y－54＝0.
【规律方法】
求过点P（x0，f（x0））的曲线y＝f（x）的切线方程的策略
（1）当点P（x0，f（x0））是切点时，切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）
（x－x0）；
（2）当点P（x0，f（x0））不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P'（x1，f（x1））；
第二步：写出过点P'（x1，f（x1））的切线方程y－f（x1）＝f'（x1）
（x－x1）；
第三步：将点P的坐标（x0，f（x0））代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f（x1）＝f'（x1）·（x－x1）可得过点P
（x0，f（x0））的切线方程.
训练1　求曲线y＝ 在点 处的切线方程.
解：曲线在点 处的切线的斜率为
k＝ ＝ ＝－ ，
由直线的点斜式方程可得切线方程为
y－ ＝－ （x－2），即x＋4y－4＝0.
知识点二
利用导数的几何意义判断函数的变化
02
PART
问题2　如图是函数y＝h（t）的部分图象，试分析一下导数与函数单调
性的关系.
提示：当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线平行于t轴，即h'（t0）＝
0.这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h'（t1）＜0.这时，在t
＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减.
当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h'（t2）＜0.这时，在t
＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减.
通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说
明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的缓慢.
同理，t＝t3，t＝t4时都有h'（t）＞0，h（t）在各自附近单调递增，且
函数在t＝t3附近比在t＝t4附近上升的快.
【知识梳理】
1. 若f'（x0）＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝ .
2. 若f'（x0）＞0，则函数在x＝x0处切线斜率k 0，且函数在x＝x0
附近单调递 ，且f'（x0）越大，说明函数图象变化得越快.
3. 若f'（x0）＜0，则函数在x＝x0处切线斜率k 0，且函数在x＝x0
附近单调递 ，且 越大，说明函数图象变化得越快.
0　
＞　
增　
＜　
减　
【例2】　（链接教材P69练习1题）（1）已知y＝f（x）的图象如图所
示，则f'（xA）与f'（xB）的大小关系是（　B　）
A. f'（xA）＞f'（xB）
B. f'（xA）＜f'（xB）
C. f'（xA）＝f'（xB）
D. 不能确定
B
解析：由导数的几何意义，f'（xA），f'（xB）分别是切线在点A，B处的
斜率，由题图可知f'（xA）＜f'（xB）.
（2）若函数f（x）的导函数在区间 上单调递增，则函数f（x）在
区间 上的图象可能是（　A　）
A
解析：函数f（x）的导函数f'（x）在 上单调递增，若对任意x1和x2
满足a＜x1＜x2＜b，则有f'（a）＜f'（x1）＜f'（x2）＜f'（b），根据导
数的几何意义，可知函数y＝f（x）的切线斜率在 内单调递增，观
察图象，只有A选项符合.
【规律方法】
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的几何意义就是该函数曲线在x＝x0处的
切线的斜率，所以比较两个导数值的大小可以根据函数图象，观察函数y
＝f（x）在这两点处对应切线的斜率的大小.
训练2　已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设 ＝a，则下列不等式正确的是（　　）
A. f'（1）＜f'（2）＜a
B. f'（1）＜a＜f'（2）
C. f'（2）＜f'（1）＜a
D. a＜f'（1）＜f'（2）
解析：　由图象可知，函数在[0，＋∞）上的增长速度越来越快，故函
数图象在点（x0，f（x0））（x0∈（0，＋∞））处的切线的斜率越来越
大，∵ ＝a，∴f'（1）＜a＜f'（2），故选B.
√
知识点三
导函数（导数）
03
PART
问题3　由前面所学知识可知，求函数在某一点处的导数，可以发现函数
在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？
提示：如果函数y＝f（x）在开区间（a，b）内的每点处都有导数，即
任给x0∈（a，b），总有 ＝f'（x0），从而对开
区间（a，b）内的每一个值x0，都有唯一确定的函数值f'（x0）与x0对
应，所以在开区间（a，b）内，f'（x）构成一个新的函数，故可通过求
导研究函数的整体变化.
【知识梳理】
1. 定义：当x变化时，y＝ 就是x的函数，我们称它为y＝f
（x）的导函数（简称导数）.
2. 记法：y＝f（x）的导函数记作f'（x）（有时也记作y'），即f'（x）＝
y'＝ .
f'（x）　
　
　　提醒：函数f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）、导函数f'（x）之间的
区别与联系：①区别：（ⅰ）f'（x0）是在x＝x0处函数值的改变量与自变量
的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；（ⅱ）f'（x）是函数f
（x）的导函数，是对某一区间内任意x而言的；②联系：函数f（x）在x
＝x0处的导数f'（x0）就是导函数f'（x）在x＝x0处的函数值.
【例3】　已知函数y＝f（x）＝x2－ x，
（1）求f'（x）；
解：∵Δy＝f（x＋Δx）－f（x）＝（Δx）2＋2x·Δx－ Δx，
∴ ＝2x＋Δx－ ，
∴f'（x）＝ ＝2x－ .
（2）求函数f（x）在x＝1处的切线方程.
解：由（1）知f'（1）＝2×1－ ＝ ，
且f（1）＝1－ ＝ ，
故切线方程为y－ ＝ （x－1），
化简得3x－2y－2＝0.
【规律方法】
求导函数的主要步骤
（1）求函数的增量Δy＝f（x＋Δx）－f（x）；
（2）求平均变化率 ＝ ；
（3）求极限 ，即f'（x）＝ .
训练3　已知f（x）＝ ，通过导函数比较f'（－1）与f'（3）的大小关系.
解：f'（x）＝ ＝ ＝ ＝
－ ，
∴f'（－1）＝－1，f'（3）＝－ ，
∴f'（－1）＜f'（3）.
提能点｜利用导数的几何意义求切点坐标或参数值
【例4】　（1）已知抛物线y＝f（x）＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角
为45°，则该切点的坐标为 ；
解析：设切点坐标为（x0，y0），则Δy＝[2（x0＋Δx）2＋1]－（2 ＋
1）＝4x0·Δx＋2（Δx）2，∴ ＝4x0＋2Δx，∴f'（x0）＝ ＝
4x0.又∵切线的斜率为k＝tan 45°＝1，∴4x0＝1，即x0＝ .∴y0＝
2× ＋1＝ ，∴切点坐标为 .

（2）已知直线x＋y＝b是函数f（x）＝ax＋ 的图象在点（1，m）处的
切线，则a＋b＝ ，m＝ .
解析：由题意知m＝a＋2，1＋m＝b，∵f'（1）＝
＝ （a－ ）＝a－2，∴曲线f（x）在点（1，m）处的切线斜率
为a－2，由a－2＝－1，得a＝1，m＝3，b＝4，a＋b＝5.
5
3
【规律方法】
求切点坐标的一般步骤
（1）设出切点坐标；
（2）利用导数或斜率公式求出斜率；
（3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
（4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标.
训练4　已知曲线f（x）＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g（x）＝1－x3
在x＝x0处的切线互相平行，求x0.
解：对于曲线f（x）＝x2－1，
k1＝ ＝
＝ （2x0＋Δx）＝2x0.
对于曲线g（x）＝1－x3，k2＝
＝ ＝ [－3x0Δx－3 －（Δx）2]＝－3 .
由k1＝k2，得2x0＝－3 ，∴x0＝0或x0＝－ .
1. 若曲线y＝h（x）在点P（a，h（a））处的切线方程为2x＋y＋1＝
0，则（　　）
A. h'（a）＝0 B. h'（a）＜0
C. h'（a）＞0 D. h'（a）不存在
解析：　由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1，由导数的几何意义可知h'
（a）＝－2＜0.
√
2. 如图，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））在函数f（x）的图象
上，且x2＜x1，则f'（x1）与f'（x2）的大小关系是（　　）
A. f'（x1）＞f'（x2）
B. f'（x1）＜f'（x2）
C. f'（x1）＝f'（x2）
D. 不能确定
解析：　如图，根据导数的几何意义，f'（x1）为曲线f
（x）在点A处切线的斜率，设该斜率为k1，f'（x2）为曲
线f（x）在点B处切线的斜率，设该斜率为k2，由图象可
得0＞k1＞k2，即有f'（x1）＞f'（x2）.
√
3. 已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝
x＋2，则f（1）＋f'（1）＝ .
解析：由图象在M点处的切线方程是y＝ x＋2，得f（1）＝ ×1＋2＝
，f'（1）＝ .∴f（1）＋f'（1）＝ ＋ ＝3.
3
4. 求曲线C：y＝x2在x＝1处的切线方程.
解：把x＝1代入y＝x2得y＝12＝1，即切点P（1，1），y'｜x＝1＝
＝ ＝ （Δx＋2）＝2，所以k＝y'｜x＝1＝
2，所以曲线y＝x2在P（1，1）处的切线方程为y－1＝2（x－1），即
2x－y－1＝0.
课堂小结
1. 理清单
（1）导数的几何意义；
（2）函数的单调性与导数的关系；
（3）导函数的概念；
（4）导数几何意义的应用.
2. 应体会
利用导数的几何意义判断函数的变化体现了数形结合思想.
3. 避易错
切线过某点，这点不一定是切点.
课时作业
04
PART
1. 若 ＝x2，则f（x）的导函数f'（x）＝（　　）
A. 2x
C. x2 D. 3x2
解析：　由导数的定义可知，
f'（x）＝ ＝x2.
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2. 已知函数f（x）的图象如图所示，则下列数值的排序正确的是
（　　）
A. 0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2）
B. 0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3）
C. 0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）－f（2）
D. 0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）
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解析：　f'（2）和f'（3）分别表示函数f（x）在x＝2和x＝3处的切线斜
率，结合图象可得0＜f'（3）＜f'（2），而f（3）－f（2）＝
，表示过x＝2和x＝3两点的直线斜率，则0＜f'（3）＜f
（3）－f（2）＜f'（2），故选D.
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3. 已知函数f（x）＝ax2＋b的图象在点（1，3）处的切线斜率为2，则
＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：B　∵f'（1）＝2， ＝ ＝
（aΔx＋2a）＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.又f（1）＝a＋b＝3，∴b
＝2，∴ ＝2.
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4. 某运输公司为运送某物品提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能
在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t
的函数关系如图所示.在这四种方案中，运输效率（单位时间内的运输
量）逐步提高的是（　　）
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解析：　从函数图象上看，要求图象在 上越来越陡峭，在各选项
中，只有B选项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率（单位时间内
的运输量）逐步提高.
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5. 如图，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l过点（2，0），
且f'（1）＝－2，则f（1）＝（　　）
A. －1 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l过点（2，
0），且f'（1）＝－2，所以切线方程为y＝－2（x－2）.因为切点在曲线
上也在切线上，所以f（1）＝－2×（1－2）＝2.
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6. 〔多选〕曲线y＝ 在点P处的切线的倾斜角为 ，则点P的坐标可能
为（　　）
A. （3，3） B. （－3，－3）
C. （9，1） D. （1，9）
解析： 　由导数定义得y'＝ ＝ ［－ ］＝－
，设P（x0，y0），则由导数的几何意义可得－ ＝tan ＝－1，解得
x0＝±3，从而y0＝±3，即点P的坐标为（3，3）或（－3，－3）.
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7. 〔多选〕下列说法正确的是（　　）
A. 若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处也可能有
切线
B. 若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处有切线，则f'（x0）必存在
C. 若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜
率不存在
D. 若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线，则f'（x0）有可能
存在
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解析： 　k＝f'（x0），所以f'（x0）不存在只能说明曲线在该点处的切
线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是
x＝x0，A、C正确；当切线垂直于x轴时，f'（x0）不存在，B错误；当曲
线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线，f'（x0）一定不存在，D错
误，故选A、C.
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8. 过点P（－1，2）且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M（1，1）处的切线平
行的直线方程是 .
解析：由题意知，Δy＝3（1＋Δx）2－4（1＋Δx）＋2－3＋4－2＝3
（Δx）2＋2Δx.∴y'｜x＝1＝ ＝2，∴所求直线的斜率k＝2.故所求
直线方程为y－2＝2（x＋1），即2x－y＋4＝0.
2x－y＋4＝0
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9. 曲线y＝x＋ 上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围
是 .
解析：y＝x＋ 上任意一点P（x0，y0）处的切线斜率为k＝y' ＝

＝ （1－ ）＝1－ ＜1，即k＜1.
（－∞，1）
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10. 已知曲线C：y＝x3.
（1）求曲线在点（3，27）处的切线l的方程；
解：∵y'｜x＝3＝ ＝27，
∴曲线C在点（3，27）处的切线方程为y－27＝27（x－3），即y＝27x
－54.
（2）求切线l与两坐标轴所围成的三角形的面积.
解：∵切线l：y＝27x－54与x，y轴分别相交于点（2，0），（0，－54），∴所求三角形的面积为S＝ ×2×54＝54.
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11. 若P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为
（　　）
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解析：　由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物
线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f
（x）＝x2，由导数的几何意义知y'＝f'（x）＝ ＝
2x＝1，解得x＝ ，所以P ，故点P到直线y＝x－2的最小距离d
＝ ＝ .
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12. 〔多选〕（2025·厦门月考）已知函数f（x）＝x＋ ，若曲线y＝f
（x）存在两条过点（1，0）的切线，则a的值可以是（　　）
A. －4 B. －2
C. 0 D. 2
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解析：由题得f'（x）＝ ＝ ＝1－ ，设切点坐标为（x0，x0
＋ ），则切线方程为y－x0－ ＝（1－ ）（x－x0）.又切线过点
（1，0），可得－x0－ ＝（1－ ）（1－x0），整理得2 ＋2ax0－a
＝0　（*）.因为曲线y＝f（x）存在两条过点（1，0）的切线，所以方
程（*）有两个不等实根，即满足Δ＝4a2－8（－a）＞0，解得a＞0或a＜
－2.故选A、D.
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13. 已知函数f（x）＝x3，过点P 作曲线f（x）的切线，则其切线
方程为 .
解析：设切点为Q（x0， ），得切线的斜率为k＝f'（x0）＝
＝3 ，切线方程为y－ ＝3 （x－x0），即y＝
3 x－2 .因为切线过点P ，所以2 －2 ＝0，解得x0＝0或x0
＝1，从而切线方程为y＝0或3x－y－2＝0.
y＝0或3x－y－2＝0
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14. 点P在曲线y＝f（x）＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝
－2x2－1相切，求点P的坐标.
解：设P（x0，y0），则y0＝ ＋1，
f'（x0）＝ ＝2x0，
所以过点P的切线方程为y－y0＝2x0（x－x0），即y＝2x0x＋1－ ，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
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所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，由
得2x2＋2x0x＋2－ ＝0，
则Δ＝4 －8（2－ ）＝0，
解得x0＝± ，则y0＝ ，
所以点P的坐标为 或 .
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15. 英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法
——牛顿迭代法，方法如下：如图，设r是f（x）＝0的根，选
取x0作为r的初始近似值，在点（x0，f（x0））处作曲线y＝
f（x）的切线l：y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0），则l与x轴
的交点的横坐标x1＝x0－ （f'（x0）≠0），称x1是r的
一次近似值；在点（x1，f（x1））处作曲线y＝f（x）的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中xn＋1＝xn－ （f'（xn）≠0），称xn＋1是r的n＋1次近似值.若使用该方法求方程x2＝2的近似解.
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（1）取初始近似值为2，求该方程解的二次近似值；
解： 令f（x）＝x2－2，
则f'（x）＝ ＝2x，
取初始近似值x0＝2，
则x1＝x0－ ＝2－ ＝ ，
x2＝x1－ ＝ － ＝ .
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（2）证明：x4＝x0－ － － － .
解：证明：根据题意，可知x1＝x0－ ，
x2＝x1－ ，x3＝x2－ ，
x4＝x3－ ，上述四式相加，
得x4＝x0－ － － － .
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THANKS
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