《创新课堂》5.1.2第一课时　导数的概念 课件 高中数学选修2同步讲练测

(共52张PPT)
第一课时　导数的概念
1.了解导数概念的实际背景 （数学抽象）.
2.理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与意义
（数学抽象）.
3.进一步体会极限思想（数学抽象）.
课标要求
　　在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的
瞬时变化率，例如：
（1）摩托车的运动方程为s＝8＋3t2，其中s表示位
移，t表示时间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可
以更好地指导运动员进行比赛；
（2）冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准；
（3）净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本.
上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学意义上，这些实际上是某个函数量的瞬时变化率，它在数学上称为什么？
情境导入
知识点一　函数的平均变化率
01
知识点二　导数的概念
02
知识点三　导数在实际问题中的意义
03
课时作业
04
目录
知识点一
函数的平均变化率
01
PART
问题1　对比上节课中平均速度的概念，一般情况下，函数y＝f（x）的
平均变化率如何理解？
提示：如图所示，函数f（x）在区间 上的平
均变化率，就是直线AB的斜率，其中A（x1，f
（x1）），B（x2，f（x2）），事实上kAB＝
＝ .另外，从图形上看，它代表割线AB的斜率.
【知识梳理】
　对于函数y＝f（x），设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值
y就从f（x0）变化到f（x0＋Δx）.这时，x的变化量为Δx，y的变化量为
Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）.我们把比值 ，即
＝ 叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率.
　　提醒：平均变化率 ＝ 的几何意义就是函数y＝f
（x）图象上的两点（x0，f（x0））与（x0＋Δx，f（x0＋Δx））所在直
线的斜率.
　
【例1】　已知函数y＝h（x）＝－4.9x2＋6.5x＋10.
（1）计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；
③0.1；④0.01；
解：∵Δy＝h（1＋Δx）－h（1）＝－4.9（Δx）2－3.3Δx，
∴ ＝－4.9Δx－3.3.
①当Δx＝2时， ＝－4.9Δx－3.3＝－13.1.
②当Δx＝1时， ＝－4.9Δx－3.3＝－8.2.
③当Δx＝0.1时， ＝－4.9Δx－3.3＝－3.79.
④当Δx＝0.01时， ＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
（2）根据（1）中的计算，当Δx越来越小时，函数h（x）在区间
上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解： 当Δx越来越小时，函数h（x）在区间 上的平均变
化率逐渐变大，并接近于－3.3.
【规律方法】
求函数平均变化率的三个步骤
（1）求自变量的变化量Δx＝x2－x1；
（2）求函数值的变化量Δy＝f（x2）－f（x1）；
（3）求平均变化率 ＝ .
训练1　〔多选〕已知函数f（x）的图象如图，则函数f（x）在区间
上的平均变化率的情况是（　　）
√
√
解析： 　函数f（x）在区间上的平均变化率为 ，由函数图象可
得，在区间 上， ＜0，即函数f（x）在区间 上的平均变
化率小于0，即选项D错误；在区间 ， ， 上时，
＞0且Δx相同，由图象可知函数在区间 上的 最大，故选项A错
误，B、C正确.
知识点二
导数的概念
02
PART
问题2　（1）平均速度和瞬时速度有什么关系？
提示：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值.
（2）类比平均速度与瞬时速度的关系，你认为瞬时变化率的定义是什
么？
提示：瞬时变化率为
＝ .
【知识梳理】
1. 定义：如果当Δx→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即
有 ，则称y＝f（x）在x＝x0处 ，并把这个确定的值叫
做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为瞬时变化率）.
2. 写法：记作f'（x0）或y' ，即f'（x0）＝ ＝
.
　　提醒：对导数概念的再理解：①函数应在x＝x0的附近有定义，否则
导数不存在；②导数是一个局部概念，它只与函数y＝f（x）在x＝x0及
其附近的函数值有关，与Δx无关；③导数的实质是一个极限值.
极限　
可导　
【例2】　（1）已知f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）＝k，则
＝ 　 　；
解析：
＝ ＝ f'（x0）＝ .
　
（2）求函数y＝x－ 在x＝1处的导数.
解：因为Δy＝（1＋Δx）－ －（1－ ）＝Δx＋ ，所以 ＝
＝1＋ ，
所以 ＝ （1＋ ）＝2，
所以y' ＝2，即函数y＝x－ 在x＝1处的导数为2.
变式　若本例（1）条件不变，则 ＝ .
解析：∵ ＝f'（x0）＝k，
∴
＝2 ＝2k.
2k　
【规律方法】
求函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的步骤
（1）求函数值的变化量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）；
（2）求平均变化率 ＝ ；
（3）取极限，得导数f'（x0）＝ .
训练2　（1）设f（x）是可导函数，且 ＝2，则f'
（x0）＝（　A　）
A. 2 B. －1
C. 1 D. －2
解析： f'（x0）＝
＝ ＝2.
A
（2）函数y＝ 在x＝1处的导数为 　 　.
解析：∵Δy＝ －1， ＝ ＝ ， ＝
，∴y' ＝ .
　
知识点三
导数在实际问题中的意义
03
PART
【例3】　（链接教材P65例2、P66例3）某机械厂生产一种木材旋切机，
已知总利润c（单位：万元）与产量x（单位：千台）之间的关系式为c
（x）＝－2x2＋7x＋6.求c'（1）与c'（2），并说明它们的实际意义.
解：根据导数的定义， ＝ ＝ ＝－2Δx
＋3，
所以c'（1）＝ ＝ （－2Δx＋3）＝3，
同理可得c'（2）＝－1.
c'（1）的实际意义：当产量在1千台附近时，多生产1千台旋切机可多获利
3万元；
c'（2）的实际意义：当产量在2千台附近时，多生产1千台旋切机少获利1
万元.
【规律方法】
认识瞬时变化率的关键点
（1）极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限；
（2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）反映了函数在x＝x0处的瞬
时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况.
训练3　一只昆虫爬行的位移s（单位：米）关于时间t（单位：分）的关
系为s（t）＝ 求s'（1）与s'（4），并解释它
们的实际意义.
解：当0≤t＜3时，s（t）＝3t2， ＝ ＝ ＝6
＋3Δt，
∴s'（1）＝ ＝ （6＋3Δt）＝6.
当t≥3时，s（t）＝15＋3（t－1）2，
＝
＝
＝18＋3Δt，
∴s'（4）＝ ＝ （18＋3Δt）＝18.
s'（1）＝6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分，
s'（4）＝18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分.
1. 如图，函数y＝f（x）在 上的平均变化率为（　　）
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
解析：　 ＝ ＝ ＝－1.
√
2. 已知函数f（x）可导，且满足 ＝2，则函数y＝f
（x）在x＝3处的导数为（　　）
A. －1 B. －2
C. 1 D. 2
解析：　由题意，知f'（3）＝ ＝－2，故选B.
√
3. （2025·三明月考）设函数f（x）＝ax＋3，若f'（1）＝3，则a＝
（　　）
A. 3 B. －3
C. 2 D. －2
解析：　∵f'（1）＝
＝ ＝a，又f'（1）＝3，∴a＝3.
√
4. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时
爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关
系式为h（t）＝－4.9t2＋14.7t，则烟花在t＝1 s时的瞬时速度
为 m/s.
解析：烟花在t＝1 s时的瞬时速度就是h'（1）的值.
因为 ＝ ＝4.9－4.9Δt，所以h'（1）＝ ＝
（4.9－4.9Δt）＝4.9.
4.9　
课堂小结
1. 理清单
（1）函数的平均变化率；
（2）导数的概念；
（3）导数在实际问题中的意义.
2. 应体会
利用导数的概念求导数值时，利用了极限思想.
3. 避易错
用定义求导时，对Δy与Δx的对应关系理解不到位.
课时作业
04
PART
1. 函数f（x）＝x2－1在区间 （m＞1）上的平均变化率为3，则实
数m＝（　　）
A. 3 B. 2
C. 1 D. 4
解析：　由已知得 ＝3，所以m＋1＝3，所以m＝2.
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2. 设f（x）＝2x＋1，则f'（1）＝（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　f'（1）＝ ＝
＝2.
√
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3. 若一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是（　　）
A. 圆 B. 抛物线
C. 椭圆 D. 直线
解析：　因为这个函数的瞬时变化率处处为0，所以当这个函数的自变量
x变化时，函数值y没有变化，即这个函数为常函数，所以这个函数的图象
是x轴或平行于x轴的一条直线.
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4. 若函数y＝f（x）在x＝x0处的导数为f'（x0），则
＝（　　）
A. －f'（x0） B. 3f'（x0）
C. －3f'（x0） D. －4f'（x0）
解析：　
＝－4 ＝－4f'（x0）.
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5. 若可导函数f（x）的图象过原点，且满足 ＝－1，则f'
（0）＝（　　）
A. －2 B. 2
C. －1 D. 1
解析：　∵f（x）的图象过原点，∴f（0）＝0，∴f'（0）＝
＝ ＝－1，故选C.
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6. 〔多选〕已知函数y＝f（x），下列说法正确的是（　　）
A. Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）叫做函数值的变化量
C. y＝f（x）在x＝x0处的导数记为y'
D. y＝f（x）在x＝x0处的导数记为f'（x0）
√
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解析： 　A中，Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）叫做函数值的变化量，A
正确；B中， ＝ 叫做函数f（x）从x0到x0＋Δx的平
均变化率，B正确；由导数的定义知函数y＝f（x）在x＝x0处的导数记为
f'（x0）或y' ，故C错误，D正确.故选A、B、D.
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7. 〔多选〕已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，
那么下列说法正确的是（　　）
A. f（x）在[a，b]上的平均变化率等于g（x）在[a，b]上的平均变化率
B. f（x）在[a，b]上的平均变化率小于g（x）在[a，b]上的平均变化率
C. 对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬
时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
D. 存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬
时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
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解析： 对于A、B，∵f（x）在[a，b]上的平均变化率是 ，g（x）在[a，b]上的平均变化率是 ，由题图可知，f（b）＝g（b），f（a）＝g（a），∴ ＝ ，∴选项A正确，B错误；对于C、D，函数f（x）（g（x））在x＝x0处的瞬时变化率即为函数f（x）（g（x））在x＝x0处的导数，即函数f（x）（g（x））在该点处的切线的斜率，由题图知，选项C错误，D正确.故选A、D.
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8. 已知y＝f（x）＝ ，且f'（m）＝－ ，则m＝ .
解析：因为 ＝ ＝ ＝ ，所以f'
（m）＝ ＝－ ，所以－ ＝－ ，m2＝4，解得m＝
±2.
±2　
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9. 已知函数y＝f（x）＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f
（x0）＝ .
解析：由题知－8＝ ＝ ＝4x0，得x0
＝－2，所以f（x0）＝2×（－2）2＋1＝9.
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10. （1）求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数；
解： Δy＝2（3＋Δx）2＋4（3＋Δx）－（2×32＋4×3）＝12Δx＋2
（Δx）2＋4Δx＝2（Δx）2＋16Δx，∴ ＝ ＝2Δx＋16.
∴y'｜x＝3＝ ＝ （2Δx＋16）＝16.
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（2）求函数f（x）＝ 在x＝x0（x0＞－1）处的导数.
解： f（x）＝ ，则f'（x0）＝
＝ ＝
＝ ＝ .
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11. 〔多选〕对于函数f（x），若f'（x0）＝2，则当h无限趋近于0时，在
下列式子中无限趋近于2的式子有（　　）
√
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解析： 　因为 ＝f'（x0）＝2，故A正确；因为
＝f'（x0）＝2，故B正确；因为
＝2f'（x0）＝4，故C错误；因为
＝f'（x0）＝2，故D正确.故选A、B、D.
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12. 如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别
为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））＝ ；
＝ .（用数字作答）
2
－2　
解析：由于f（0）＝4，f（4）＝2，所以f（f（0））＝2.易求得直线AB的方程为y＝－2x＋4，所以 ＝ ＝－2.
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13. 已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导数为f'（x），f'（0）＞0，且
对于任意实数x，有f（x）≥0，则 的最小值为 .
解析：由导数的定义，得f'（0）＝ ＝
＝ [a·（Δx）＋b]＝b＞0.又
∴ac≥ ，∴c＞0.∴ ＝ ≥
≥ ＝2，当且仅当a＝c＝ 时等号成立.
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14. 柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的.铺路工人需要对沥青
加热使其由固体变成粘稠液体，如果开始加热后第x h的沥青温度（单位：
℃）为y＝f（x）＝80x2＋20，0≤x≤1，求f'（0.25），并说明它的实际
意义.
解：因为y＝f（x）＝80x2＋20，0≤x≤1，
所以 ＝ ＝
＝ ＝40＋80Δx.所以f'（0.25）＝ （40＋80Δx）＝40.
它表示在第0.25 h附近，沥青的温度大约以40 ℃/h的速率上升.
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15. 设f（x）在R上可导，求f（－x）在x＝a处的导数与f（x）在x＝
－a处的导数之间的关系.
解：设f（－x）＝g（x），则f（－x）在x＝a处的导数为g'（a），于
是g'（a）＝ ＝ .
而f'（－a）＝ ，令x＝－t，则当x→－a时，t→a，
所以f'（－a）＝ ＝－ ＝－g'（a）.
这说明f（－x）在x＝a处的导数与f（x）在x＝－a处的导数互为相反数.
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