【单元提升培优】第3单元 圆柱与圆锥 考点09 圆柱与圆锥的体积关系-2025-2026学年六年级数学下册单元提升培优精练人教版（含答案解析）
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| 名称 | 【单元提升培优】第3单元 圆柱与圆锥 考点09 圆柱与圆锥的体积关系-2025-2026学年六年级数学下册单元提升培优精练人教版（含答案解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 794.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-06 00:00:00 | ||
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文档简介
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2025-2026学年六年级数学下册单元提升培优精练人教版
第3单元 圆柱与圆锥 考点09 圆柱与圆锥的体积关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．把一段圆柱形钢材削成一个最大的圆锥，削去部分的质量是4kg，则这段圆柱形钢材的质量是（ ）kg。
A．24 B．6 C．12 D．8
2．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是削去部分体积的（ ）。
A． B． C． D．
3．24个相同的铁圆锥，可以熔铸成（ ）个与它等底等高的铁圆柱。（不考虑损耗）
A．12 B．8 C．72
4．一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积一共是36立方厘米，这个圆柱的体积是（ ）立方厘米。
A．12 B．18 C．24 D．27
5．一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，且体积比是1∶6，已知圆柱的高是4.2厘米，则圆锥的高是（ ）厘米。
A．2.1 B．1.4 C．8.4 D．0.7
6．如图，下面关于四个图形的体积说法错误的是（ ）。
A．①和④的体积相等 B．②的体积是①的3倍
C．②的体积是④的3倍 D．①和③的体积相等
7．一个圆柱和圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥的高的2倍，则圆锥的体积是圆柱体积的（ ）。
A． B． C． D．2倍
8．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，圆锥的高是9cm，圆柱的高是（ ）cm。
A．3 B．9 C．18 D．27
9．如图，圆锥形杯子与圆柱形容器的底面积相等。将圆柱形容器里装满的果汁全部倒入圆锥形杯子中，可以倒满（ ）杯。
A．3 B．6 C．9 D．12
10．如下图，要把下面三堆圆锥形沙子分别装在圆柱形的铁桶中（铁桶厚度忽略不计），下面是三名同学经过测量后得到的结论。
晶晶说：“第一堆和铁桶等底等高，能装下。”
明明说：“第二堆和铁桶等底，高是铁桶的2倍，能装下。”
康康说：“第三堆和铁桶等高，底面半径是铁桶的2倍，能装下。”
你认为（ ）的说法是正确的。
A．三人 B．晶晶和明明 C．明明和康康 D．晶晶和康康
二、填空题
11．把一个圆柱形钢坯削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是。原圆柱形钢坯的体积是( )。
12．把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是，则这个圆锥的体积是( )。
13．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是。圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。
14．一个圆柱，沿底面的一条直径垂直向下切开，截面是一个边长为6cm的正方形。这个圆柱的体积是( )，与它等底等高的圆锥的体积是( )。
15．一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥体积的( )倍，圆锥的体积是圆柱体积的( )。圆锥体积的计算公式是( )。
16．一个圆柱的底面直径是4分米，高5分米，它的体积是( )立方分米，与它等底等高圆锥的体积是( )立方分米。
17．把一个圆柱削成最大的圆锥后，圆锥体积比圆柱体积少24π立方分米。如果圆锥的底面半径是3分米，圆柱的高是( )分米。
18．一个圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多，圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。
19．图中，h1＝h2，d1＝d2，把下面左边瓶里的饮料倒入圆锥形的杯子里，最多能倒满( )杯。
20．如果把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥后，圆锥的体积是30cm3，那么这个圆柱形木块的体积是( )cm3；如果把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥后，削去的体积是30 cm3，那么这个圆锥的体积是( )cm3。
21．小悦同学用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积比圆锥的体积大 立方厘米。
22．一个正方体木块的棱长是6cm，把它削成一个最大的圆柱。圆柱的体积是( )cm3，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )cm3。
23．如图，有一个下面是圆锥上面是圆柱的容器，当把这个容器倒过来放平时，容器里的液面高是( )厘米。
24．如下图，三个量杯从里面量，高度都是9厘米。小冬先把圆锥形量杯盛满水，再把这杯水全部倒进圆柱形量杯中，圆柱形量杯的水面高度是( )厘米，接着他又把这些水全部倒进长方体量杯中，长方体量杯的水面高度应为( )厘米。（得数保留一位小数）
25．如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长厘米，宽厘米。现把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，圆锥的体积是( )立方厘米。若圆锥的底面积是60平方厘米，则圆锥的高为( )厘米。
三、判断题
26．把一个圆柱体削成一个圆锥体，削去部分的体积是圆柱的。( )
27．圆锥体积是圆柱体积的。( )
28．一个圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积比圆锥多18立方厘米，圆锥的体积是9立方厘米。( )
29．一个圆柱和圆锥的体积和底面积都相等，圆柱的高为4厘米，则圆锥的高为12厘米。( )
30．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是48dm3，那么这个圆柱的体积是12dm3。( )
31．展厅内有一个圆柱和一个圆锥等底等高，那么这个圆柱体积比圆锥多2倍。( )
32．把一段圆柱钢块削成一个最大圆锥体，削去部分重8kg，这段圆柱钢重12kg。( )
33．圆柱形状的水桶体积一定是圆锥形状水桶体积的3倍。( )
34．圆柱的体积比圆锥的体积多2倍。( )
35．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥体积是圆柱体积的。( )
四、计算题
36．求体积。
37．下图中圆柱的底面周长是6.28厘米，高是3厘米，求阴影部分的体积。
五、解答题
38．在一个高是3dm，底面半径是2dm的圆锥形容器里装满水，再将这些水全部倒入一个圆柱形容器中，刚好装了圆柱形容器的。这个圆柱形容器的容积是多少立方分米？
39．小刚在手工课上拿到一根高30厘米的圆柱形木棒，如图所示，将它截成相同的两段后，表面积比原来增加了50.24平方厘米。小刚想把其中一段木棒削成一个最大的圆锥体摆件，削去的体积是多少立方厘米？
40．某甜品店准备推出一款新口味的冰沙，店家设计了两种不同的包装（销售时要刚好盛满），两种包装的冰沙及其定价如下图所示。这样定价合理吗？请用数据说明理由。（注：忽略商场搞促销的策略）
41．下面是三个图形的旋转。
（1）图②中长方形绕一条边旋转一周，得到图形的体积，是图①中直角三角形绕直角边旋转一周，得到图形体积的多少倍？并请说明理由。
（2）图③中平行四边形绕AB边旋转一周，得到图形的体积是多少？
42．如图，一个圆柱形木材被截去5厘米后，表面积比原来减少了62.8平方厘米，若将与原来完全一样的圆柱形木材削成一个最大的圆锥，则这个圆锥的体积是多少立方厘米？
43．爸爸用一段圆木，给明明做了一个最大的陀螺（如图），削去部分的体积约是18立方厘米，那么，陀螺的体积约是多少立方厘米？
44．一个底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装有水。将等底等高的一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到7厘米（如图）。这个圆锥形铁块的体积是多少？
45．借助豆包、DeepSeek等Ai工具探究圆柱、圆锥体积公式及相互关系，想一想：怎样和Ai对话，给出哪些提示词，能得到你想要的结果？比如圆柱体积公式是如何推导出来的？等底等高的圆锥和圆柱体积为什么是1∶3的关系？在下面简要记录你和Ai的对话及他给出的答案，并思考怎样和Ai对话更有效？
46．小小积木，大大世界。一块正方体积木，它的棱长是6厘米。把它加工成一个体积最大的圆柱形积木之后，再将这个圆柱加工制作成一个与之等底等高的圆锥形积木。在整个加工制作的过程中，削去木料的体积是多少？
47．小思和小维做实验，他们分别用等底等高的一个圆柱和圆锥容器组合成滴漏计时器工具，圆锥内灌满了有颜色的水（如图1）。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。
（1）如果水的流速是每分钟1.57立方厘米，圆锥内漏完水大约需要多少时间？
（2）在图2中用阴影画出表示圆锥内的水漏完后，水在圆柱容器内的高度。
48．如图，长方体玻璃容器内装有水，容器的内壁底面是一个长方形，长为20厘米，宽为14厘米。现在把等底等高的一个圆柱和一个圆锥放入容器内，水面升高2厘米，又知放入容器后圆锥全部浸入水中，而圆柱有露出水面。那么圆柱的体积是多少？
49．如图，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色的水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分。圆锥内的水漏完需要多长时间？此时圆柱里水的高度是多少？
50．将一个高12厘米的圆柱形木块平均切成两块（图1），表面积增加平方厘米。这个圆柱的底面半径是多少厘米？如果在该圆柱内削出一个最大的圆锥（图2），这个圆锥的体积是多少立方厘米？
51．在学习了圆柱和圆锥的体积之后，琪琪用圆柱体容器和圆锥体容器进行了下面两个实验：
（1）实验一：琪琪在圆柱体容器里面装了一些水（如图），水深6厘米，再将这些水倒入一个圆锥体容器中。如果倒入等底的圆锥体容器中恰好倒满，则琪琪应该选择高是多少厘米的圆锥体容器？
（2）实验二：琪琪按下面的步骤测量了一块不规则石头的体积。根据测量过程，你能求出石头的体积吗？
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参考答案与试题解析
1．B
【分析】圆柱形钢材削成一个最大的圆锥，说明圆柱与圆锥等底等高，此时圆柱体积是圆锥体积3倍，设圆锥体积1份，则圆柱体积3份，圆柱削成最大圆锥，削去2份，对应质量是4千克，据此算出1份质量，再算出圆柱3份的质量。
【解析】（千克）
故答案为：B
2．A
【分析】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，则圆柱和圆锥等底等高，圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的，可以把圆柱的体积看成3份，圆锥的体积看成1份，则圆柱的体积比圆锥多2份，所以圆锥的体积是削去部分体积的。
【解析】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是削去部分体积的。
故答案为：A
3．B
【分析】圆柱的体积是等底等高圆锥的体积的3倍，即3个铁圆锥才能熔铸成1个铁圆柱，个，所以24个相同的铁圆锥，可以熔铸成8个铁圆柱。
【解析】24个相同的铁圆锥，可以熔铸成8个与它等底等高的铁圆柱。
故答案为：B
4．D
【分析】根据圆柱的体积＝，圆锥的体积＝，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，用总体积36立方厘米除以（1＋3）即可求出这个圆锥的体积，再乘3即可求出这个圆柱的体积。
【解析】36÷（1＋3）×3
＝36÷4×3
＝27（立方厘米）
即这个圆柱的体积是27立方厘米。
故答案为：D
5．A
【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，可推出高＝圆柱的体积÷底面积；根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，可推出高＝圆锥的体积×3÷底面积；把底面积看成S，把圆锥的体积看作1，则圆柱的体积为6，那么圆柱的高为6÷S＝，圆锥的高为1×3÷S＝3÷S＝，圆柱与圆锥高的比为：∶＝2∶1，即圆柱的高是圆锥的2倍，已知圆柱的高是4.2厘米，则圆锥的高为4.2÷2，据此解答。
【解析】由分析可知：把底面积看成S，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积为6份。
圆柱的高为：6÷S＝
圆锥的高为：1×3÷S
＝3÷S
＝
圆柱与圆锥高的比为：∶
＝（×S）∶（×S）
＝6∶3
＝（6÷3）∶（3÷3）
＝2∶1
4.2÷2＝2.1（厘米）
所以圆锥的高是2.1厘米。
故答案为：A
6．D
【分析】圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，据此求出4个图形的体积，并逐项分析即可。
【解析】图①：π×（4÷2）2×9
＝π×22×9
＝π×4×9
＝12π
图②：π×（4÷2）2×9
＝π×22×9
＝π×4×9
＝36π
图③：π×（2÷2）2×9
＝π×12×9
＝π×1×9
＝9π
图④：π×（4÷2）2×3
＝π×22×3
＝π×4×3
＝12π
A．①和④的体积均为12π，则①和④的体积相等，正确；
B．②的体积为36π，①的体积为12π，36π÷12π＝3，则②的体积是①的3倍，正确；
C．36π÷12π＝3，则②的体积是④的3倍，正确；
D．③的体积为9π，①的体积为12π，则①和③的体积不相等，错误；
故答案为：D
7．C
【分析】根据题意，可设圆柱、圆锥的底面积都为s，圆锥的高为1，则圆柱的高为2，根据圆柱的体积公式V＝sh和圆锥的体积公式V＝sh求出各自的体积，然后再用圆锥的体积除以圆柱的体积即可。
【解析】设圆柱、圆锥的底面积都为s，圆锥的高为1，则圆柱的高为2。
（s×1）÷（2s）
＝s÷2s
＝÷2
＝×
＝
所以圆锥的体积是圆柱体积的。
故答案为：C
8．A
【分析】，。那么如果圆柱和圆锥底面积和体积都相等，那么圆锥的高是圆柱高的3倍。所以用圆锥的高除以3，即可求出圆柱的高；据此解答。
【解析】（cm）
一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，圆锥的高是9cm，圆柱的高是3cm。
故答案为：A
9．C
【分析】一个等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，由题意可知，圆柱和圆锥的底面积相等，但圆柱的高是圆锥的3倍，相当于求3个等底等高的圆柱的体积是一个等底等高圆锥的几倍。
【解析】3×3＝9（杯）
因此将圆柱形容器里装满的果汁全部倒入圆锥形杯子中，可以倒满9杯。
故答案为：C
10．B
【分析】判断三堆圆锥形沙子能否装进圆柱形铁桶中，由三名同学提供的圆锥形沙子的底面积、高与圆柱形铁桶底面积、高之间的关系，根据圆柱的体积（容积）公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh，分别求出圆柱形铁桶的容积和三堆圆锥形沙子的体积，如果沙子的体积小于或等于铁桶的容积，就能装下；反之，就不能装下。
【解析】设圆柱形铁桶的底面积是S，高是h，则铁桶的容积是V＝Sh。
第一堆和铁桶等底等高，则沙子的体积是V＝Sh；Sh＜Sh，能装下；
第二堆和铁桶等底，高是铁桶的2倍，则沙子的体积是V＝×S×2h＝Sh；Sh＜Sh，能装下；
第三堆和铁桶等高，底面半径是铁桶的2倍，则沙子的底面积是铁桶底面积的4倍，那么沙子的体积是V＝×4S×h＝Sh；Sh＞Sh，不能装下；
综上所述，晶晶和明明的说法是正确的。
故答案为：B
11．2.7
【分析】根据题意，把一个圆柱形钢坯削成一个最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，削去部分的体积是圆柱体积的，单位“1”未知，用削去部分的体积除以，即可求出圆柱的体积，据此解答。
【解析】由分析可得：
（cm3）
因此，把一个圆柱形钢坯削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是1.8cm3。原圆柱形钢坯的体积是2.7cm3。
12．18
【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，进行分析。
【解析】（m）
把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是36m，则这个圆锥的体积是18m。
13．60 20
【分析】已知圆柱和圆锥等底等高，即圆柱体积是圆锥体积的3倍，它们的体积之和是80dm ，那么把圆锥体积看作1份，圆柱体积看作3份，圆柱和圆锥体积的总份数为份，用圆柱和圆锥的体积之和除以它们的总份数，求出1份的体积，即是圆锥的体积；再用圆锥体积乘3，可得到圆柱的体积，据此解答。
【解析】圆锥体积：（立方分米）
圆柱体积：（立方分米）
因此，等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是80dm 。圆柱的体积是60dm ，圆锥的体积是20dm
14．169.56 56.52
【分析】一个圆柱，沿底面的一条直径垂直向下切开，截面是一个边长为6cm的正方形，说明圆柱的底面直径和高相等，都是6厘米，圆柱的体积（π取3.14，d表示直径，h表示高），先据此求出圆柱的体积，再除以3，即可求出等底等高的圆锥的体积。
【解析】
（立方厘米）
（立方厘米）
所以这个圆柱的体积是169.56，与它等底等高的圆锥的体积是56.52。
15．3
【分析】根据圆柱的体积公式（是底面圆的面积，是圆柱的高），圆锥的体积公式（是底面圆的面积，是圆锥的高），等底等高的情况下圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积等于圆柱体积的，由此解答。
【解析】根据分析得：
一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的。圆锥体积的计算公式是。
16．62.8 /
【分析】用圆柱的底面直径除以2求出圆柱的底面半径，根据圆柱的体积＝，代入数据求出圆柱的体积，与它等底等高圆锥的体积是圆柱的体积的，根据求一个数的几分之几是多少，用圆柱的体积乘解答。
【解析】4÷2＝2（分米）
3.14××5
＝3.14×4×5
＝12.56×5
＝62.8（立方分米）
62.8×＝（立方分米）
所以一个圆柱的底面直径是4分米，高5分米，它的体积是62.8立方分米，与它等底等高圆锥的体积是立方分米。
17．4
【分析】把一个圆柱削成最大的圆锥，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。24π立方分米相当于圆锥体积的2倍，算出圆锥的体积。根据圆锥的体积V＝，用圆锥的体积乘3除以π除以半径的平方即可算出圆锥的高，也是圆柱的高。
【解析】24π÷2＝12π（立方分米）
12π×3÷π÷32
＝12π×3÷π÷9
＝36π÷π÷9
＝4（分米）
所以，圆柱的高是4分米。
18．11.7 3.9
【分析】圆柱的体积等于与它等底等高的圆锥的3倍，则圆柱的体积比与它等底等高的圆锥多2倍，即多7.8立方米，则圆锥的体积是立方米，圆柱的体积是立方米。
【解析】由分析可得：
一个圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多，圆柱的体积是11.7，圆锥的体积是3.9。
19．6
【分析】从图中可知，左边瓶中的饮料是圆柱形，杯子是圆锥形，由d1＝d2可知，它们的底面半径相等，根据底面积公式S＝πr2，可知圆柱形饮料与圆锥形杯子的底面积相等，设它们的底面积是S，高度h1＝h2＝h。
根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积（容积）公式V＝Sh，分别求出饮料的体积和杯子的容积，再用饮料的体积除以杯子的容积，即可求出最多能倒满的杯数。
【解析】设h1＝h2＝h，圆柱形饮料与圆锥形杯子的底面积都是S。
饮料的体积：S×（h1＋h2）＝ S×2h＝2Sh
杯子的容积：×S×h1＝Sh
2Sh÷Sh
＝2÷
＝2×3
＝6（杯）
最多能倒满6杯。
20．90 15
【分析】先明确等底等高的圆柱与圆锥体积关系，用设份数法，根据题目给到的信息，求出一份的体积再求对应的圆柱或圆锥的体积；
把等底等高的圆柱和圆锥中的圆柱体积看成是3份，圆锥是1份，圆锥的体积是30cm ，那么圆柱就是等底等高圆锥体积的3倍；
把等底等高的圆柱和圆锥中的圆柱体积看成是3份，圆锥是1份，削去的体积就应该为（份），求出对应一份的体积即可得到圆锥体积。
【解析】（立方厘米）
（份）
（立方厘米）
所以，如果把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥后，圆锥的体积是30立方厘米，那么这个圆柱形木块的体积是90立方厘米；如果把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥后，削去的体积是30立方厘米，那么这个圆锥的体积是15立方厘米。
21．108
【分析】由于圆柱和圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。整个橡皮泥的体积为216立方厘米，是圆柱和圆锥的总体积。设圆锥体积为V，则圆柱体积为3V，总体积为4V，可求出V，再计算圆柱体积与圆锥体积的差。
【解析】设圆锥的体积为V立方厘米，则圆柱的体积为3V立方厘米。
根据题意，圆柱和圆锥的总体积为216立方厘米，
因此：
V＋3V＝216
4V＝216
V＝216÷4
V＝54
圆锥的体积为54立方厘米，圆柱的体积为3×54＝162立方厘米。
圆柱的体积比圆锥的体积大：162-54＝108立方厘米。
答：圆柱的体积比圆锥的体积大108立方厘米。
22．169.56 56.52
【分析】由题意知，削成的最大圆柱体的底面直径是6cm，高也是6cm，可利用圆柱的体积公式V＝Sh求得圆柱的体积；把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，则圆锥体与圆柱体是等底等高的，所以求圆锥的体积可直接用圆柱的体积乘。
【解析】圆柱底面半径：6÷2＝3（cm）
圆柱体积：
3.14×32
＝3.14×9×6
＝169.56（cm3）
圆锥体积：169.56×＝56.52（cm3）
所以，圆柱的体积是169.56cm3，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是56.52cm3。
23．7
【分析】由图可知，圆锥和圆柱的底面积相等，圆柱部分的液面高度是11－6＝5厘米，求出圆锥部分的液体倒在圆柱里面的液面高度，液体的体积不变，由“”可知“”，由“”可知“”，，由此可知，当圆柱和圆锥的体积和底面积分别相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，则圆锥部分的液体倒在圆柱里面的液面高度是6÷3＝2厘米，最后加上圆柱部分的液面高度，据此解答。
【解析】6÷3＋（11－6）
＝6÷3＋5
＝2＋5
＝7（厘米）
所以，容器里的液面高是7厘米。
24．3 2.4
【分析】由图可知，圆锥和圆柱的底面直径都是4厘米，则它们的底面半径相等，，那么圆锥和圆柱的底面积相等，把圆锥形量杯里面的水倒入圆柱形量杯中水的体积不变，由“”可知“”，由“”可知“”，，由此可知，当圆柱和圆锥的体积和底面积分别相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，即圆锥形量杯的高度是圆柱形量杯水面高度的3倍；先根据“”求出圆柱形量杯中水的体积，长方体量杯的水面高度＝水的体积÷长方体量杯的底面积，据此解答。
【解析】当圆柱和圆锥的体积和底面积分别相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍。
9÷3＝3（厘米）
3.14×（4÷2）2×3÷（4×4）
＝3.14×22×3÷16
＝3.14×4×3÷16
＝12.56×3÷16
＝37.68÷16
≈2.4（厘米）
所以，圆柱形量杯的水面高度是3厘米，长方体量杯的水面高度应为2.4厘米。
25．300 15
【分析】把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了厘米，则上升的水的体积等于圆柱与圆锥的体积和，又知圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，则圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，它们的体积和是份，根据，代入数据求出上升的水的体积，再除以，得到每份的体积，即圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式的逆运算，代入数据计算即可。
【解析】
（立方厘米）
（立方厘米）
（厘米）
如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长厘米，宽厘米。现把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，圆锥的体积是300立方厘米。若圆锥的底面积是60平方厘米，则圆锥的高为15厘米。
26．×
【分析】题干未明确圆柱和圆锥是否等底等高。根据圆柱和圆锥的体积关系，只有当它们等底等高时，圆锥的体积才是圆柱体积的，削去部分的体积才是圆柱体积的。若不等底等高，削去部分的体积可能不等于。因此，该说法不一定成立。
【解析】根据分析：
把一个圆柱体削成一个圆锥体，削去部分的体积不一定是圆柱的。原说法错误。
故答案为：×
27．×
【分析】圆锥的体积公式为，圆柱的体积公式为。只有当圆锥与圆柱底面积相等、高相等或底面积×高相等时，圆锥体积才是圆柱体积的。题干未说明两者是否满足等底等高，因此结论不一定成立。
【解析】当圆锥的底面积为3，高为1时，圆锥的体积＝＝1。当圆柱的底面积为1，高为1时，圆柱的体积＝1×1＝1。此时圆锥的体积＝圆柱的体积。当圆锥与圆柱底面积相等、高相等或底面积×高相等时，圆锥体积是圆柱体积的。原说法错误。
故答案为：×
28．√
【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式，当它们等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。体积差为圆柱体积减去圆锥体积，即3倍圆锥体积减去1倍圆锥体积，等于2倍圆锥体积。已知体积差为18立方厘米，可求出圆锥体积。
【解析】设圆锥的体积为V，则圆柱的体积为3V。
3V－V＝2V
2V＝18
18÷2＝9（立方厘米）
因此，圆锥的体积是9立方厘米，原说法正确。
故答案为：√
29．√
【分析】圆柱的体积计算公式为：；圆锥的体积计算公式为： 。本题中圆柱和圆锥的体积相等，底面积也相等，需要利用这两个公式，通过假设底面积为具体数值，计算圆锥的高，判断题干是否正确。
【解析】假设它们的底面积都是1平方厘米。
圆柱体积： ＝1×4＝4（立方厘米）
圆锥体积： ，即4＝
（厘米）
因此，题干说法正确。
故答案为：√
30．×
【分析】根据等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，圆柱体积是圆锥的3倍。将体积之和看作（3＋1）份，求出每份对应的体积，再计算圆柱的体积即可判断。
【解析】48÷（3＋1）
＝48÷4
＝12（dm ）
12×3＝36（dm ）
题目中圆柱体积写为12dm ，与计算结果不符，
故答案为：×
31．√
【分析】根据圆柱和圆锥的体积关系，等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍。即圆柱的体积有3份，圆锥的体积有1份，用圆柱比圆锥多出来的份数除以圆锥的份数，判断是否符合题目中“圆柱体积比圆锥多2倍”这一关系。
【解析】等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍
展厅内有一个圆柱和一个圆锥等底等高，那么这个圆柱体积比圆锥多2倍。原题说法正确。
故答案为：√
32．√
【分析】根据圆柱与圆锥体积的关系，在圆柱中削成一个圆锥，最大圆锥的体积是圆柱的，削去部分的体积是圆柱的。由于重量与体积成正比，削去部分重8kg对应圆柱总重量的，据此可得出答案。
【解析】将圆柱削成最大圆锥时，圆锥体积是圆柱的，削去部分体积为圆柱的。削去部分重量为8kg，对应圆柱总重量的，列式计算：（kg）。
则圆柱钢重12kg，题干说法正确。
故答案为：√
33．×
【分析】圆柱的体积公式为底面积×高，圆锥的体积公式为底面积×高×。只有当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱体积才是圆锥的3倍。
【解析】根据体积公式，圆柱体积为，圆锥体积为。若两者底面积和高相等，则圆柱体积是圆锥的3倍。但题目中未限定圆柱与圆锥的底面积和高相等，因此无法确定体积关系。例如：若圆柱底面积为2dm2、高3dm，体积为6dm3；圆锥底面积为6 dm2、高3dm，体积为 dm3，此时两者体积相等。故原题说法错误。
故答案为：×
34．×
【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，由此可知，等底等高的圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，不等底等高的圆柱的体积不一定是圆锥体积的3倍，据此解答。
【解析】根据分析可知，等底等高的圆柱的体积比圆锥的体积多2倍。
原题干说法错误。
故答案为：×
35．√
【分析】根据圆柱和圆锥的体积关系，当圆锥与圆柱等底等高时，圆锥体积是圆柱体积的。题目中“最大的圆锥”意味着圆锥与圆柱等底等高，因此体积关系成立。
【解析】将一个圆柱削成最大的圆锥时，圆锥必须与原圆柱等底等高。此时，圆锥体积为圆柱体积的，因此题目中的说法正确。
故答案为：√
36．25.12dm3
【分析】观察图形可知，该图形是由圆柱和圆锥组成，且等底等高。在等底等高的圆柱和圆锥中，圆锥体积是圆柱体积的。圆柱的底面半径为1dm，高为6dm，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入计算即可得出圆柱的体积，然后把圆柱体积乘得出圆锥体积，最后把圆柱和圆锥体积相加即可得出组合图形的体积。
【解析】3.14×12×6
＝3.14×1×6
＝18.84（dm3）
18.84×＝6.28（dm3）
18.84＋6.28＝25.12（dm3）
该图形的体积是25.12dm3。
37．6.28立方厘米
【分析】等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，据此可知截去的阴影部分的体积为圆柱体积的1－，据此解答即可。
【解析】3.14×（6.28÷3.14÷2）2×3×（1－）
＝3.14×3×
＝6.28（立方厘米）
38．78.5立方分米
【分析】先根据圆锥体积＝底面积×高×，求出水的体积，再除以其占圆柱形容器容积的比例，得到圆柱形容器的容积，据此解答。
【解析】圆锥体积：
（立方分米）
（立方分米）
答：这个圆柱形容器的容积是78.5立方分米。
39．251.2立方厘米
【分析】把高30厘米的圆柱形木棒截成两段后，表面积增加的50.24平方厘米是2个圆柱底面的面积，据此求出一个底面的面积；用这根木棒的高度除以2，求出每一段木棒的高度；用底面积乘高，即可求出其中一段的体积。因为等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，所以削去部分的体积是这段圆柱体积的。据此解答。
【解析】50.24÷2＝25.12（平方厘米）
30÷2＝15（厘米）
25.12×15×（1－）
＝376.8×
＝251.2（立方厘米）
答：削去的体积是251.2立方厘米。
40．不合理；理由见详解
【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，这里两种冰沙等底等高，那么圆柱冰沙的体积是圆锥沙冰体积的3倍。已知圆柱冰沙价格为15元，因为圆柱冰沙体积是圆锥冰沙体积的3倍，所以将圆柱冰沙价格除以3，可得到等体积时，圆锥冰沙的合理价格。再比较求出的合理定价和实际定价，从而判断是否合理。
【解析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
（元）
答：这样定价不合理，建议圆锥形沙冰定价为5元。
41．（1）3倍；理由见详解
（2）150.72立方厘米
【分析】（1）图①直角三角形绕直角边旋转一周，得到的是底面半径4厘米，高是3厘米的圆锥；图形②绕长方形一条边旋转一周，得到的是底面半径是4厘米，高是3厘米的圆柱；由此可知，圆锥和圆柱是等底等高；再根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，进行解答。
（2）求图③绕AB旋转一周，得到的图形的体积，得到的图形可通过割补法得到一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆柱；根据圆柱体积公式：体积＝，代入数据，求出平行四边形绕AB边旋转一周得到图形的体积，据此解答。
【解析】（1）图①和图②旋转后得到的图形是等底等高的圆柱和圆锥，所以图②中长方形绕一条边旋转一周，得到的圆柱的体积是图①中直角三角形绕直角边旋转一周得到的圆锥的体积的3倍。因为等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍。
（2）3.14×42×3
＝3.14×16×3
＝50.24×3
＝150.72（立方厘米）
答：图③中平行四边形绕AB边旋转一周，得到图形的体积是150.72立方厘米。
42．87.92立方厘米
【分析】圆柱被截去5厘米后，表面积比原来减少了62.8平方厘米，表面积减少的部分即为截去圆柱部分的侧面积，根据“圆柱侧面积＝底面周长×高”，用62.8除以5即可计算出圆柱的底面周长；再根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，计算出圆柱的底面半径；
已知原来圆柱的高是21厘米，将与原来完全一样的圆柱形木材削成一个最大的圆锥，则圆锥与原来圆柱等底等高，根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积。
【解析】62.8÷5÷3.14÷2
＝12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（厘米）
×3.14×22×21
＝×3.14×4×21
＝87.92（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是87.92立方厘米。
43．63立方厘米
【分析】由图可知，没有削去圆木之前下半部分是一个小圆柱，下半部分剩余部分是一个圆锥，圆锥和小圆柱等底等高，则圆锥的体积是小圆柱体积的，削去部分的体积是小圆柱体积的（1－），小圆柱的体积＝削去部分的体积÷（1－），圆锥的体积＝小圆柱的体积×，再根据削去部分的高度利用“”求出小圆柱的底面积，最后利用“”求出上面大圆柱的体积，陀螺的体积＝大圆柱的体积＋圆锥的体积，据此解答。
【解析】小圆柱的体积：18÷（1－）
＝18÷
＝18×
＝27（立方厘米）
圆锥的体积：27×＝9（立方厘米）
圆柱的底面积：27÷3＝9（平方厘米）
大圆柱的体积：9×6＝54（立方厘米）
陀螺的体积：9＋54＝63（立方厘米）
答：陀螺的体积约是63立方厘米。
44．314立方厘米
【分析】已知放入铁块后水面上升，上升的水的形状为圆柱体。根据圆柱体积公式V＝πr2h，已知圆柱形容器底面半径是10厘米，水面从3厘米上升到7厘米，则上升的高度是7－3＝4厘米，可求出上升的水的体积；再根据等底等高圆柱和圆锥体积关系：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。把圆锥体积看作1份，那么圆柱体积就是3份，它们的体积和就是1＋3＝4份；上升的水的体积等于圆柱和圆锥的体积和，已求出体积和以及它们体积份数关系，用体积和除以总份数4，就可得到1份的体积，也就是圆锥的体积。
【解析】3.14×102×（7－3）
＝3.14×100×4
＝314×4
＝1256（立方厘米）
1256÷（3＋1）
＝1256÷4
＝314（立方厘米）
答：这个圆锥形铁块的体积是314立方厘米。
45．见详解
【分析】结合圆柱、圆锥体积公式的探究过程，以及圆锥与圆柱的体积关系，明确如何通过有效提问引导Ai工具给出符合小学认知的推导方法，避免复杂数学术语，强调实验法和转化思想。
【解析】与Ai的对话记录：
（1）提问：“圆柱体积公式是怎么推导的？请用小学学过的知识解释。”
Ai回答：将圆柱沿底面半径切开，拼成近似长方体，长方体的底面积＝圆柱底面积，长方体的高＝圆柱的高，长方体的体积＝圆柱的体积，根据长方体的体积公式V＝Sh，那么圆柱的体积公式也是V＝Sh，其中圆柱的底面积S＝πr2，则推导出圆柱的体积公式为V＝πr2h。
（2）提问：“为什么等底等高的圆锥体积是圆柱的？”
Ai回答：通过实验，把圆锥容器装满水倒入与它等底等高的圆柱容器中，需3次才能装满，说明等底等高的圆锥体积是圆柱的。
思考怎样和Ai对话更有效：
①问题具体：明确要求“用小学知识”或“实验法”推导，避免Ai使用超纲方法。
②分步提问：先问圆柱体积公式的推导，再问圆锥与圆柱的体积关系，分步降低理解难度。
③验证答案：若Ai回答涉及复杂计算，追问“能否用更简单的方法说明？”。
（答案不唯一）
46．159.48立方厘米
【分析】正方体体积公式为：体积＝棱长×棱长×棱长，已知棱长为6厘米，那么正方体体积为6×6×6＝216立方厘米。
把正方体加工成一个体积最大的圆柱形积木之后，圆柱的底面直径和高都等于正方体棱长，正方体棱长为6厘米，那么圆柱的底面半径为6÷2＝3厘米。根据圆柱体积公式：V＝πr2h（r是底面半径，h是高，π取3.14）。那么圆柱的体积为3.14×32×6＝3.14×9×6＝169.56立方厘米。
再将这个圆柱加工制作成一个与之等底等高的圆锥形积木，圆锥体积是等底等高圆柱体积的，即169.56×＝56.52立方厘米。
削去木料体积是用正方体体积减去圆锥体积。
【解析】6×6×6＝216（立方厘米）
3.14×32×6＝3.14×9×6＝169.56（立方厘米）
169.56×＝56.52（立方厘米）
216－56.52＝159.48（立方厘米）
答：削去木料的体积是159.48立方厘米。
47．（1）36分钟
（2）见详解
【分析】（1）根据圆锥的体积＝，代入数据求出圆锥形容器内水的体积，再除以水的流速即可求出圆锥内漏完水大约需要的时间。
（2）等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，当圆柱和圆锥的体积和底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此用圆锥的高除以3就是圆柱的高，圆锥内的水漏完后，水在圆柱容器内的高度为6÷3＝2（厘米），据此画图。
【解析】（1）×3.14××6÷1.57
＝×3.14×9×6÷1.57
＝56.52÷1.57
＝36（分钟）
答：圆锥内漏完水大约需要36分钟。
（2）如图：
48．480立方厘米
【分析】水面上升的体积就是圆柱和圆锥在水中的体积之和，根据长方体体积＝长×宽×高，列式为20×14×2，计算即可求出圆柱和圆锥在水中的体积之和；把圆柱的体积看作单位“1”，根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，可知圆锥的体积为圆柱体积的，圆柱在水中的体积是圆柱的1－，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答，求圆柱的体积列式为：20×14×2÷（＋）。
【解析】20×14×2÷（＋）
＝280×2÷（＋）
＝560÷
＝560×
＝480（立方厘米）
答：圆柱的体积是480立方厘米。
49．36分；2厘米
【分析】根据圆锥体积公式V＝πr2h，求出水的体积，水的体积÷水的流速＝水漏完需要的时间；
已知圆柱与圆锥等体积等底面积，那么圆锥的高是圆柱高的3倍，用圆锥的高除以3，即可求出圆柱里水的高度。
【解析】×3.14×32×6
＝×3.14×9×6
＝56.52（立方厘米）
56.52÷1.57＝36（分）
6÷3＝2（厘米）
答：圆锥内的水漏完需要36分，此时圆柱里水的高度是2厘米。
50．这个圆柱的底面半径是1厘米，这个圆锥的体积是12.56立方厘米。
【分析】（1）观察可知，表面积增加的是两个长方形的面积，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，据此用增加的表面积除以2，求出长方形的面积，再除以高，求出底面直径，再除以2即可求出底面半径。
（2）如果在该圆柱内削出一个最大的圆锥，则圆锥与圆柱等底等高，根据圆锥的体积公式，代入数据计算即可。
【解析】（厘米）
（立方厘米）
答：这个圆柱的底面半径是1厘米，这个圆锥的体积是12.56立方厘米。
51．（1）18厘米
（2）106.08立方厘米
【分析】（1）圆柱的体积：，圆锥的体积：，通过公式可知，等底的圆柱体积是圆锥体积的3倍。用圆柱容器内水的体积乘3后再除以圆锥容器的底面面积，就是圆锥容器恰好倒满时圆锥容器的高度，据此解答；
（2）原来圆柱内水的深度是6厘米，石块完全浸没，水的深度是8厘米，求出上升部分的体积，再减去后来加入水的体积，即可求出石块的体积，据此解答。
【解析】（1）
（厘米）
答：选择高是18厘米的圆锥体容器。
（2）
（立方厘米）
120毫升＝120立方厘米
226.08-120＝106.08（立方厘米）
答：石块的体积是106.08立方厘米。
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2025-2026学年六年级数学下册单元提升培优精练人教版
第3单元 圆柱与圆锥 考点09 圆柱与圆锥的体积关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．把一段圆柱形钢材削成一个最大的圆锥，削去部分的质量是4kg，则这段圆柱形钢材的质量是（ ）kg。
A．24 B．6 C．12 D．8
2．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是削去部分体积的（ ）。
A． B． C． D．
3．24个相同的铁圆锥，可以熔铸成（ ）个与它等底等高的铁圆柱。（不考虑损耗）
A．12 B．8 C．72
4．一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积一共是36立方厘米，这个圆柱的体积是（ ）立方厘米。
A．12 B．18 C．24 D．27
5．一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，且体积比是1∶6，已知圆柱的高是4.2厘米，则圆锥的高是（ ）厘米。
A．2.1 B．1.4 C．8.4 D．0.7
6．如图，下面关于四个图形的体积说法错误的是（ ）。
A．①和④的体积相等 B．②的体积是①的3倍
C．②的体积是④的3倍 D．①和③的体积相等
7．一个圆柱和圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥的高的2倍，则圆锥的体积是圆柱体积的（ ）。
A． B． C． D．2倍
8．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，圆锥的高是9cm，圆柱的高是（ ）cm。
A．3 B．9 C．18 D．27
9．如图，圆锥形杯子与圆柱形容器的底面积相等。将圆柱形容器里装满的果汁全部倒入圆锥形杯子中，可以倒满（ ）杯。
A．3 B．6 C．9 D．12
10．如下图，要把下面三堆圆锥形沙子分别装在圆柱形的铁桶中（铁桶厚度忽略不计），下面是三名同学经过测量后得到的结论。
晶晶说：“第一堆和铁桶等底等高，能装下。”
明明说：“第二堆和铁桶等底，高是铁桶的2倍，能装下。”
康康说：“第三堆和铁桶等高，底面半径是铁桶的2倍，能装下。”
你认为（ ）的说法是正确的。
A．三人 B．晶晶和明明 C．明明和康康 D．晶晶和康康
二、填空题
11．把一个圆柱形钢坯削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是。原圆柱形钢坯的体积是( )。
12．把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是，则这个圆锥的体积是( )。
13．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是。圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。
14．一个圆柱，沿底面的一条直径垂直向下切开，截面是一个边长为6cm的正方形。这个圆柱的体积是( )，与它等底等高的圆锥的体积是( )。
15．一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥体积的( )倍，圆锥的体积是圆柱体积的( )。圆锥体积的计算公式是( )。
16．一个圆柱的底面直径是4分米，高5分米，它的体积是( )立方分米，与它等底等高圆锥的体积是( )立方分米。
17．把一个圆柱削成最大的圆锥后，圆锥体积比圆柱体积少24π立方分米。如果圆锥的底面半径是3分米，圆柱的高是( )分米。
18．一个圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多，圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。
19．图中，h1＝h2，d1＝d2，把下面左边瓶里的饮料倒入圆锥形的杯子里，最多能倒满( )杯。
20．如果把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥后，圆锥的体积是30cm3，那么这个圆柱形木块的体积是( )cm3；如果把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥后，削去的体积是30 cm3，那么这个圆锥的体积是( )cm3。
21．小悦同学用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积比圆锥的体积大 立方厘米。
22．一个正方体木块的棱长是6cm，把它削成一个最大的圆柱。圆柱的体积是( )cm3，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )cm3。
23．如图，有一个下面是圆锥上面是圆柱的容器，当把这个容器倒过来放平时，容器里的液面高是( )厘米。
24．如下图，三个量杯从里面量，高度都是9厘米。小冬先把圆锥形量杯盛满水，再把这杯水全部倒进圆柱形量杯中，圆柱形量杯的水面高度是( )厘米，接着他又把这些水全部倒进长方体量杯中，长方体量杯的水面高度应为( )厘米。（得数保留一位小数）
25．如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长厘米，宽厘米。现把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，圆锥的体积是( )立方厘米。若圆锥的底面积是60平方厘米，则圆锥的高为( )厘米。
三、判断题
26．把一个圆柱体削成一个圆锥体，削去部分的体积是圆柱的。( )
27．圆锥体积是圆柱体积的。( )
28．一个圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积比圆锥多18立方厘米，圆锥的体积是9立方厘米。( )
29．一个圆柱和圆锥的体积和底面积都相等，圆柱的高为4厘米，则圆锥的高为12厘米。( )
30．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是48dm3，那么这个圆柱的体积是12dm3。( )
31．展厅内有一个圆柱和一个圆锥等底等高，那么这个圆柱体积比圆锥多2倍。( )
32．把一段圆柱钢块削成一个最大圆锥体，削去部分重8kg，这段圆柱钢重12kg。( )
33．圆柱形状的水桶体积一定是圆锥形状水桶体积的3倍。( )
34．圆柱的体积比圆锥的体积多2倍。( )
35．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥体积是圆柱体积的。( )
四、计算题
36．求体积。
37．下图中圆柱的底面周长是6.28厘米，高是3厘米，求阴影部分的体积。
五、解答题
38．在一个高是3dm，底面半径是2dm的圆锥形容器里装满水，再将这些水全部倒入一个圆柱形容器中，刚好装了圆柱形容器的。这个圆柱形容器的容积是多少立方分米？
39．小刚在手工课上拿到一根高30厘米的圆柱形木棒，如图所示，将它截成相同的两段后，表面积比原来增加了50.24平方厘米。小刚想把其中一段木棒削成一个最大的圆锥体摆件，削去的体积是多少立方厘米？
40．某甜品店准备推出一款新口味的冰沙，店家设计了两种不同的包装（销售时要刚好盛满），两种包装的冰沙及其定价如下图所示。这样定价合理吗？请用数据说明理由。（注：忽略商场搞促销的策略）
41．下面是三个图形的旋转。
（1）图②中长方形绕一条边旋转一周，得到图形的体积，是图①中直角三角形绕直角边旋转一周，得到图形体积的多少倍？并请说明理由。
（2）图③中平行四边形绕AB边旋转一周，得到图形的体积是多少？
42．如图，一个圆柱形木材被截去5厘米后，表面积比原来减少了62.8平方厘米，若将与原来完全一样的圆柱形木材削成一个最大的圆锥，则这个圆锥的体积是多少立方厘米？
43．爸爸用一段圆木，给明明做了一个最大的陀螺（如图），削去部分的体积约是18立方厘米，那么，陀螺的体积约是多少立方厘米？
44．一个底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装有水。将等底等高的一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到7厘米（如图）。这个圆锥形铁块的体积是多少？
45．借助豆包、DeepSeek等Ai工具探究圆柱、圆锥体积公式及相互关系，想一想：怎样和Ai对话，给出哪些提示词，能得到你想要的结果？比如圆柱体积公式是如何推导出来的？等底等高的圆锥和圆柱体积为什么是1∶3的关系？在下面简要记录你和Ai的对话及他给出的答案，并思考怎样和Ai对话更有效？
46．小小积木，大大世界。一块正方体积木，它的棱长是6厘米。把它加工成一个体积最大的圆柱形积木之后，再将这个圆柱加工制作成一个与之等底等高的圆锥形积木。在整个加工制作的过程中，削去木料的体积是多少？
47．小思和小维做实验，他们分别用等底等高的一个圆柱和圆锥容器组合成滴漏计时器工具，圆锥内灌满了有颜色的水（如图1）。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。
（1）如果水的流速是每分钟1.57立方厘米，圆锥内漏完水大约需要多少时间？
（2）在图2中用阴影画出表示圆锥内的水漏完后，水在圆柱容器内的高度。
48．如图，长方体玻璃容器内装有水，容器的内壁底面是一个长方形，长为20厘米，宽为14厘米。现在把等底等高的一个圆柱和一个圆锥放入容器内，水面升高2厘米，又知放入容器后圆锥全部浸入水中，而圆柱有露出水面。那么圆柱的体积是多少？
49．如图，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色的水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分。圆锥内的水漏完需要多长时间？此时圆柱里水的高度是多少？
50．将一个高12厘米的圆柱形木块平均切成两块（图1），表面积增加平方厘米。这个圆柱的底面半径是多少厘米？如果在该圆柱内削出一个最大的圆锥（图2），这个圆锥的体积是多少立方厘米？
51．在学习了圆柱和圆锥的体积之后，琪琪用圆柱体容器和圆锥体容器进行了下面两个实验：
（1）实验一：琪琪在圆柱体容器里面装了一些水（如图），水深6厘米，再将这些水倒入一个圆锥体容器中。如果倒入等底的圆锥体容器中恰好倒满，则琪琪应该选择高是多少厘米的圆锥体容器？
（2）实验二：琪琪按下面的步骤测量了一块不规则石头的体积。根据测量过程，你能求出石头的体积吗？
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参考答案与试题解析
1．B
【分析】圆柱形钢材削成一个最大的圆锥，说明圆柱与圆锥等底等高，此时圆柱体积是圆锥体积3倍，设圆锥体积1份，则圆柱体积3份，圆柱削成最大圆锥，削去2份，对应质量是4千克，据此算出1份质量，再算出圆柱3份的质量。
【解析】（千克）
故答案为：B
2．A
【分析】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，则圆柱和圆锥等底等高，圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的，可以把圆柱的体积看成3份，圆锥的体积看成1份，则圆柱的体积比圆锥多2份，所以圆锥的体积是削去部分体积的。
【解析】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是削去部分体积的。
故答案为：A
3．B
【分析】圆柱的体积是等底等高圆锥的体积的3倍，即3个铁圆锥才能熔铸成1个铁圆柱，个，所以24个相同的铁圆锥，可以熔铸成8个铁圆柱。
【解析】24个相同的铁圆锥，可以熔铸成8个与它等底等高的铁圆柱。
故答案为：B
4．D
【分析】根据圆柱的体积＝，圆锥的体积＝，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，用总体积36立方厘米除以（1＋3）即可求出这个圆锥的体积，再乘3即可求出这个圆柱的体积。
【解析】36÷（1＋3）×3
＝36÷4×3
＝27（立方厘米）
即这个圆柱的体积是27立方厘米。
故答案为：D
5．A
【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，可推出高＝圆柱的体积÷底面积；根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，可推出高＝圆锥的体积×3÷底面积；把底面积看成S，把圆锥的体积看作1，则圆柱的体积为6，那么圆柱的高为6÷S＝，圆锥的高为1×3÷S＝3÷S＝，圆柱与圆锥高的比为：∶＝2∶1，即圆柱的高是圆锥的2倍，已知圆柱的高是4.2厘米，则圆锥的高为4.2÷2，据此解答。
【解析】由分析可知：把底面积看成S，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积为6份。
圆柱的高为：6÷S＝
圆锥的高为：1×3÷S
＝3÷S
＝
圆柱与圆锥高的比为：∶
＝（×S）∶（×S）
＝6∶3
＝（6÷3）∶（3÷3）
＝2∶1
4.2÷2＝2.1（厘米）
所以圆锥的高是2.1厘米。
故答案为：A
6．D
【分析】圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，据此求出4个图形的体积，并逐项分析即可。
【解析】图①：π×（4÷2）2×9
＝π×22×9
＝π×4×9
＝12π
图②：π×（4÷2）2×9
＝π×22×9
＝π×4×9
＝36π
图③：π×（2÷2）2×9
＝π×12×9
＝π×1×9
＝9π
图④：π×（4÷2）2×3
＝π×22×3
＝π×4×3
＝12π
A．①和④的体积均为12π，则①和④的体积相等，正确；
B．②的体积为36π，①的体积为12π，36π÷12π＝3，则②的体积是①的3倍，正确；
C．36π÷12π＝3，则②的体积是④的3倍，正确；
D．③的体积为9π，①的体积为12π，则①和③的体积不相等，错误；
故答案为：D
7．C
【分析】根据题意，可设圆柱、圆锥的底面积都为s，圆锥的高为1，则圆柱的高为2，根据圆柱的体积公式V＝sh和圆锥的体积公式V＝sh求出各自的体积，然后再用圆锥的体积除以圆柱的体积即可。
【解析】设圆柱、圆锥的底面积都为s，圆锥的高为1，则圆柱的高为2。
（s×1）÷（2s）
＝s÷2s
＝÷2
＝×
＝
所以圆锥的体积是圆柱体积的。
故答案为：C
8．A
【分析】，。那么如果圆柱和圆锥底面积和体积都相等，那么圆锥的高是圆柱高的3倍。所以用圆锥的高除以3，即可求出圆柱的高；据此解答。
【解析】（cm）
一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，圆锥的高是9cm，圆柱的高是3cm。
故答案为：A
9．C
【分析】一个等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，由题意可知，圆柱和圆锥的底面积相等，但圆柱的高是圆锥的3倍，相当于求3个等底等高的圆柱的体积是一个等底等高圆锥的几倍。
【解析】3×3＝9（杯）
因此将圆柱形容器里装满的果汁全部倒入圆锥形杯子中，可以倒满9杯。
故答案为：C
10．B
【分析】判断三堆圆锥形沙子能否装进圆柱形铁桶中，由三名同学提供的圆锥形沙子的底面积、高与圆柱形铁桶底面积、高之间的关系，根据圆柱的体积（容积）公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh，分别求出圆柱形铁桶的容积和三堆圆锥形沙子的体积，如果沙子的体积小于或等于铁桶的容积，就能装下；反之，就不能装下。
【解析】设圆柱形铁桶的底面积是S，高是h，则铁桶的容积是V＝Sh。
第一堆和铁桶等底等高，则沙子的体积是V＝Sh；Sh＜Sh，能装下；
第二堆和铁桶等底，高是铁桶的2倍，则沙子的体积是V＝×S×2h＝Sh；Sh＜Sh，能装下；
第三堆和铁桶等高，底面半径是铁桶的2倍，则沙子的底面积是铁桶底面积的4倍，那么沙子的体积是V＝×4S×h＝Sh；Sh＞Sh，不能装下；
综上所述，晶晶和明明的说法是正确的。
故答案为：B
11．2.7
【分析】根据题意，把一个圆柱形钢坯削成一个最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，削去部分的体积是圆柱体积的，单位“1”未知，用削去部分的体积除以，即可求出圆柱的体积，据此解答。
【解析】由分析可得：
（cm3）
因此，把一个圆柱形钢坯削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是1.8cm3。原圆柱形钢坯的体积是2.7cm3。
12．18
【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，进行分析。
【解析】（m）
把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是36m，则这个圆锥的体积是18m。
13．60 20
【分析】已知圆柱和圆锥等底等高，即圆柱体积是圆锥体积的3倍，它们的体积之和是80dm ，那么把圆锥体积看作1份，圆柱体积看作3份，圆柱和圆锥体积的总份数为份，用圆柱和圆锥的体积之和除以它们的总份数，求出1份的体积，即是圆锥的体积；再用圆锥体积乘3，可得到圆柱的体积，据此解答。
【解析】圆锥体积：（立方分米）
圆柱体积：（立方分米）
因此，等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是80dm 。圆柱的体积是60dm ，圆锥的体积是20dm
14．169.56 56.52
【分析】一个圆柱，沿底面的一条直径垂直向下切开，截面是一个边长为6cm的正方形，说明圆柱的底面直径和高相等，都是6厘米，圆柱的体积（π取3.14，d表示直径，h表示高），先据此求出圆柱的体积，再除以3，即可求出等底等高的圆锥的体积。
【解析】
（立方厘米）
（立方厘米）
所以这个圆柱的体积是169.56，与它等底等高的圆锥的体积是56.52。
15．3
【分析】根据圆柱的体积公式（是底面圆的面积，是圆柱的高），圆锥的体积公式（是底面圆的面积，是圆锥的高），等底等高的情况下圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积等于圆柱体积的，由此解答。
【解析】根据分析得：
一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的。圆锥体积的计算公式是。
16．62.8 /
【分析】用圆柱的底面直径除以2求出圆柱的底面半径，根据圆柱的体积＝，代入数据求出圆柱的体积，与它等底等高圆锥的体积是圆柱的体积的，根据求一个数的几分之几是多少，用圆柱的体积乘解答。
【解析】4÷2＝2（分米）
3.14××5
＝3.14×4×5
＝12.56×5
＝62.8（立方分米）
62.8×＝（立方分米）
所以一个圆柱的底面直径是4分米，高5分米，它的体积是62.8立方分米，与它等底等高圆锥的体积是立方分米。
17．4
【分析】把一个圆柱削成最大的圆锥，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。24π立方分米相当于圆锥体积的2倍，算出圆锥的体积。根据圆锥的体积V＝，用圆锥的体积乘3除以π除以半径的平方即可算出圆锥的高，也是圆柱的高。
【解析】24π÷2＝12π（立方分米）
12π×3÷π÷32
＝12π×3÷π÷9
＝36π÷π÷9
＝4（分米）
所以，圆柱的高是4分米。
18．11.7 3.9
【分析】圆柱的体积等于与它等底等高的圆锥的3倍，则圆柱的体积比与它等底等高的圆锥多2倍，即多7.8立方米，则圆锥的体积是立方米，圆柱的体积是立方米。
【解析】由分析可得：
一个圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多，圆柱的体积是11.7，圆锥的体积是3.9。
19．6
【分析】从图中可知，左边瓶中的饮料是圆柱形，杯子是圆锥形，由d1＝d2可知，它们的底面半径相等，根据底面积公式S＝πr2，可知圆柱形饮料与圆锥形杯子的底面积相等，设它们的底面积是S，高度h1＝h2＝h。
根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积（容积）公式V＝Sh，分别求出饮料的体积和杯子的容积，再用饮料的体积除以杯子的容积，即可求出最多能倒满的杯数。
【解析】设h1＝h2＝h，圆柱形饮料与圆锥形杯子的底面积都是S。
饮料的体积：S×（h1＋h2）＝ S×2h＝2Sh
杯子的容积：×S×h1＝Sh
2Sh÷Sh
＝2÷
＝2×3
＝6（杯）
最多能倒满6杯。
20．90 15
【分析】先明确等底等高的圆柱与圆锥体积关系，用设份数法，根据题目给到的信息，求出一份的体积再求对应的圆柱或圆锥的体积；
把等底等高的圆柱和圆锥中的圆柱体积看成是3份，圆锥是1份，圆锥的体积是30cm ，那么圆柱就是等底等高圆锥体积的3倍；
把等底等高的圆柱和圆锥中的圆柱体积看成是3份，圆锥是1份，削去的体积就应该为（份），求出对应一份的体积即可得到圆锥体积。
【解析】（立方厘米）
（份）
（立方厘米）
所以，如果把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥后，圆锥的体积是30立方厘米，那么这个圆柱形木块的体积是90立方厘米；如果把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥后，削去的体积是30立方厘米，那么这个圆锥的体积是15立方厘米。
21．108
【分析】由于圆柱和圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。整个橡皮泥的体积为216立方厘米，是圆柱和圆锥的总体积。设圆锥体积为V，则圆柱体积为3V，总体积为4V，可求出V，再计算圆柱体积与圆锥体积的差。
【解析】设圆锥的体积为V立方厘米，则圆柱的体积为3V立方厘米。
根据题意，圆柱和圆锥的总体积为216立方厘米，
因此：
V＋3V＝216
4V＝216
V＝216÷4
V＝54
圆锥的体积为54立方厘米，圆柱的体积为3×54＝162立方厘米。
圆柱的体积比圆锥的体积大：162-54＝108立方厘米。
答：圆柱的体积比圆锥的体积大108立方厘米。
22．169.56 56.52
【分析】由题意知，削成的最大圆柱体的底面直径是6cm，高也是6cm，可利用圆柱的体积公式V＝Sh求得圆柱的体积；把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，则圆锥体与圆柱体是等底等高的，所以求圆锥的体积可直接用圆柱的体积乘。
【解析】圆柱底面半径：6÷2＝3（cm）
圆柱体积：
3.14×32
＝3.14×9×6
＝169.56（cm3）
圆锥体积：169.56×＝56.52（cm3）
所以，圆柱的体积是169.56cm3，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是56.52cm3。
23．7
【分析】由图可知，圆锥和圆柱的底面积相等，圆柱部分的液面高度是11－6＝5厘米，求出圆锥部分的液体倒在圆柱里面的液面高度，液体的体积不变，由“”可知“”，由“”可知“”，，由此可知，当圆柱和圆锥的体积和底面积分别相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，则圆锥部分的液体倒在圆柱里面的液面高度是6÷3＝2厘米，最后加上圆柱部分的液面高度，据此解答。
【解析】6÷3＋（11－6）
＝6÷3＋5
＝2＋5
＝7（厘米）
所以，容器里的液面高是7厘米。
24．3 2.4
【分析】由图可知，圆锥和圆柱的底面直径都是4厘米，则它们的底面半径相等，，那么圆锥和圆柱的底面积相等，把圆锥形量杯里面的水倒入圆柱形量杯中水的体积不变，由“”可知“”，由“”可知“”，，由此可知，当圆柱和圆锥的体积和底面积分别相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，即圆锥形量杯的高度是圆柱形量杯水面高度的3倍；先根据“”求出圆柱形量杯中水的体积，长方体量杯的水面高度＝水的体积÷长方体量杯的底面积，据此解答。
【解析】当圆柱和圆锥的体积和底面积分别相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍。
9÷3＝3（厘米）
3.14×（4÷2）2×3÷（4×4）
＝3.14×22×3÷16
＝3.14×4×3÷16
＝12.56×3÷16
＝37.68÷16
≈2.4（厘米）
所以，圆柱形量杯的水面高度是3厘米，长方体量杯的水面高度应为2.4厘米。
25．300 15
【分析】把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了厘米，则上升的水的体积等于圆柱与圆锥的体积和，又知圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，则圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，它们的体积和是份，根据，代入数据求出上升的水的体积，再除以，得到每份的体积，即圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式的逆运算，代入数据计算即可。
【解析】
（立方厘米）
（立方厘米）
（厘米）
如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长厘米，宽厘米。现把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，圆锥的体积是300立方厘米。若圆锥的底面积是60平方厘米，则圆锥的高为15厘米。
26．×
【分析】题干未明确圆柱和圆锥是否等底等高。根据圆柱和圆锥的体积关系，只有当它们等底等高时，圆锥的体积才是圆柱体积的，削去部分的体积才是圆柱体积的。若不等底等高，削去部分的体积可能不等于。因此，该说法不一定成立。
【解析】根据分析：
把一个圆柱体削成一个圆锥体，削去部分的体积不一定是圆柱的。原说法错误。
故答案为：×
27．×
【分析】圆锥的体积公式为，圆柱的体积公式为。只有当圆锥与圆柱底面积相等、高相等或底面积×高相等时，圆锥体积才是圆柱体积的。题干未说明两者是否满足等底等高，因此结论不一定成立。
【解析】当圆锥的底面积为3，高为1时，圆锥的体积＝＝1。当圆柱的底面积为1，高为1时，圆柱的体积＝1×1＝1。此时圆锥的体积＝圆柱的体积。当圆锥与圆柱底面积相等、高相等或底面积×高相等时，圆锥体积是圆柱体积的。原说法错误。
故答案为：×
28．√
【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式，当它们等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。体积差为圆柱体积减去圆锥体积，即3倍圆锥体积减去1倍圆锥体积，等于2倍圆锥体积。已知体积差为18立方厘米，可求出圆锥体积。
【解析】设圆锥的体积为V，则圆柱的体积为3V。
3V－V＝2V
2V＝18
18÷2＝9（立方厘米）
因此，圆锥的体积是9立方厘米，原说法正确。
故答案为：√
29．√
【分析】圆柱的体积计算公式为：；圆锥的体积计算公式为： 。本题中圆柱和圆锥的体积相等，底面积也相等，需要利用这两个公式，通过假设底面积为具体数值，计算圆锥的高，判断题干是否正确。
【解析】假设它们的底面积都是1平方厘米。
圆柱体积： ＝1×4＝4（立方厘米）
圆锥体积： ，即4＝
（厘米）
因此，题干说法正确。
故答案为：√
30．×
【分析】根据等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，圆柱体积是圆锥的3倍。将体积之和看作（3＋1）份，求出每份对应的体积，再计算圆柱的体积即可判断。
【解析】48÷（3＋1）
＝48÷4
＝12（dm ）
12×3＝36（dm ）
题目中圆柱体积写为12dm ，与计算结果不符，
故答案为：×
31．√
【分析】根据圆柱和圆锥的体积关系，等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍。即圆柱的体积有3份，圆锥的体积有1份，用圆柱比圆锥多出来的份数除以圆锥的份数，判断是否符合题目中“圆柱体积比圆锥多2倍”这一关系。
【解析】等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍
展厅内有一个圆柱和一个圆锥等底等高，那么这个圆柱体积比圆锥多2倍。原题说法正确。
故答案为：√
32．√
【分析】根据圆柱与圆锥体积的关系，在圆柱中削成一个圆锥，最大圆锥的体积是圆柱的，削去部分的体积是圆柱的。由于重量与体积成正比，削去部分重8kg对应圆柱总重量的，据此可得出答案。
【解析】将圆柱削成最大圆锥时，圆锥体积是圆柱的，削去部分体积为圆柱的。削去部分重量为8kg，对应圆柱总重量的，列式计算：（kg）。
则圆柱钢重12kg，题干说法正确。
故答案为：√
33．×
【分析】圆柱的体积公式为底面积×高，圆锥的体积公式为底面积×高×。只有当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱体积才是圆锥的3倍。
【解析】根据体积公式，圆柱体积为，圆锥体积为。若两者底面积和高相等，则圆柱体积是圆锥的3倍。但题目中未限定圆柱与圆锥的底面积和高相等，因此无法确定体积关系。例如：若圆柱底面积为2dm2、高3dm，体积为6dm3；圆锥底面积为6 dm2、高3dm，体积为 dm3，此时两者体积相等。故原题说法错误。
故答案为：×
34．×
【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，由此可知，等底等高的圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，不等底等高的圆柱的体积不一定是圆锥体积的3倍，据此解答。
【解析】根据分析可知，等底等高的圆柱的体积比圆锥的体积多2倍。
原题干说法错误。
故答案为：×
35．√
【分析】根据圆柱和圆锥的体积关系，当圆锥与圆柱等底等高时，圆锥体积是圆柱体积的。题目中“最大的圆锥”意味着圆锥与圆柱等底等高，因此体积关系成立。
【解析】将一个圆柱削成最大的圆锥时，圆锥必须与原圆柱等底等高。此时，圆锥体积为圆柱体积的，因此题目中的说法正确。
故答案为：√
36．25.12dm3
【分析】观察图形可知，该图形是由圆柱和圆锥组成，且等底等高。在等底等高的圆柱和圆锥中，圆锥体积是圆柱体积的。圆柱的底面半径为1dm，高为6dm，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入计算即可得出圆柱的体积，然后把圆柱体积乘得出圆锥体积，最后把圆柱和圆锥体积相加即可得出组合图形的体积。
【解析】3.14×12×6
＝3.14×1×6
＝18.84（dm3）
18.84×＝6.28（dm3）
18.84＋6.28＝25.12（dm3）
该图形的体积是25.12dm3。
37．6.28立方厘米
【分析】等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，据此可知截去的阴影部分的体积为圆柱体积的1－，据此解答即可。
【解析】3.14×（6.28÷3.14÷2）2×3×（1－）
＝3.14×3×
＝6.28（立方厘米）
38．78.5立方分米
【分析】先根据圆锥体积＝底面积×高×，求出水的体积，再除以其占圆柱形容器容积的比例，得到圆柱形容器的容积，据此解答。
【解析】圆锥体积：
（立方分米）
（立方分米）
答：这个圆柱形容器的容积是78.5立方分米。
39．251.2立方厘米
【分析】把高30厘米的圆柱形木棒截成两段后，表面积增加的50.24平方厘米是2个圆柱底面的面积，据此求出一个底面的面积；用这根木棒的高度除以2，求出每一段木棒的高度；用底面积乘高，即可求出其中一段的体积。因为等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，所以削去部分的体积是这段圆柱体积的。据此解答。
【解析】50.24÷2＝25.12（平方厘米）
30÷2＝15（厘米）
25.12×15×（1－）
＝376.8×
＝251.2（立方厘米）
答：削去的体积是251.2立方厘米。
40．不合理；理由见详解
【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，这里两种冰沙等底等高，那么圆柱冰沙的体积是圆锥沙冰体积的3倍。已知圆柱冰沙价格为15元，因为圆柱冰沙体积是圆锥冰沙体积的3倍，所以将圆柱冰沙价格除以3，可得到等体积时，圆锥冰沙的合理价格。再比较求出的合理定价和实际定价，从而判断是否合理。
【解析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
（元）
答：这样定价不合理，建议圆锥形沙冰定价为5元。
41．（1）3倍；理由见详解
（2）150.72立方厘米
【分析】（1）图①直角三角形绕直角边旋转一周，得到的是底面半径4厘米，高是3厘米的圆锥；图形②绕长方形一条边旋转一周，得到的是底面半径是4厘米，高是3厘米的圆柱；由此可知，圆锥和圆柱是等底等高；再根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，进行解答。
（2）求图③绕AB旋转一周，得到的图形的体积，得到的图形可通过割补法得到一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆柱；根据圆柱体积公式：体积＝，代入数据，求出平行四边形绕AB边旋转一周得到图形的体积，据此解答。
【解析】（1）图①和图②旋转后得到的图形是等底等高的圆柱和圆锥，所以图②中长方形绕一条边旋转一周，得到的圆柱的体积是图①中直角三角形绕直角边旋转一周得到的圆锥的体积的3倍。因为等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍。
（2）3.14×42×3
＝3.14×16×3
＝50.24×3
＝150.72（立方厘米）
答：图③中平行四边形绕AB边旋转一周，得到图形的体积是150.72立方厘米。
42．87.92立方厘米
【分析】圆柱被截去5厘米后，表面积比原来减少了62.8平方厘米，表面积减少的部分即为截去圆柱部分的侧面积，根据“圆柱侧面积＝底面周长×高”，用62.8除以5即可计算出圆柱的底面周长；再根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，计算出圆柱的底面半径；
已知原来圆柱的高是21厘米，将与原来完全一样的圆柱形木材削成一个最大的圆锥，则圆锥与原来圆柱等底等高，根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积。
【解析】62.8÷5÷3.14÷2
＝12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（厘米）
×3.14×22×21
＝×3.14×4×21
＝87.92（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是87.92立方厘米。
43．63立方厘米
【分析】由图可知，没有削去圆木之前下半部分是一个小圆柱，下半部分剩余部分是一个圆锥，圆锥和小圆柱等底等高，则圆锥的体积是小圆柱体积的，削去部分的体积是小圆柱体积的（1－），小圆柱的体积＝削去部分的体积÷（1－），圆锥的体积＝小圆柱的体积×，再根据削去部分的高度利用“”求出小圆柱的底面积，最后利用“”求出上面大圆柱的体积，陀螺的体积＝大圆柱的体积＋圆锥的体积，据此解答。
【解析】小圆柱的体积：18÷（1－）
＝18÷
＝18×
＝27（立方厘米）
圆锥的体积：27×＝9（立方厘米）
圆柱的底面积：27÷3＝9（平方厘米）
大圆柱的体积：9×6＝54（立方厘米）
陀螺的体积：9＋54＝63（立方厘米）
答：陀螺的体积约是63立方厘米。
44．314立方厘米
【分析】已知放入铁块后水面上升，上升的水的形状为圆柱体。根据圆柱体积公式V＝πr2h，已知圆柱形容器底面半径是10厘米，水面从3厘米上升到7厘米，则上升的高度是7－3＝4厘米，可求出上升的水的体积；再根据等底等高圆柱和圆锥体积关系：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。把圆锥体积看作1份，那么圆柱体积就是3份，它们的体积和就是1＋3＝4份；上升的水的体积等于圆柱和圆锥的体积和，已求出体积和以及它们体积份数关系，用体积和除以总份数4，就可得到1份的体积，也就是圆锥的体积。
【解析】3.14×102×（7－3）
＝3.14×100×4
＝314×4
＝1256（立方厘米）
1256÷（3＋1）
＝1256÷4
＝314（立方厘米）
答：这个圆锥形铁块的体积是314立方厘米。
45．见详解
【分析】结合圆柱、圆锥体积公式的探究过程，以及圆锥与圆柱的体积关系，明确如何通过有效提问引导Ai工具给出符合小学认知的推导方法，避免复杂数学术语，强调实验法和转化思想。
【解析】与Ai的对话记录：
（1）提问：“圆柱体积公式是怎么推导的？请用小学学过的知识解释。”
Ai回答：将圆柱沿底面半径切开，拼成近似长方体，长方体的底面积＝圆柱底面积，长方体的高＝圆柱的高，长方体的体积＝圆柱的体积，根据长方体的体积公式V＝Sh，那么圆柱的体积公式也是V＝Sh，其中圆柱的底面积S＝πr2，则推导出圆柱的体积公式为V＝πr2h。
（2）提问：“为什么等底等高的圆锥体积是圆柱的？”
Ai回答：通过实验，把圆锥容器装满水倒入与它等底等高的圆柱容器中，需3次才能装满，说明等底等高的圆锥体积是圆柱的。
思考怎样和Ai对话更有效：
①问题具体：明确要求“用小学知识”或“实验法”推导，避免Ai使用超纲方法。
②分步提问：先问圆柱体积公式的推导，再问圆锥与圆柱的体积关系，分步降低理解难度。
③验证答案：若Ai回答涉及复杂计算，追问“能否用更简单的方法说明？”。
（答案不唯一）
46．159.48立方厘米
【分析】正方体体积公式为：体积＝棱长×棱长×棱长，已知棱长为6厘米，那么正方体体积为6×6×6＝216立方厘米。
把正方体加工成一个体积最大的圆柱形积木之后，圆柱的底面直径和高都等于正方体棱长，正方体棱长为6厘米，那么圆柱的底面半径为6÷2＝3厘米。根据圆柱体积公式：V＝πr2h（r是底面半径，h是高，π取3.14）。那么圆柱的体积为3.14×32×6＝3.14×9×6＝169.56立方厘米。
再将这个圆柱加工制作成一个与之等底等高的圆锥形积木，圆锥体积是等底等高圆柱体积的，即169.56×＝56.52立方厘米。
削去木料体积是用正方体体积减去圆锥体积。
【解析】6×6×6＝216（立方厘米）
3.14×32×6＝3.14×9×6＝169.56（立方厘米）
169.56×＝56.52（立方厘米）
216－56.52＝159.48（立方厘米）
答：削去木料的体积是159.48立方厘米。
47．（1）36分钟
（2）见详解
【分析】（1）根据圆锥的体积＝，代入数据求出圆锥形容器内水的体积，再除以水的流速即可求出圆锥内漏完水大约需要的时间。
（2）等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，当圆柱和圆锥的体积和底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此用圆锥的高除以3就是圆柱的高，圆锥内的水漏完后，水在圆柱容器内的高度为6÷3＝2（厘米），据此画图。
【解析】（1）×3.14××6÷1.57
＝×3.14×9×6÷1.57
＝56.52÷1.57
＝36（分钟）
答：圆锥内漏完水大约需要36分钟。
（2）如图：
48．480立方厘米
【分析】水面上升的体积就是圆柱和圆锥在水中的体积之和，根据长方体体积＝长×宽×高，列式为20×14×2，计算即可求出圆柱和圆锥在水中的体积之和；把圆柱的体积看作单位“1”，根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，可知圆锥的体积为圆柱体积的，圆柱在水中的体积是圆柱的1－，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答，求圆柱的体积列式为：20×14×2÷（＋）。
【解析】20×14×2÷（＋）
＝280×2÷（＋）
＝560÷
＝560×
＝480（立方厘米）
答：圆柱的体积是480立方厘米。
49．36分；2厘米
【分析】根据圆锥体积公式V＝πr2h，求出水的体积，水的体积÷水的流速＝水漏完需要的时间；
已知圆柱与圆锥等体积等底面积，那么圆锥的高是圆柱高的3倍，用圆锥的高除以3，即可求出圆柱里水的高度。
【解析】×3.14×32×6
＝×3.14×9×6
＝56.52（立方厘米）
56.52÷1.57＝36（分）
6÷3＝2（厘米）
答：圆锥内的水漏完需要36分，此时圆柱里水的高度是2厘米。
50．这个圆柱的底面半径是1厘米，这个圆锥的体积是12.56立方厘米。
【分析】（1）观察可知，表面积增加的是两个长方形的面积，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，据此用增加的表面积除以2，求出长方形的面积，再除以高，求出底面直径，再除以2即可求出底面半径。
（2）如果在该圆柱内削出一个最大的圆锥，则圆锥与圆柱等底等高，根据圆锥的体积公式，代入数据计算即可。
【解析】（厘米）
（立方厘米）
答：这个圆柱的底面半径是1厘米，这个圆锥的体积是12.56立方厘米。
51．（1）18厘米
（2）106.08立方厘米
【分析】（1）圆柱的体积：，圆锥的体积：，通过公式可知，等底的圆柱体积是圆锥体积的3倍。用圆柱容器内水的体积乘3后再除以圆锥容器的底面面积，就是圆锥容器恰好倒满时圆锥容器的高度，据此解答；
（2）原来圆柱内水的深度是6厘米，石块完全浸没，水的深度是8厘米，求出上升部分的体积，再减去后来加入水的体积，即可求出石块的体积，据此解答。
【解析】（1）
（厘米）
答：选择高是18厘米的圆锥体容器。
（2）
（立方厘米）
120毫升＝120立方厘米
226.08-120＝106.08（立方厘米）
答：石块的体积是106.08立方厘米。
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