4.4 *数学归纳法
1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于（n－2）π”时，归纳奠基中n0的取值应为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是（ ）
A.假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确
B.假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确
C.假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确
D.假设n＝k（k≥1），再推n＝k＋2时正确（以上k∈N*）
3.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2（＋＋…＋）时，若已假设n＝k（k≥2，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（ ）
A.n＝k＋1时等式成立
B.n＝k＋2时等式成立
C.n＝2k＋2时等式成立
D.n＝2（k＋2）时等式成立
4.利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n（n≥2，n∈N*）的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了（ ）
A.1项 B.k项
C.2k－1项 D.2k项
5.〔多选〕已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1（n∈N*）及其证明：
（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立.
（2）假设n＝k（k∈N*）时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝－1，所以n＝k＋1时等式也成立.由（1）（2）知，对任意的正整数n等式都成立.则（ ）
A.命题正确 B.命题不正确
C.推理都正确 D.推理不正确
6.〔多选〕用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞－1（n∈N*，n≥2）时，以下说法正确的是（ ）
A.第一步应该验证当n＝1时不等式成立
B.从“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是
C.从“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项
D.当n＝2时不等式左边是
7.用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞（n∈N*）成立，其初始值至少应取 .
8.设f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N*），那么f（n＋1）－f（n）＝ .
9.若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1（n＝1，2，3，…），则a5＝ ，归纳猜想an＝ .
10.用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＋＝1－（n∈N*）.
11.平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为（ ）
A.n＋1 B.2n
C. D.n2＋n＋1
12.〔多选〕已知一个命题p（k），k＝2n（n∈N*），若当n＝1，2，…，1 000时，p（k）成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是（ ）
A.p（k）对k＝528成立
B.p（k）对每一个自然数k都成立
C.p（k）对每一个正偶数k都成立
D.p（k）对某些偶数可能不成立
13.用数学归纳法证明n3＋5n（n∈N*）能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，（k＋1）3＋5（k＋1）式子应变形为 .
14.已知n＞2，n∈N*.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＞.
15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*）.
（1）写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式.
2 / 24.4 *数学归纳法
课标要求 情境导入
1.了解数学归纳法的原理（数学抽象）. 2.能用数学归纳法证明一些简单的命题（逻辑推理）. 清华大学数学系赵访熊教授（1908—1996）给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……，第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃到米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”.
知识点一｜数学归纳法
问题 （1）如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？
提示：不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确.例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，只能留给你们了.
（2）在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？
提示：要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下.像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫做数学归纳法.它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的.
【知识梳理】
1.定义：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
2.证明形式：记P（n）是一个关于正整数n的命题.
条件：（1）P（n0）为真；（2）若P（k）（k∈N*，k≥n0）为真，则P（k＋1）也为真.
结论：P（n）为真.
提醒：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.
【例1】 （1）用数学归纳法证明不等式2n＞（n＋1）2（n∈N*）时，初始值n0应等于（ D ）
A.1 B.3
C.5 D.6
解析：由题意，得当n＝1时，21＜（1＋1）2；当n＝2时，22＜（2＋1）2；当n＝3时，23＜（3＋1）2；当n＝4时，24＜（4＋1）2；当n＝5时，25＜（5＋1）2；当n＝6时，26＞（6＋1）2，所以用数学归纳法证明不等式2n＞（n＋1）2（n∈N*）时，初始值n0应等于6.
（2）设S1＝12，S2＝12＋22＋12，S3＝12＋22＋32＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋n2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明“Sn＝”的过程中，第二步从k到k＋1应添加的项为（k＋1）2＋k2.
解析：当n＝k时，Sk＝12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12；当n＝k＋1时，Sk＋1＝12＋22＋…＋k2＋（k＋1）2＋k2＋…＋22＋12，可见，从k到k＋1应添加的项是（k＋1）2＋k2.
【规律方法】
数学归纳法的三个关键点
（1）验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1；
（2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律；
（3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设.
训练1 对于不等式＜n＋1（n∈N*），某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n＝1时，＜1＋1，不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥1且k∈N*）时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝（k＋1）＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立.
则上述证法（ ）
A.过程全部正确
B.n＝1验证不正确
C.归纳假设不正确
D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
解析：D 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法.
知识点二｜用数学归纳法证明等式
【例2】 （链接教材P47例2）用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋（2n－1）×＝2n（2n－3）＋3（n∈N*）.
证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝2×（2－3）＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立，
即1＋3×2＋5×22＋…＋（2k－1）×2k－1＝2k（2k－3）＋3，
则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋（2k－1）×2k－1＋（2k＋1）×2k
＝2k（2k－3）＋3＋（2k＋1）×2k
＝2k（4k－2）＋3＝[2（k＋1）－3]＋3，
即当n＝k＋1时，等式也成立.
由（1）（2）知，等式对任何n∈N*都成立.
【规律方法】
用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：
（1）n＝n0时，等式的结构；
（2）n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加（或减少）的项.
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项；
②代数式相邻两项之间的变化规律；
③代数式中最后一项（最后一个数）与n的关系.
训练2 用数学归纳法证明：（12＋1）＋（22＋2）＋…＋（n2＋n）＝n（n＋1）（n＋2）（n∈N*）.
证明：（1）当n＝1时，左边＝2，右边＝×1×2×3＝2，等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立，
即（12＋1）＋（22＋2）＋…＋（k2＋k）＝k（k＋1）·（k＋2），
那么当n＝k＋1时，
（12＋1）＋（22＋2）＋…＋（k2＋k）＋[（k＋1）2＋（k＋1）]＝k（k＋1）（k＋2）＋（k＋1）2＋（k＋1）＝k（k＋1）（k＋2）＋（k＋1）（1＋k＋1）＝（k＋1）·（k＋2）（k＋3）＝（k＋1）[（k＋1）＋1][（k＋1）＋2]，即当n＝k＋1时，等式也成立.
根据（1）和（2）可知，等式对任意正整数n都成立.
知识点三｜用数学归纳法证明不等式
【例3】 用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＜1－（n≥2，n∈N*）.
证明：（1）当n＝2时，左边＝＝，右边＝1－＝，∵＜，∴不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立，
即＋＋＋…＋＜1－.
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋＜1－＋＝1－＝1－＜1－＝1－.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立.
根据（1）和（2）知，对任意n≥2的正整数，不等式均成立.
【规律方法】
数学归纳法证明不等式的适用范围及关键
（1）适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法；
（2）关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.
训练3 用数学归纳法证明：＋＋…＋＞（n≥2，n∈N*）.
证明：（1）当n＝2时，
左边＝＋＋＋＞，不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时不等式成立，即＋＋…＋＞，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋
＝＋＋…＋＋（＋＋－）＞＋（＋＋－）＞＋（3×－）＝，
所以当n＝k＋1时不等式也成立.
由（1）（2）可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立.
知识点四｜归纳—猜想—证明
【例4】 在数列{an}中，a1＝，an＋1＝（n＝1，2，3，…）.
（1）求a2，a3，a4；
解： a2＝＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝.
（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.
解：猜想数列{an}的通项公式为an＝，
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，左边＝a1＝，右边＝＝，结论成立.
②假设当n＝k（k≥1）时，结论成立，即ak＝，
那么ak＋1＝＝＝，即当n＝k＋1时结论也成立，
根据①和②可知，结论对任意正整数n都成立，即an＝.
【规律方法】
1.“归纳—猜想—证明”的一般环节
2.“归纳—猜想—证明”的主要题型
（1）已知数列的递推公式，求通项或前n项和；
（2）由一些恒成立的等式、不等式改编的探究性问题，以及求使命题成立的参数值问题；
（3）给出一些简单的命题（n＝1，2，3，…），猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
训练4 试比较2n＋2与n2的大小（n∈N*），并用数学归纳法证明你的结论.
解：当n＝1时，21＋2＝4＞12＝1，
当n＝2时，22＋2＝6＞22＝4，
当n＝3时，23＋2＝10＞32＝9，
当n＝4时，24＋2＝18＞42＝16，
由此可以猜想，2n＋2＞n2（n∈N*）.
下面用数学归纳法证明：
（1）当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边＞右边，所以原不等式成立；
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边＞右边，所以原不等式成立；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边＞右边，所以原不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥3，且k∈N*）时，不等式成立，即2k＋2＞k2.
那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2（2k＋2）－2＞2k2－2.
又因为2k2－2－（k＋1）2＝k2－2k－3＝（k－3）·（k＋1）≥0，
即2k2－2≥（k＋1）2，故2k＋1＋2＞（k＋1）2成立.
根据（1）和（2），原不等式对于任意n∈N*都成立.
1.用数学归纳法证明：1＋2＋…＋（2n＋1）＝（n＋1）·（2n＋1），在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是（ ）
A.1 B.1＋3
C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4
解析：C 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故选C.
2.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（ ）
A.2 B.3
C.5 D.6
解析：C 当n取1，2，3，4时，2n＞n2＋1都不成立，当n＝5时，25＝32＞52＋1＝26，所以第一个能使2n＞n2＋1成立的n的值为5.故起始值n0应取5.
3.用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端在n＝k时的左端加上（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2.
解析：n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2.
课堂小结
1.理清单
（1）数学归纳法的概念；
（2）数学归纳法的应用；
（3）归纳—猜想—证明.
2.避易错
（1）对n0取值的问题易出错；
（2）增加或减少的项数易出错.
1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于（n－2）π”时，归纳奠基中n0的取值应为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：C 根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3.
2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是（ ）
A.假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确
B.假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确
C.假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确
D.假设n＝k（k≥1），再推n＝k＋2时正确（以上k∈N*）
解析：B 因为n为正奇数，根据数学归纳法证明步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1时正确，再推第（k＋1）个正奇数即n＝2k＋1时正确.
3.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2（＋＋…＋）时，若已假设n＝k（k≥2，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（ ）
A.n＝k＋1时等式成立
B.n＝k＋2时等式成立
C.n＝2k＋2时等式成立
D.n＝2（k＋2）时等式成立
解析：B 由数学归纳法的证明步骤可知，假设n＝k（k≥2，k为偶数）时命题为真，还需要再证明下一个偶数，即n＝k＋2时等式成立.故选B.
4.利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n（n≥2，n∈N*）的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了（ ）
A.1项 B.k项
C.2k－1项 D.2k项
解析：D 当n＝k时，不等式左边的最后一项为，而当n＝k＋1时，最后一项为＝，并且不等式左边每一项分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项.
5.〔多选〕已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1（n∈N*）及其证明：
（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立.
（2）假设n＝k（k∈N*）时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝－1，所以n＝k＋1时等式也成立.由（1）（2）知，对任意的正整数n等式都成立.则（ ）
A.命题正确 B.命题不正确
C.推理都正确 D.推理不正确
解析：AD 推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，由等比数列求和公式知命题正确.
6.〔多选〕用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞－1（n∈N*，n≥2）时，以下说法正确的是（ ）
A.第一步应该验证当n＝1时不等式成立
B.从“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是
C.从“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项
D.当n＝2时不等式左边是
解析：CD 第一步应该验证当n＝2时不等式成立，所以A不正确；因为＋＋＋…＋－（＋＋＋…＋）＝＋＋…＋（k∈N*），所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是＋＋…＋，所以B不正确；所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项，所以C正确；当n＝2时，＝，不等式左边是，所以D正确.
7.用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞（n∈N*）成立，其初始值至少应取 8 .
解析：已知可转化为＞，整理得2n＞128，解得n＞7，故原不等式的初始值为8.
8.设f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N*），那么f（n＋1）－f（n）＝ ＋＋ .
解析：注意末项与首项，所以f（n＋1）－f（n）＝＋＋.
9.若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1（n＝1，2，3，…），则a5＝ 31 ，归纳猜想an＝ 2n－1 .
解析：因为an＋1＝2an＋1（n＝1，2，3，…），且a1＝1，所以a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.猜想an＝2n－1.用数学归纳法证明：①当n＝1时，显然猜想成立；②假设n＝k时，ak＝2k－1，则ak＋1＝2ak＋1＝2×（2k－1）＋1＝2k＋1－1.故n＝k＋1时，猜想也成立.综上，对所有正整数n，都有an＝2n－1.
10.用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＋＝1－（n∈N*）.
证明：（1）当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立，即＋＋＋…＋＋＝1－，
那么当n＝k＋1时，左边＝＋＋＋…＋＋＋＝1－＋＝1－＝1－.所以当n＝k＋1时，等式也成立.
根据（1）和（2）可知，等式对任意n∈N*都成立.
11.平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为（ ）
A.n＋1 B.2n
C. D.n2＋n＋1
解析：C 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋（1＋2）＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋（1＋2＋3）＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋（1＋2＋3＋…＋n）＝1＋＝个区域.
12.〔多选〕已知一个命题p（k），k＝2n（n∈N*），若当n＝1，2，…，1 000时，p（k）成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是（ ）
A.p（k）对k＝528成立
B.p（k）对每一个自然数k都成立
C.p（k）对每一个正偶数k都成立
D.p（k）对某些偶数可能不成立
解析：AD 由题意知p（k）对k＝2，4，6，…，2 002成立，当k取其他值时不能确定p（k）是否成立，故选A、D.
13.用数学归纳法证明n3＋5n（n∈N*）能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，（k＋1）3＋5（k＋1）式子应变形为（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6.
解析：（k＋1）3＋5（k＋1）＝k3＋1＋3k2＋3k＋5k＋5＝（k3＋5k）＋3k2＋3k＋6＝（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6.∵k（k＋1）为偶数，∴3k（k＋1）能被6整除，∴（k＋1）3＋5（k＋1）应变形为（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6.
14.已知n＞2，n∈N*.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＞.
证明：（1）当n＝3时，左边＝1＋＋，右边＝＝2，左边＞右边，不等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥3）时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋＞.
当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＞＋＝＝＞＝＝，所以1＋＋＋…＋＋＞，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立.由（1）（2）知对一切n＞2，n∈N*，不等式恒成立.
15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*）.
（1）写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式.
解：（1）∵a1＝1，Sn＝n2an，∴S1＝a1＝1；
当n＝2时，S2＝a1＋a2＝4a2，
可得a2＝，S2＝1＋＝；
当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝9a3，
可得a3＝，S3＝1＋＋＝；
当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝16a4，可得a4＝，S4＝.猜想Sn＝.
（2）①当n＝1时，猜想显然成立.
②假设当n＝k（k∈N*）时，猜想成立，即Sk＝，
则当n＝k＋1时，Sk＋1＝（k＋1）2ak＋1＝（k＋1）2·（Sk＋1－Sk），
∴（k2＋2k）Sk＋1＝（k＋1）2Sk＝（k＋1）2·，
∴Sk＋1＝.
故当n＝k＋1时，猜想也成立.
由①和②可知，对于任意的n∈N*都有Sn＝.
又∵Sn＝n2an，∴an＝＝＝.
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