培优课 数列的函数特征
1.已知数列{an}的通项公式为an＝，按项的变化趋势，该数列是（ ）
A.递增数列 B.递减数列
C.摆动数列 D.常数列
2.对任意的a1∈（0，1），由关系式an＋1＝f（an）得到的数列{an}满足an＋1＞an（n∈N*），则函数y＝f（x）的图象可能是（ ）
3.若数列{an}满足anan＋1an＋2an＋3＝20，则a100＝（ ）
A.a1 B.a2
C.a3 D.a4
4.已知数列{an}的通项公式为an＝，其最大项和最小项的值分别为（ ）
A.1，－ B.0，－
C.，－ D.1，－
5.设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是递增数列，则实数b的取值范围为（ ）
A.[1，＋∞） B.[－2，＋∞）
C.（－3，＋∞） D.（－，＋∞）
6.〔多选〕已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－n2＋8n，则（ ）
A.{an}是递减数列
B.a10＝－11
C.当n＞4时，an＞0
D.当n＝4时，Sn取得最大值
7.〔多选〕若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1（n≥3），记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是（ ）
A.Tn无最大值 B.an有最大值
C.T2 025＝1 D.a2 025＝2
8.已知数列{an}的通项公式为an＝｜n－｜，则an的最小项为 ，此时n的值为 .
9.请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；②{an}为单调递增数列；③0＜an＜2.这个数列的通项公式可以是 .
10.在数列{an}中，已知an＝－（n≥2，n∈N*）.
（1）求证an＋2＝an；
（2）若a4＝4，求a20的值；
（3）若a1＝1，求a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7的值.
11.已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝3n－1.
（1）求a1，a2和an；
（2）证明：数列{an}为递增数列.
12.已知数列{an}中，an＝1＋（n∈N*，a∈R且a≠0）.
（1）若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
（2）若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.
2 / 2重点解读
1.会判断数列的周期性，并会用数列的周期性求数列的项（逻辑推理、数学运算）. 2.会判断数列的单调性，并会用数列的单调性解决最大（小）项问题（逻辑推理、数学运算）.
一、数列的周期性
【例1】 已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝，则a2 025＝（ ）
A.3 B.
C. D.－2
解析：C 由数列{an}满足an＋1＝，且a1＝，得a2＝＝，a3＝＝3，a4＝＝－2，a5＝＝，由此可知数列{an}是周期为4的周期数列，所以a2 025＝a4×506＋1＝a1＝.故选C.
【规律方法】
利用数列的周期性求数列中某一项的步骤
（1）根据已知的数列的递推公式，写出数列的前几项，观察项与项之间的关系直至出现重复的项；
（2）确定该数列的周期；
（3）利用周期性求出要求的项.
训练1 在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝，则a2 025＝（ ）
A.2 B.
C.0 D.－
解析：D 因为a1＝0，an＋1＝，所以a2＝＝，a3＝＝－，a4＝＝0，所以数列{an}是以3为周期的周期数列，由2 025÷3＝675，则a2 025＝a3＝－.故选D.
二、数列的单调性及其应用
角度1 数列单调性的判断
【例2】 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－n（n∈N*），判断该数列的单调性.
解：法一 an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），
则an＋1－an＝3（n＋1）2－（n＋1）－（3n2－n）＝6n＋2＞0，
即an＋1＞an，故数列{an}是递增数列.
法二 an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），
则＝＝·＞1.
又易知an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列.
【规律方法】
解决数列的单调性问题的两种方法
（1）作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列；
（2）作商比较法：根据（an＞0或an＜0）与1的大小关系进行判断.
角度2 数列单调性的应用
【例3】 已知数列{an}的通项公式为an＝（n＋1）·（）n（n∈N*），试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.
解：法一 ∵an＋1－an＝（n＋2）（）n＋1－（n＋1）·（）n＝（）n·.
∴当n＜8时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝8时，a9－a8＝0，即a9＝a8；
当n＞8时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an；
故a1＜a2＜…＜a8＝a9＞a10＞a11＞…，
∴数列{an}中最大项为第8项和第9项，其值为9·（）8，其项数为8或9.
法二 根据题意，令
即
解得8≤n≤9.
又n∈N*，则n＝8或n＝9.
故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，且a8＝a9＝9·（）8.
【规律方法】
求数列最大项与最小项的常用方法
（1）函数法：利用相关的函数求最值.若能借助表达式观察出单调性，直接确定最大（小）项，否则，利用作差法；
（2）利用（n≥2）确定最大项，利用（n≥2）确定最小项.
训练2 （1）若数列{an}的通项公式为an＝，则此数列是（ A ）
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.以上都不是
解析：因为an＝＝2－，所以当n≥2时，an－an－1＝（2－）－（2－）＝－＝＞0，所以数列{an}是递增数列.
（2）已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}的最大项与最小项之和为 2 .
解析：an＝＝＝1＋，当n≥11时，＞0，且单调递减；当1≤n≤10时，＜0，且单调递减，所以数列{an}的最大项为a11，最小值为a10，所以数列{an}的最大项与最小项之和为a11＋a10＝＋＝3－1＝2.
斐波那契数列
通过教材P10阅读与思考我们知道，对于这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，从第3项起，每一个数都等于它前面两个数的和，此数列称为“斐波那契数列”，其递推公式满足a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2（n＞2）.
【问题探究】
根据斐波那契数列，你能证明下列性质成立吗？
（1）Sn＝－1；
证明： Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝（a3－a2）＋（a4－a3）＋（a5－a4）＋…＋（an＋1－an）＋（an＋2－an＋1）＝an＋2－a2＝an＋2－1，即Sn＝an＋2－1.
（2）a1＋a3＋a5＋…＋＝；
证明：由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2n－1＝a2n－a2n－2，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n.
（3）a2＋a4＋a6＋…＋＝a2n＋1－1；
证明：由a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2n＝a2n＋1－a2n－1，可得a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－a1＝a2n＋1－1.
（4）＋＋＋…＋＝anan＋1，即＝anan＋1.
证明：由斐波那契数列，有an＋2＝an＋1＋an，
则＝a2a1，
＝a2（a3－a1）＝a2a3－a2a1，
＝a3（a4－a2）＝a3a4－a2a3，
…，
＝an（an＋1－an－1）＝anan＋1－anan－1，
所以＋＋＋…＋＝anan＋1，
即＝anan＋1.
【迁移应用】
〔多选〕已知数列{an}为斐波那契数列，a1＝1，a2＝1，an－2＋an－1＝an（n≥3），Sn为其前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A.a14＝377
B.S12＝375
C.a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝a2 026
D.＝a2 026
解析：ACD 对于A，写出数列的前14项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，故A正确；对于B，由性质S12＝a14－1＝376，故B错误；对于C，由性质a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n，故C正确；对于D，由性质＋＋＋…＋＝anan＋1，故D正确.
1.已知数列{an}满足an＞0，且an＋1＝an，则数列{an}是（ ）
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.以上都不是
解析：B 因为＝＜1，an＞0，所以an＋1＜an，故数列{an}为递减数列.
2.已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 025＝（ ）
A.－1 B.
C.1 D.2
解析：A 由a1＝，an＋1＝得a2＝2，a3＝－1，a4＝，a5＝2，…，可知数列{an}是以3为周期的周期数列，因此a2 025＝a3×675＝a3＝－1.
3.数列{－2n2＋29n＋3}中最大的项是（ ）
A.107 B.108
C.108 D.109
解析：B 因为－2n2＋29n＋3＝－2（n2－n）＋3＝－2（n－）2＋，所以当n＝7时，－2n2＋29n＋3取得最大值108，故选B.
4.已知数列{an}中， an＝k·（）n，若{an}是递增数列，则实数k的取值范围为 （－∞，0） .
解析：因为an＝k·， {an}是递增数列，所以an＋1－an＝k·－k·＝·（k－k）＝－k·＞0对任意的n∈N*恒成立，所以－k＞0，解得k＜0，所以实数k的取值范围是（－∞，0）.
课堂小结
1.理清单
（1）数列的周期性；
（2）判断数列的单调性；
（3）数列的最大项与最小项问题.
2.应体会
判断数列的单调性及求数列的最大、小项问题要注意函数思想的应用.
3.避易错
利用作商法判断函数的单调性时，要注意an的符号.
1.已知数列{an}的通项公式为an＝，按项的变化趋势，该数列是（ ）
A.递增数列
B.递减数列
C.摆动数列
D.常数列
解析：B 因为an＝＝，显然随着n的增大，2－是递增的，故an是递减的，则数列{an}是递减数列，故选B.
2.对任意的a1∈（0，1），由关系式an＋1＝f（an）得到的数列{an}满足an＋1＞an（n∈N*），则函数y＝f（x）的图象可能是（ ）
解析：A 根据题意，由关系式an＋1＝f（an）得到的数列{an}满足an＋1＞an，即函数y＝f（x）的图象上任意点（x，y）都满足y＞x.结合图象，可知只有A满足，故选A.
3.若数列{an}满足anan＋1an＋2an＋3＝20，则a100＝（ ）
A.a1 B.a2
C.a3 D.a4
解析：D 由anan＋1an＋2an＋3＝20得an＋1an＋2an＋3an＋4＝20，所以an＝an＋4，于是数列{an}的周期为4，所以a100＝a4.故选D.
4.已知数列{an}的通项公式为an＝，其最大项和最小项的值分别为（ ）
A.1，－ B.0，－
C.，－ D.1，－
解析：A 因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，an＝＜0，且单调递减；当n≥4时，an＝＞0，且单调递减，所以最小项为a3＝＝－，最大项为a4＝＝1.故选A.
5.设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是递增数列，则实数b的取值范围为（ ）
A.[1，＋∞） B.[－2，＋∞）
C.（－3，＋∞） D.（－，＋∞）
解析：C 因为函数f（n）＝n2＋bn图象的对称轴方程为n＝－，结合二次函数的图象可知当－＜，即b＞－3时，单调递增.
6.〔多选〕已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－n2＋8n，则（ ）
A.{an}是递减数列
B.a10＝－11
C.当n＞4时，an＞0
D.当n＝4时，Sn取得最大值
解析：ABD 数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋8n－[－（n－1）2＋8（n－1）]＝－2n＋9，a1＝S1＝7满足上式，因此an＝－2n＋9，对于A，an＋1－an＝－2＜0，即an＋1＜an，因此{an}是递减数列，A正确；对于B，a10＝－11，B正确；对于C，当n＞4时，an≤a5＝－1＜0，C错误；对于D，当n≤4时，an≥a4＝1＞0，数列{an}前4项都为正，从第5项起都为负，因此当n＝4时，Sn取得最大值，D正确.故选A、B、D.
7.〔多选〕若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1（n≥3），记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是（ ）
A.Tn无最大值
B.an有最大值
C.T2 025＝1
D.a2 025＝2
解析：BD ∵a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1（n≥3），∴a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，…，因此数列{an}是周期为6的周期数列，an＋6＝an，∴an有最大值2，a2 025＝a3＝2，又∵T1＝1，T2＝2，T3＝4，T4＝4，T5＝2，T6＝1，T7＝1，T8＝2，…，∴{Tn}是周期为6的周期数列，Tn＋6＝Tn，∴Tn有最大值4，T2 025＝T3＝4.故选B、D.
8.已知数列{an}的通项公式为an＝｜n－｜，则an的最小项为 ，此时n的值为 3 .
解析：因为an＝｜n－｜，所以当n＝1，2，3时，an＝－n，此时an的最小项为，对应的n＝3；当n＞3，n∈N*时，an＝n－，此时an的最小项为，对应的n＝4.综上所述，an的最小项为，此时n＝3.
9.请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；②{an}为单调递增数列；③0＜an＜2.这个数列的通项公式可以是 an＝2－（答案不唯一） .
解析：因为函数an＝2－的定义域为N*，且an＝2－在N*上单调递增，0＜2－＜2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是an＝2－.
10.在数列{an}中，已知an＝－（n≥2，n∈N*）.
（1）求证an＋2＝an；
（2）若a4＝4，求a20的值；
（3）若a1＝1，求a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7的值.
解：（1）证明：当n≥1时，因为an＋2＝an＋1＋1＝－＝－＝an，所以an＋2＝an成立.
（2）由（1）知数列{an}是以2为周期的周期数列，所以a20＝a4＝4.
（3）因为a1＝1，所以a2＝－1，因为数列的周期为2，所以（a1＋a2）＋（a3＋a4）＋（a5＋a6）＋a7＝a1＝1.
11.已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝3n－1.
（1）求a1，a2和an；
（2）证明：数列{an}为递增数列.
解：（1）因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝3n－1， ①
当n＝1时，a1＝31－1＝2.
当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝3n－1－1， ②
由①－②得nan＝3n－3n－1＝2·3n－1，
所以an＝，
当n＝1时，a1＝＝2，所以a1也满足an＝，
当n＝2时，a2＝＝3，
故a1＝2，a2＝3，an＝，n∈N*.
（2）证明：由（1）知，an＝，
易知an＞0，
则＝＝，
又－1＝＞0对一切n∈N*恒成立，所以＝＞1，
得到an＋1＞an对一切n∈N*恒成立，所以数列{an}为递增数列.
12.已知数列{an}中，an＝1＋（n∈N*，a∈R且a≠0）.
（1）若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
（2）若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.
解：（1）当a＝－7时，an＝1＋（n∈N*）.
结合函数f（x）＝1＋的单调性，
可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1（n∈N*）.
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
（2）an＝1＋＝1＋，
已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
结合函数f（x）＝1＋的单调性，
可知5＜＜6，
即－10＜a＜－8，
即a的取值范围是（－10，－8）.
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