章末检测（四） 数列
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.观察数列，－，（ ），－，，（ ），…的特点，则括号中应分别填入（ ）
A.，－ B.－，
C.，－ D.，－
2.在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则a1＋a13＝（ ）
A.10 B.20
C.30 D.40
3.等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝（ ）
A. B.2
C. D.3
4.设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Tn，则T2 025＝（ ）
A.－2 B.1
C.－1 D.2
5.记Sn为数列{an}的前n项和，则“{an}为等比数列”是“＝Sn（Sn＋2－S2）”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
6.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝（ ）
A.120 B.85
C.－85 D.－120
7.满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2（n≥3）的数列{an}称为斐波那契数列，又称黄金分割数列.依次以斐波那契数列{an}各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90°的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线（也称“黄金螺旋线”）.如图，圆心角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段，则阴影部分面积与扇形OAB面积的比值为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知数列{an}满足a1＝，＝，若a1＋a1a2＋a1a2a3＋…＋a1a2…an≤成立，则n的最大值为（ ）
A.4 B.6
C.8 D.10
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1（n∈N*），则下列结论正确的是（ ）
A.a5＝－16
B.S5＝－31
C.数列{an}是等比数列
D.数列{Sn＋1}是等比数列
10.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是（ ）
A.a4＝0 B.Sn的最大值为S3
C.S1＝S6 D.｜a3｜＜｜a5｜
11.若数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”.已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且通项公式为bn＝n，设数列{}的前n项和为Tn，若Tn＜m2－m－1对一切n∈N*恒成立，则实数m的值可以为（ ）
A.－2 B.0
C.2 D.3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝ .
13.在等差数列{an}中，前m（m为奇数）项和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则a100＝ .
14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，＝，则＝ .
四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an.
（1）求{an}的通项公式；
（2）数列{bn}是等差数列，Sn为{bn}的前n项和，若b1＝a1＋a2＋a3，b3＝a3，求Sn.
16.（本小题满分15分）已知数列{an}为等差数列，a1＝1，a2＋a4＝10，数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝2bn＋1.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：数列{bn＋1}是等比数列；
（3）设cn＝＋log2（bn＋1），求数列{cn}的前n项和Sn.
17.（本小题满分15分）近几年，电动汽车领域有了长足的发展.某公司今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.
（1）引进该生产线满几年时总盈利最大，最大是多少万元？
（2）引进该生产线满几年时平均盈利最多，最多是多少万元？
18.（本小题满分17分）已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，n＝1，2，…，其中a，b均为正整数，a1＜b1＜a2＜b2＜a3.
（1）求a的值；
（2）若存在实数m，n满足关系式am＋1＝bn，试求b；
（3）对于满足（2）中关系式的am，试求a1＋a2＋…＋am.
19.（本小题满分17分）在如图所示的三角形数阵中，第n行有n个数，aij表示第i行第j个数，例如，a43表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）.已知a11＝2，a41＝a32＋2，＝m.
（1）求m及a53；
（2）记Tn＝a11＋a22＋a33＋…＋ann，求Tn.
3 / 3章末检测（四） 数列
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.观察数列，－，（ ），－，，（ ），…的特点，则括号中应分别填入（ ）
A.，－ B.－，
C.，－ D.，－
解析：D 由题可得数列的通项公式an＝（－1）n＋1·，∴a3＝，a6＝－.故选D.
2.在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则a1＋a13＝（ ）
A.10 B.20 C.30 D.40
解析：D 由已知，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，则a7＝20，所以a1＋a13＝2a7＝40.故选D.
3.等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝（ ）
A. B.2
C. D.3
解析：B 由S6＝9S3可知q≠1，故＝＝1＋q3＝9，∴q＝2，故S5＝＝＝62，故a1＝2，故选B.
4.设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Tn，则T2 025＝（ ）
A.－2 B.1
C.－1 D.2
解析：C 由a1＝2，an＋1＝1－，得a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，…，则数列{an}是以3为周期的周期数列，又a1a2a3＝2××（－1）＝－1，且2 025＝3×675，∴T2 025＝（－1）675＝－1.故选C.
5.记Sn为数列{an}的前n项和，则“{an}为等比数列”是“＝Sn（Sn＋2－S2）”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析：A 若{an}是等比数列，则a2＋a3＋…＋an＋1＝q（a1＋a2＋a3＋…＋an），a3＋a4＋…＋an＋2＝q（a2＋a3＋…＋an＋1），所以（a2＋a3＋…＋an＋1）2＝（a3＋a4＋…＋an＋2）（a1＋a2＋…＋an），即（Sn＋1－S1）2＝Sn（Sn＋2－S2）.若（Sn＋1－S1）2＝Sn（Sn＋2－S2），令an＝0满足条件，但{an}不是等比数列.所以是充分不必要条件.故选A.
6.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝（ ）
A.120 B.85 C.－85 D.－120
解析：C 法一 设等比数列{an}的公比为q，首项为a1，若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，与题意不符，所以q≠1；由S4＝－5，S6＝21S2可得，＝－5，＝21×①.由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得：q2＝4，所以S8＝＝×（1＋q4）＝－5×（1＋16）＝－85.故选C.
法二 设等比数列{an}的公比为q，因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否则S4＝0，从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，所以＝S2（21S2＋5），解得：S2＝－1或S2＝，当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8＋21，易知S8＋21＝－64，即S8＝－85；当S2＝时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝（a1＋a2）（1＋q2）＝（1＋q2）S2＞0，与S4＝－5矛盾，舍去.故选C.
7.满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2（n≥3）的数列{an}称为斐波那契数列，又称黄金分割数列.依次以斐波那契数列{an}各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90°的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线（也称“黄金螺旋线”）.如图，圆心角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段，则阴影部分面积与扇形OAB面积的比值为（ ）
A. B.
C. D.
解析：C 由题意得，a1＝a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5，则阴影部分面积为（＋＋＋＋）＝×（12＋12＋22＋32＋52）＝10π，扇形OAB的面积为＝16π，所以所求比值为＝.故选C.
8.已知数列{an}满足a1＝，＝，若a1＋a1a2＋a1a2a3＋…＋a1a2…an≤成立，则n的最大值为（ ）
A.4 B.6
C.8 D.10
解析：B 因为数列{an}满足a1＝，＝，可得＝＋1，可得数列{}是首项为3，公差为1的等差数列，则＝3＋n－1＝n＋2，即an＝，则a1a2a3…an＝×××…×·＝＝2（－），可得a1＋a1a2＋a1a2a3＋…＋a1a2a3…an＝2（－＋－＋－＋…＋－）＝2（－）＝1－，因为a1＋a1a2＋a1a2a3＋…＋a1a2…an≤，可得≥，解得n≤6，即所求n的最大值为6.故选B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1（n∈N*），则下列结论正确的是（ ）
A.a5＝－16 B.S5＝－31
C.数列{an}是等比数列 D.数列{Sn＋1}是等比数列
解析：ABC 因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1（n∈N*），所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，故C正确；因此a5＝－1×24＝－16，故A正确；又Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B正确；因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比数列，故D错误.故选A、B、C.
10.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是（ ）
A.a4＝0 B.Sn的最大值为S3
C.S1＝S6 D.｜a3｜＜｜a5｜
解析：AC 设等差数列{an}的公差为d，则a1＋3（a1＋4d）＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，所以an＝a1＋（n－1）d＝（n－4）d，所以a4＝0，故A正确；因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于d的正负不清楚，故S3可能为最大值或最小值，故B不正确；因为a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即｜a3｜＝｜a5｜，故D不正确.故选A、C.
11.若数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”.已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且通项公式为bn＝n，设数列{}的前n项和为Tn，若Tn＜m2－m－1对一切n∈N*恒成立，则实数m的值可以为（ ）
A.－2 B.0
C.2 D.3
解析：AD 由题意，得数列{an}的前n项和为Sn，由“均值数列”的定义可得＝n，所以Sn＝n2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1，a1＝1也满足an＝2n－1，所以an＝2n－1，所以＝＝（－），所以Tn＝（1－＋－＋…＋－）＝（1－）＜，又Tn＜m2－m－1对一切n∈N*恒成立，所以m2－m－1≥，整理得m2－2m－3≥0，解得m≤－1或m≥3.即实数m的取值范围为（－∞，－1]∪[3，＋∞）.故选A、D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝ .
解析：设{an}的公比为q，q＞0，且＝1，∴a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－（舍去）∴a1＝＝4，S5＝＝8×（1－）＝.
13.在等差数列{an}中，前m（m为奇数）项和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则a100＝ 101 .
解析：∵在前m项中偶数项之和为S偶＝63，∴奇数项之和为S奇＝135－63＝72，设等差数列{an}的公差为d，则S奇－S偶＝＝72－63＝9.又am＝a1＋d（m－1），∴＝9，∵am－a1＝14，∴a1＝2，am＝16.∵＝135，∴m＝15，∴d＝＝1，∴a100＝a1＋99d＝101.
14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，＝，则＝ .
解析：设等差数列{an}的公差为d，因为＝，a1＝3，所以＝＝，则a2＝2a1＝a1＋d＝6，故d＝3，所以Sn＝3n＋×3＝，则＝＝（－），所以＝＋＋＋…＋＝（1－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）＝（1－）＝.
四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an.
（1）求{an}的通项公式；
解：因为a1＝1，an＋1＝3an，
所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1.
（2）数列{bn}是等差数列，Sn为{bn}的前n项和，若b1＝a1＋a2＋a3，b3＝a3，求Sn.
解：由（1）得，b1＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13，b3＝9，设{bn}的公差为d，则b3－b1＝2d＝－4，d＝－2，所以Sn＝13n＋×（－2）＝－n2＋14n.
16.（本小题满分15分）已知数列{an}为等差数列，a1＝1，a2＋a4＝10，数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝2bn＋1.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：数列{bn＋1}是等比数列；
（3）设cn＝＋log2（bn＋1），求数列{cn}的前n项和Sn.
解：（1）设{an}的公差为d，则a1＋d＋a1＋3d＝10，又a1＝1，解得d＝2，
则an＝1＋2（n－1）＝2n－1，故所求通项公式为an＝2n－1.
（2）证明：由于b1＋1＝2≠0，bn＋1＋1＝2bn＋1＋1＝2（bn＋1），
故{bn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.
（3）由（2）知，{bn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，从而bn＋1＝2n，cn＝＋log2（bn＋1）＝22n－1＋log22n＝22n－1＋n，
分别使用等比数列和等差数列的求和公式，可得Sn＝＋＝－＋.
所以Sn＝－＋.
17.（本小题满分15分）近几年，电动汽车领域有了长足的发展.某公司今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.
（1）引进该生产线满几年时总盈利最大，最大是多少万元？
（2）引进该生产线满几年时平均盈利最多，最多是多少万元？
解：（1）设引进该生产线满n年时的总盈利为Sn，
根据条件可知，每年的人工、维修等费用是首项为24，公差为8的等差数列，
则Sn＝100n－［n×24＋×8］－196
＝－4n2＋80n－196＝－4（n－10）2＋204，
所以当n＝10，即引进该生产线满10年时，总盈利最大，最大值为204万元.
（2）设引进该生产线满n年时的平均盈利为Tn，由（1）可知，
Tn＝＝－4n－＋80＝－（4n＋）＋80≤－2＋80＝24，
当4n＝，即n＝7时，等号成立，
所以引进该生产线满7年时的平均盈利最多，最多为24万元.
18.（本小题满分17分）已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，n＝1，2，…，其中a，b均为正整数，a1＜b1＜a2＜b2＜a3.
（1）求a的值；
（2）若存在实数m，n满足关系式am＋1＝bn，试求b；
（3）对于满足（2）中关系式的am，试求a1＋a2＋…＋am.
解：（1）a1＜b1＜a2＜b2＜a3，即a＜b＜a＋b＜ab＜a＋2b.
因为a，b均为正整数且a＜b，
可由ab＜a＋2b得a＜＋2＜3，
又由a＋b＜ab可得a＞＋1＞1，故a＝2.
（2）an＝a＋（n－1）b，bn＝ban－1.
由am＋1＝bn得a＋（m－1）b＋1＝ban－1，即b＝∈N*.
由（1）知b＞a＝2，只有b＝3.
（3）由（2）知bn＝3×2n－1，am＝bn－1＝3×2n－1－1.
记{cn}是{an}中所有满足am＋1＝bn的项从小到大依次组成的数列，
则数列{cn}的前n项的和就是a1＋a2＋…＋am的值.
所以当cn＝3×2n－1－1时，
a1＋a2＋…＋am＝c1＋c2＋…＋cn＝3（1＋2＋…＋2n－1）－n＝3（2n－1）－n.
19.（本小题满分17分）在如图所示的三角形数阵中，第n行有n个数，aij表示第i行第j个数，例如，a43表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）.已知a11＝2，a41＝a32＋2，＝m.
（1）求m及a53；
（2）记Tn＝a11＋a22＋a33＋…＋ann，求Tn.
解：（1）由已知得a31＝a11＋（3－1）×m＝2m＋2，
a32＝a31×m＝（2m＋2）×m＝2m2＋2m，
a41＝a11＋（4－1）×m＝3m＋2，
∵a41＝a32＋2，
∴3m＋2＝（2m2＋2m）＋2，即m2－2m＝0.
又m＞0，∴m＝2，
∴a51＝a11＋4×2＝10，∴a53＝a51×22＝40.
（2）由（1）得an1＝a11＋（n－1）×2＝2n.
当n≥3时，ann＝an1·2n－1＝n·2n. （*）
又a21＝a11＋2＝4，a22＝ma21＝2×4＝8.
a11＝2，a22＝8符合（*）式，
∴ann＝n·2n.
∵Tn＝a11＋a22＋a33＋…＋ann，
∴Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋n·2n， ①
2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n－1）·2n＋n·2n＋1， ②
由①－②得，－Tn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝（1－n）·2n＋1－2，
∴Tn＝（n－1）·2n＋1＋2.
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