第二课时 数列的递推公式
1.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是（ ）
A.an＝an－1＋2（n≥2）
B.an＝2an－1（n≥2）
C.a1＝2，an＝an－1＋2（n≥2）
D.a1＝2，an＝2an－1（n≥2）
2.设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a9＝（ ）
A.15 B.17
C.49 D.64
3.已知a1＝1，an＝an－1＋3（n≥2，n∈N*），则数列的通项公式为（ ）
A.an＝3n＋1 B.an＝3n
C.an＝3n－2 D.an＝3（n－1）
4.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，则a11＝（ ）
A.512 B.256
C.2 048 D.1 024
5.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝（n＋1）·an（n∈N*），且a1＝2，则数列{an}的通项公式为（ ）
A.－n－1 B.－n
C.n＋1 D.2n
6.〔多选〕符合递推公式an＝an－1的数列是（ ）
A.1，2，3，4，…
B.1，，2，2，…
C.3，3，6，6，…
D.0，，2，2，…
7.〔多选〕已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，下列说法正确的是（ ）
A.a1＝3
B.an＝2n（n≥2）
C.an＝2n
D.an＝2n（n≥2）
8.数列{an}中，已知a1＝5，且an＋1＝an＋（－1）n，则a10＝ .
9.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln（1＋），则数列{an}的通项公式an＝ .
10.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2（n≥3）给出.
（1）写出此数列的前5项；
（2）通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项.
11.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足an＋2＝an＋1＋an（n≥1），那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝（ ）
A.a2 023 B.a2 024
C.a2 025 D.a2 026
12.〔多选〕由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝，则（ ）
A.b3＝5 B.b4＝9
C.b5＝15 D.b6＝33
13.已知数列{an}满足4n－1a1＋4n－2a2＋…＋an＝n（n∈N*），则an＝ .
14.（1）已知数列{an}中，a1＝1，当n∈N*且n≥2时，（2n＋1）an＝（2n－3）an－1，求通项公式an；
（2）已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1＋（n≥2），求an.
15.已知数列{an}满足：a1＝m（m为正整数），an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值.
2 / 2第二课时 数列的递推公式
课标要求 情境导入
1.了解数列递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的项（逻辑推理）. 2.理解数列的前n项和Sn与an的关系（数学运算）. 观察某次智力测试中的一道题，数列1，3，6，10，15，…中数字出现的规律是： a2－a1＝3－1＝2， a3－a2＝6－3＝3， a4－a3＝10－6＝4， a5－a4＝15－10＝5， …… 你能用an＋1与an的一个数学表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？这就是这节课我们要学习的内容.
知识点一｜数列的递推公式
问题1 观察如图所示的钢管堆放示意图：
（1）如果最上面一层为第一层，记第n层的钢管数为an，你能写出an的一个表达式吗？
提示：an＝n＋3（1≤n≤7）.
（2）你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？
提示：自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，即a1＝4，a2＝5＝4＋1＝a1＋1，a3＝6＝5＋1＝a2＋1.依此类推：an＝an－1＋1（2≤n≤7）.
【知识梳理】
如果一个数列的 相邻 两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
提醒：（1）与数列通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式；（2）注意通项公式反映的是an与n之间的关系，递推公式反映的是项与项之间的关系.
【例1】 （链接教材P6例5）已知数列{an}中，a1＝1，且满足an＝3an－1＋（n∈N*，且n＞1），写出数列{an}的前5项.
解：由题意，得a2＝3a1＋，
而a1＝1，所以a2＝3×1＋＝.
同理a3＝3a2＋＝10，a4＝3a3＋＝，a5＝3a4＋＝91.
【规律方法】
由递推公式写出数列的项的方法
（1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可；
（2）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
训练1 （1）在数列{an}中，an＋1＝若a1＝，则a4＝（ C ）
A. B.
C. D.
解析：因为an＋1＝a1＝，所以a2＝2a1－1＝，a3＝2a2－1＝，a4＝2a3＝.
（2）已知数列{an}满足an＋1＝，a5＝2，则a1＝ .
解析：因为an＋1＝，a5＝2，令n＝4，2＝，所以a4＝，令n＝3，＝，所以a3＝－1，令n＝2，－1＝，所以a2＝2，令n＝1，2＝，所以a1＝.
知识点二｜由递推公式求通项公式
问题2 通项公式与递推公式都是表示数列的常见方法，你能比较一下它们的异同吗？
提示：相同点：都可以求出数列的任何一项.
不同点：通项公式给定任何一个序号n即可求项an；递推公式要求任一项，需先确定它的前后项.
【例2】 （1）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an＝（ B ）
A. B.
C. D.
解析：法一（归纳法） 数列的前5项分别为a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，a3＝＋－＝2－＝，a4＝＋－＝2－＝，a5＝＋－＝2－＝，所以an＝2－＝（n≥2），又a1＝1满足上式，由此可得数列的一个通项公式为an＝.
法二（迭代法） a2＝a1＋1－，a3＝a2＋－，…，an＝an－1＋－（n≥2），则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－＝2－＝（n≥2）.又a1＝1也适合上式，所以an＝（n∈N*）.
法三（累加法） an＋1－an＝－，a1＝1，a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－an－1＝－（n≥2），以上各式相加得an＝1＋1－＋－＋…＋－.所以an＝（n≥2）.因为a1＝1也适合上式，所以an＝（n∈N*）.
（2）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an（n∈N*），则an＝（ D ）
A.n＋1 B.n
C. D.
解析：法一（累乘法） 因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an（n∈N*），所以＝，所以an＝··…···a1＝××…×××1＝.
法二（构造特殊数列法） 因为an＋1＝an（n∈N*），所以（n＋1）＝nan，所以数列{nan}是常数列，所以nan＝1·a1＝1，所以an＝.
【规律方法】
由递推公式求通项公式的常用方法
（1）归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式；
（2）迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f（n）（f（n）是可以求和的），使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan（p为非零常数），或an＋1＝f（n）an（f（n）是可以求积的），使用累乘法或迭代法；
③an＋1＝pan＋q（p，q为非零常数），适当变形后转化为②中的形式解决.
训练2 （1）已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－（n≥2），求an；
解：因为an＝an－1＋－（n≥2），
所以an－an－1＝－.
所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝（－）＋（－）＋…＋（－）＋1＝－＋1.
又a1＝1也符合上式，
所以an＝－＋1，n∈N*.
（2）已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1（n≥2），求an.
解：因为ln an－ln an－1＝1，所以ln＝1，即＝e（n≥2）.
所以an＝··…··a1＝·1＝en－1（n≥2），
又a1＝1也符合上式，
所以an＝en－1，n∈N*.
知识点三｜an与Sn的关系
问题3 如果我们把数列{an}的前n项加在一起的和记作Sn，那么你能用它表示a2吗？a6＋a7＋a8＋a9＋a10怎么表示？an呢？
提示：a2＝S2－S1，a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝S10－S5，an＝
【知识梳理】
1.数列{an}的前n项和
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作 Sn ，即Sn＝ a1＋a2＋…＋an .
2.数列{an}的前n项和公式
如果数列{an}的前n项和 Sn 与它的 序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
3.an与Sn的关系
an＝
提醒：在应用数列的前n项和公式求通项时，往往容易忽略验证n＝1时的情况，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形.
【例3】 （链接教材P7思考）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an.
解：因为Sn＝2n2－30n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2（n－1）2－30（n－1）]＝4n－32，
且当n＝1时，a1＝4×1－32＝－28，依然成立，
所以an＝4n－32，n∈N*.
变式 （1）将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an；
解：因为Sn＝2n2－30n＋1，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n＋1－[2（n－1）2－30（n－1）＋1]＝4n－32.
当n＝1时不适合上式.
所以an＝
（2）若数列{an}满足a1a2a3…an＝n2，求an.
解：由a1a2a3…an＝n2，
可得n≥2时，有a1a2a3…an－1＝（n－1）2，
两式相除得an＝＝（）2，n≥2.
当n＝1时，a1＝12＝1不适合上式，
所以an＝
【规律方法】
由Sn求通项公式an的步骤
（1）当n＝1时，a1＝S1；
（2）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；
（3）验证a1与an的关系：①若a1适合an（n≥2），则an＝Sn－Sn－1；②若a1不适合an（n≥2），则an＝
训练3 （1）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝ ；
解析：当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝（2n＋2－3）－（2n＋1－3）＝2n＋1，当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，故an＝
（2）已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝ .
解析：当n＝1时，由已知可得a1＝21＝2.由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n①，可得当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）＝②，由①－②得nan＝2n－＝（n≥2），∴an＝（n≥2）.显然a1＝2不适合上式，∴an＝
1.已知在数列{an}中，a1＝2，＝an＋n（n∈N*），则a4＝（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
解析：D 因为a1＝2，＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
2.已知数列{an}满足a1＝1， －＝1，则a10＝（ ）
A.10 B.20
C.100 D.200
解析：C 数列{an}满足a1＝1，－＝1，可得＝1，－＝1，－＝1，…，－＝1，叠加可得＝10，所以a10＝100.
3.若数列{an}满足（n－1）an＝（n＋1）an－1（n≥2，n∈N*），且a1＝1，则a100＝ 5 050 .
解析：由（n－1）an＝（n＋1）an－1，得＝（n≥2，n∈N*），则a100＝a1···…·＝1×××…×＝ 5 050.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn，
（1）若Sn＝3n＋2，则数列{an}的通项公式为an＝ ；
解析：当n＝1时，a1＝S1＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋2）－（3n－1＋2）＝2·3n－1，a1＝5不满足上式，故an＝
（2）若Sn＝n2－n，则数列{an}的通项公式为an＝ 2n－2 .
解析：当n＝1时，a1＝S1＝12－1＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（n2－n）－[（n－1）2－（n－1）]＝2n－2，又a1＝0满足an＝2n－2，故an＝2n－2.
课堂小结
1.理清单
（1）数列的递推公式；
（2）由数列的递推公式求通项公式；
（3）数列的前n项和Sn与an的关系.
2.应体会
利用递推公式求数列的通项公式时，利用了迭代法、累加法、累乘法.
3.避易错
（1）累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；
（2）由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况.
1.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是（ ）
A.an＝an－1＋2（n≥2）
B.an＝2an－1（n≥2）
C.a1＝2，an＝an－1＋2（n≥2）
D.a1＝2，an＝2an－1（n≥2）
解析：C A、B中没有说明第一项，无法递推；D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意.故选C.
2.设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a9＝（ ）
A.15 B.17
C.49 D.64
解析：B 由已知，a9＝S9－S8＝92－82＝17.
3.已知a1＝1，an＝an－1＋3（n≥2，n∈N*），则数列的通项公式为（ ）
A.an＝3n＋1 B.an＝3n
C.an＝3n－2 D.an＝3（n－1）
解析：C 因为an＝an－1＋3，所以an－an－1＝3.所以a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，以上各式两边分别相加，得an－a1＝3（n－1），因为a1＝1，所以an＝a1＋3（n－1）＝1＋3（n－1）＝3n－2.当n＝1时，也适合上式，所以an＝3n－2.
4.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，则a11＝（ ）
A.512 B.256
C.2 048 D.1 024
解析：D 因为an＋1＝2an，即＝2，所以＝2，＝2，…，＝2，累乘可得a11＝1 024.
5.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝（n＋1）an（n∈N*），且a1＝2，则数列{an}的通项公式为（ ）
A.－n－1 B.－n
C.n＋1 D.2n
解析：D 因为2Sn＝（n＋1）an，n∈N*，所以2Sn＋1＝（n＋2）an＋1，n∈N*，两式相减得2an＋1＝（n＋2）·an＋1－（n＋1）an，整理得nan＋1＝（n＋1）an，得＝，n∈N*，所以为常数列，所以＝＝2，所以an＝2n.
6.〔多选〕符合递推公式an＝an－1的数列是（ ）
A.1，2，3，4，… B.1，，2，2，…
C.3，3，6，6，… D.0，，2，2，…
解析：BC B与C中从第2项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.A中，后一项与前一项之差为1，递推公式为an＝an－1＋1.D中，无法推出递推公式.综上，B、C正确.
7.〔多选〕已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，下列说法正确的是（ ）
A.a1＝3 B.an＝2n（n≥2）
C.an＝2n D.an＝2n（n≥2）
解析：AD 当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n＋1－1）－（2n－1）＝2n.当n＝1时，不符合上式，故an＝
8.数列{an}中，已知a1＝5，且an＋1＝an＋（－1）n，则a10＝ 4 .
解析：因为an＋1＝an＋（－1）n，所以an＋1－an＝（－1）n，所以a10＝a10－a9＋a9－a8＋…＋a2－a1＋a1＝（－1）9＋（－1）8＋…＋（－1）1＋5＝4.
9.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln（1＋），则数列{an}的通项公式an＝ 2＋ln n .
解析：a2＝a1＋ln（1＋），a3＝a2＋ln（1＋），…，an＝an－1＋ln（1＋）（n≥2），则an＝a1＋ln（×××…×）＝2＋ln n（n≥2）.又a1＝2＝2＋ln 1，所以an＝2＋ln n.
10.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2（n≥3）给出.
（1）写出此数列的前5项；
解：（1）因为an＝an－1＋an－2（n≥3），且a1＝1，a2＝2，
所以a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
（2）通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项.
解：因为bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
所以b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.
故数列{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.
11.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足an＋2＝an＋1＋an（n≥1），那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝（ ）
A.a2 023 B.a2 024
C.a2 025 D.a2 026
解析：C 由于an＋2＝an＋1＋an（n≥1），则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a5＋a6＋…＋a2 024＝a2 023＋a2 024＝a2 025.
12.〔多选〕由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝，则（ ）
A.b3＝5 B.b4＝9
C.b5＝15 D.b6＝33
解析：ABD 因为an＝2n－1，bn＝，所以b2＝＝a2＝3，b3＝＝a3＝5，b4＝＝a5＝9，b5＝＝a9＝17，b6＝＝a17＝33.
13.已知数列{an}满足4n－1a1＋4n－2a2＋…＋an＝n（n∈N*），则an＝ 4－3n .
解析：由4n－1a1＋4n－2a2＋…＋an＝n（n∈N*），可得＋＋…＋＝（n∈N*），所以＋＋…＋＝（n∈N*，n≥2），两式相减得＝－＝＝（n∈N*，n≥2），所以an＝4－3n（n∈N*，n≥2），当n＝1时，41－1a1＝1，所以a1＝1，适合上式，所以an＝4－3n.
14.（1）已知数列{an}中，a1＝1，当n∈N*且n≥2时，（2n＋1）an＝（2n－3）an－1，求通项公式an；
（2）已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1＋（n≥2），求an.
解：（1）当n≥2时，因为（2n＋1）an＝（2n－3）·an－1，所以＝，
所以···…··＝×××…××＝.
所以＝，所以an＝，
当n＝1时，a1＝1符合上式，所以an＝.
（2）因为an＝an－1＋（n≥2），
所以an－an－1＝＝－，
所以a2－a1＝－，a3－a2＝－，…，an－an－1＝－（n≥2）.
以上各式相加，得an－a1＝－（n≥2），所以an＝a1＋－＝（n≥2），
又a1＝适合上式，所以an＝.
15.已知数列{an}满足：a1＝m（m为正整数），an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值.
解：若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1.
若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0（舍去），
若a2为偶数，则＝1，a2＝2.
若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝（舍去），
若a1为偶数，则＝2，a1＝4；
若a3为偶数，则＝4，a3＝8.
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝（舍去），
若a2为偶数，则＝8，a2＝16.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5，
若a1为偶数，则＝16，a1＝32.
故m所有可能的取值为4，5，32.
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