第二课时 等差数列的判定及性质
课标要求 情境导入
1.掌握等差数列的判定与证明的方法（逻辑推理、数学运算）. 2.掌握等差数列的性质及应用（逻辑推理、数学运算）. 如图，第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球.通过上一节的学习我们已经知道了相邻两层球的个数之间的规律，那么每隔一层的球的个数又有什么规律呢？每隔二层呢？这就是这节课我们要学习的内容.
知识点一｜等差数列的通项公式与一次函数的关系
问题1 我们知道，数列是一种特殊的函数，根据等差数列的通项公式，你认为它与哪一类函数有关？
提示：一次函数.由于an＝a1＋（n－1）d＝dn＋（a1－d），故an是函数f（x）＝dx＋（a1－d）当x＝n时的函数值，即an＝f（n），点（n，an）则是函数f（x）＝dx＋（a1－d）图象上均匀分布的孤立的点，其中d是直线f（x）＝dx＋（a1－d）的斜率.
【知识梳理】
1.等差数列和一次函数的关系
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f（n）＝a1＋（n－1）d＝nd＋（a1－d），n∈N*.
（1）点（n，an）落在直线y＝dx＋（a1－d）上；
（2）这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加 d .
2.由等差数列和一次函数的关系可知，等差数列的单调性受公差d的影响.
（1）当d ＞ 0时，数列为递增数列，如图1；
（2）当d ＜ 0时，数列为递减数列，如图2；
（3）当d ＝ 0时，数列为常数列，如图3.
【例1】 〔多选〕下列判断正确的是（ ）
A.等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列
B.若an＝kn＋b（k，b为常数，n∈N*），则数列{an}是等差数列
C.等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率
D.若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0
解析：BCD A项，公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列；因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，公差是一次函数图象的斜率，所以B、C、D均正确.
【规律方法】
熟练掌握等差数列通项公式an＝dn＋（a1－d）＝kn＋b是关于n的一次函数型这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性.
训练1 （1）已知数列{an}为等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线的斜率为 4 ；
解析：由题意则d＝4，所以斜率k＝d＝4.
（2）已知单调递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝－4则an＝ 2n－1 .
解析：设等差数列{an}的公差为d，则由a3＝－4得，1＋2d＝（1＋d）2－4，解得d＝±2，由于数列{an}为递增数列，所以d＝2，故an＝a1＋（n－1）×2＝2n－1.
知识点二｜等差数列的判定与证明
问题2 若数列{an}满足2a2＝a1＋a3，能说明{an}是等差数列吗？若满足2an＝＋，n≥2呢？
提示：由2a2＝a1＋a3可得a3－a2＝a2－a1，只能说明a1，a2，a3等差，不代表整个数列；而2an＝＋，n≥2可以化为－an＝an－，考虑n的任意性，说明an－为常数，符合等差数列的定义，可以说明{an}是等差数列.
【知识梳理】
等差数列的证明（判定）方法
（1）定义法：an－an－1＝ d （n≥2）或 an＋1－an ＝d；
（2）等差中项法：2an＝ an－1 ＋an＋1（n≥2）；
（3）通项公式法：an＝pn＋q（p，q为常数）.
【例2】 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，设bn＝，n∈N*.求证：数列{bn}是等差数列.
证明：法一 由条件知，＝＝＋1，
所以－＝1，所以bn＋1－bn＝1.
又b1＝＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.
法二 由条件，得bn＋1－bn＝－＝－＝＝1.又b1＝＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.
【规律方法】
1.判定一个数列是否为等差数列可以用定义法（作差法）、等差中项法及通项公式法，前两个方法较为严谨，可用于解答题，通项公式法一般适用于选择、填空题.
2.要否定一个数列是等差数列，只要举出一个反例，即说明其中存在连续三项不等差即可.
训练2 已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2＋1（n≥2，n∈N*），记bn＝log2（an＋1）.
（1）判断{bn}是否为等差数列，并说明理由；
解： {bn}是等差数列，理由如下：
因为a1＝1，an＝2＋1（n≥2），所以an＞0.
b1＝log2（a1＋1）＝log22＝1，
当n≥2时，bn－＝log2（an＋1）－log2（an－1＋1）＝log2＝log2＝log2＝log22＝1，
所以{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列.
（2）求数列{an}的通项公式.
解：由（1）得bn＝1＋（n－1）×1＝n，所以an＋1＝＝2n，所以an＝2n－1.
知识点三｜等差数列的性质
问题3 （1）已知an，am是等差数列{an}中的任意两项，你能利用通项公式建立两者之间的关系吗？
提示：由an＝a1＋（n－1）d，am＝a1＋（m－1）d，两式相减得an－am＝（n－m）d，即an＝am＋（n－m）d.
（2）在等差数列{an}中，如果p＋q＝m＋n（m，n，p，q∈N*），那么ap＋aq与am＋an有何数量关系？
提示：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则ap＝a1＋（p－1）d，aq＝a1＋（q－1）d，am＝a1＋（m－1）d，an＝a1＋（n－1）d，所以ap＋aq＝2a1＋（p＋q－2）d，am＋an＝2a1＋（m＋n－2）d，因为p＋q＝m＋n，所以ap＋aq＝am＋an.
【知识梳理】
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
（1）an＝am＋ （n－m） d，d＝（m，n∈N*，且m≠n）；
（2）若m＋n＝s＋t，则am＋an＝ as＋at ；特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap（m，n，s，t，p∈N*）；
（3）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的 和 ，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋＝…；
（4）下标成等差数列的项ak，，，…组成以 md 为公差的等差数列.
提醒：在等差数列{an}中：（1）由m＋n＝p（m，n，p∈N*）不能得到am＋an＝ap；（2）由am＋an＝ap＋aq不能得到m＋n＝p＋q，如常数列.
角度1 an＝am＋（n－m）d的应用
【例3】 已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝ 24 .
解析：法一 设数列{an}的公差为d，则a60＝a15＋（60－15）d＝8＋45d＝20，所以d＝＝＝，所以a75＝a60＋（75－60）d＝20＋15×＝24.
法二 因为{an}为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项，所以a60＝a15＋3d，解得d＝4，所以a75＝a60＋d＝24.
【规律方法】
灵活利用等差数列通项公式的变形，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋（n－m）d即变为an＝a1＋（n－1）d，可以减少记忆负担.
角度2 等差数列性质的应用
【例4】 （1）在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝（ B ）
A.45 B.50
C.75 D.60
解析：因为在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，所以a2＝，a12＝，所以a4＋a10＝a2＋a12＝50.
（2）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝（ B ）
A.12 B.8
C.6 D.4
解析：由等差数列的性质得，a3＋a6＋a10＋a13＝（a3＋a13）＋（a6＋a10）＝2a8＋2a8＝4a8＝32，所以a8＝8，又d≠0，所以m＝8.
变式 若本例（2）条件变为“若a3＋a11＝6”，则S13＝ 39 .
解析：S13＝a1＋a2＋a3＋…＋a11＋a12＋a13＝（a1＋a13）＋（a2＋a12）＋（a3＋a11）＋…＋（a6＋a8）＋a7＝2a7＋2a7＋…＋2a7＋a7＝6×2a7＋a7＝13a7.又a3＋a11＝2a7＝6，故a7＝3，S13＝13×3＝39.
【规律方法】
等差数列运算的两种常用方法及思路
（1）基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程（组），确定a1，d，然后求其他量；
（2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r（m，n，p，q，r∈N*），则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
训练3 （1）已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15＝（ B ）
A.7 B.14
C.21 D.7（n－1）
解析：∵a1－a9＋a17＝（a1＋a17）－a9＝2a9－a9＝a9＝7，∴a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.
（2）已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝ 8 .
解析：法一 ∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，则d＝＝＝2，∴bn＝b3＋（n－3）d＝2n－8，∴b8＝2×8－8＝8.
法二 由＝＝d，得b8＝×5＋b3＝2×5＋（－2）＝8.
1.在等差数列{an}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝（ ）
A.－1 B.2
C.4 D.6
解析：B 由题意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.
2.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝（ ）
A.5 B.8
C.10 D.14
解析：B 由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又因为a1＝2，所以a7＝8.
3.已知数列{an}满足a1＝1，若点（n，）（n∈N*）在斜率为1的直线上，则an＝ n2 .
解析：由题意可得，{}为等差数列，且公差d＝1.又a1＝1，所以＝＋（n－1）×1＝n，所以an＝n2.
4.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3（n≥2，n∈N*），试判断数列{an}是否是等差数列并说明理由.
解：当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，但a2－a1＝2－1＝1≠，故数列{an}不是等差数列.
课堂小结
1.理清单
（1）等差数列的通项公式与一次函数的关系；
（2）等差数列的判定与证明；
（3）等差数列的性质.
2.应体会
（1）研究等差数列的通项公式与一次函数的关系时，应用了函数思想；
（2）研究等差数列的性质时利用了方程思想.
3.避易错
（1）不注意运用性质而出错或解法繁琐；
（2）忽视等差数列性质am＋an＝ap＋aq的应用条件：该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同.
1.在数列{an}中，a1＝2，2＝2an＋1（n∈N*），则a101＝（ ）
A.52 B.50
C.51 D.49
解析：A 由已知得，－an＝，n∈N*，所以{an}是首项为2，公差为的等差数列，所以a101＝2＋100×＝52.
2.在等差数列{an}中，a1＋2a3＋a5＝16，则a6－3a4＝（ ）
A.－8 B.－6
C.－4 D.－2
解析：A 因为数列{an}为等差数列，且a1＋2a3＋a5＝16，得4a3＝16，所以a3＝4，所以a6－3a4＝a3＋3d－3（a3＋d）＝－2a3＝－8.故选A.
3.在递增的等差数列{an}中，a3＋a6＝－6，a4a5＝8，则公差d＝（ ）
A.4 B.2
C.－2 D.2或－2
解析：B 因为在递增的等差数列{an}中，a3＋a6＝a4＋a5＝－6，a4a5＝8，所以a4＝－4，a5＝－2，则公差d＝a5－a4＝2.
4.在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝（ ）
A.99 B.123
C.132 D.145
解析：C 在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33.所以a45＝33＋3×33＝132.
5.已知（1，3），（3，－1）是等差数列{an}图象上的两点，若5是p，q的等差中项，则ap＋aq＝（ ）
A.－10 B.－5
C.5 D.10
解析：A 法一 设等差数列的通项公式为an＝xn＋y，代入点的坐标得解得即an＝－2n＋5，由于5是p，q的等差中项，故p＋q＝10，所以ap＋aq＝2a5＝2×（－10＋5）＝－10.
法二 由题意知，（1，3），（3，－1），（5，a5）三点共线，所以＝，所以a5＝－5.由于5是p，q的等差中项，故p＋q＝10，所以ap＋aq＝2a5＝－10.
6.〔多选〕下列命题中，与命题“{an}为等差数列”等价的是（ ）
A.an＋1＝an＋d（d为常数）
B.数列{－an}是等差数列
C.数列{}是等差数列
D.an＋1是an与an＋2的等差中项
解析：ABD 对于A，即an＋1－an＝d，故A正确；对于B，数列{－an}是等差数列，则－an＋1＝－an＋d，d为常数，故an＋1－an＝－d，－d为常数，故B正确；对于C，数列{}是等差数列，则－＝d，d为常数，不能推导出{an}为等差数列，故C错误；易知D正确.
7.〔多选〕已知等差数列{an}满足a1＞0，且a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则（ ）
A.a1＋a101＞0
B.a1＋a101＜0
C.a3＋a99＝0
D.a51＜a50
解析：CD 根据等差数列的性质，得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，因为a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以101a51＝0，所以a1＋a101＝a3＋a99＝2a51＝0.又a1＞0，所以d＜0，a51＝a50＋d＜a50，故选C、D.
8.在等差数列{an}中，a2＋a12＝40，则a5－a6＋a7－a8＋a9＝ 20 .
解析：在等差数列{an}中，因为a2＋a12＝a5＋a9＝a6＋a8＝2a7＝40，所以a7＝20，所以a5－a6＋a7－a8＋a9＝（a5＋a9）－（a6＋a8）＋a7＝a7＝20.
9.在等差数列{an}中，若a2，a2 024为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 013＋a2 025＝ 15 .
解析：∵a2，a2 024为方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a2＋a2 024＝10，由等差数列的性质得2a1 013＝10，即a1 013＝5，∴a1＋a1 013＋a2 025＝3a1 013＝15.
10.（1）已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值；
（2）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值.
解：（1）法一 根据等差数列的性质得a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，
由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，
解得a6＝，
∴a4＋a8＝2a6＝.
法二 设公差为d，根据等差数列的通项公式，
得a2＋a6＋a10＝（a1＋d）＋（a1＋5d）＋（a1＋9d）＝3a1＋15d，
由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝.
∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2（a1＋5d）＝.
（2）设公差为d（d＞0），∵a1＋a3＝2a2，
∴a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5.
又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列，
∴a1a3＝（5－d）（5＋d）＝16 d＝3或d＝－3（舍去），
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.
11.若a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（ ）
A.a1a8＞a4a5
B.a1a8＜a4a5
C.a1＋a8＞a4＋a5
D.a1a8＝a4a5
解析：B 因为a1＋a8＝2a1＋7d，a4＋a5＝2a1＋7d，所以a1＋a8＝a4＋a5，故C错误；因为a1a8－a4a5＝a1（a1＋7d）－（a1＋3d）（a1＋4d）＝－12d2＜0，所以a1a8＜a4a5，故A、D错误，B正确.
12.已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a15 ＝ 11 ，若ak＝15，则k＝ 21 .
解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.故d＝＝＝，∴a15＝a9＋（15－9）d＝7＋6×＝11.∵ak＝a9＋（k－9）d＝15，∴15－7＝（k－9）×，∴k＝21.
13.已知等差数列{an}是递增数列，且a1＋a2＋a3≤3，a7－3a3≤8，则a4的取值范围为 （－4，11] .
解析：∵等差数列{an}是递增数列，且a1＋a2＋a3≤3，即3a1＋3d≤3，∴a1＋d≤1，∴a2≤1，公差d＞0.又∵a7－3a3≤8，∴a1＋6d－3（a1＋2d）＝－2a1≤8，∴a1≥－4，则0＜d＝a2－a1≤5，∴a4＝a1＋3d＞－4.a4＝a2＋2d≤1＋10＝11，∴a4的取值范围为（－4，11].
14.已知数列{an}满足an＋1＝（n∈N*），且a1＝0.
（1）求a2，a3；
（2）是否存在一个实数λ，使得数列{}为等差数列？请说明理由.
解：（1）因为a1＝0，an＋1＝（n∈N*），
所以a2＝＝，a3＝＝.
（2）假设存在一个实数λ，使得数列{}为等差数列，所以＝＋，
即＝＋，解得λ＝1.
因为－＝－＝－＝＝－，
又＝－1，
所以存在一个实数λ＝1，使得数列{}是首项为－1，公差为－的等差数列.
15.已知数列{an}和{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列{cn}满足cn＝an＋2bn.
（1）数列{cn}是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由；
（2）若{an}的公差为－2，{bn}的公差为－3，a1＝5，b1＝8，求数列{cn}的通项公式.
解：（1）数列{cn}是等差数列，理由如下：
因为数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，所以d1＝an＋1－an，d2＝bn＋1－bn，n∈N*，
因为cn＝an＋2bn，
所以cn＋1－cn＝an＋1＋2bn＋1－（an＋2bn）
＝（an＋1－an）＋2（bn＋1－bn）＝d1＋2d2为常数，
所以数列{cn}是以d1＋2d2为公差的等差数列.
（2）因为a1＝5，b1＝8，
所以c1＝a1＋2b1＝5＋2×8＝21，
由（1）可知数列{cn}是等差数列，且公差为d1＋2d2，
因为{an}的公差为－2，{bn}的公差为－3，
所以数列{cn}的公差d＝－2＋2×（－3）＝－8，
所以数列{cn}的通项公式为cn＝c1＋（n－1）d＝21－8（n－1）＝29－8n.
8 / 8第二课时 等差数列的判定及性质
1.在数列{an}中，a1＝2，2＝2an＋1（n∈N*），则a101＝（ ）
A.52 B.50
C.51 D.49
2.在等差数列{an}中，a1＋2a3＋a5＝16，则a6－3a4＝（ ）
A.－8 B.－6
C.－4 D.－2
3.在递增的等差数列{an}中，a3＋a6＝－6，a4a5＝8，则公差d＝（ ）
A.4 B.2
C.－2 D.2或－2
4.在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝（ ）
A.99 B.123
C.132 D.145
5.已知（1，3），（3，－1）是等差数列{an}图象上的两点，若5是p，q的等差中项，则ap＋aq＝（ ）
A.－10 B.－5
C.5 D.10
6.〔多选〕下列命题中，与命题“{an}为等差数列”等价的是（ ）
A.an＋1＝an＋d（d为常数）
B.数列{－an}是等差数列
C.数列{}是等差数列
D.an＋1是an与an＋2的等差中项
7.〔多选〕已知等差数列{an}满足a1＞0，且a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则（ ）
A.a1＋a101＞0 B.a1＋a101＜0
C.a3＋a99＝0 D.a51＜a50
8.在等差数列{an}中，a2＋a12＝40，则a5－a6＋a7－a8＋a9＝ .
9.在等差数列{an}中，若a2，a2 024为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 013＋a2 025＝ .
10.（1）已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值；
（2）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值.
11.若a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（ ）
A.a1a8＞a4a5 B.a1a8＜a4a5
C.a1＋a8＞a4＋a5 D.a1a8＝a4a5
12.已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a15 ＝ ，若ak＝15，则k＝ .
13.已知等差数列{an}是递增数列，且a1＋a2＋a3≤3，a7－3a3≤8，则a4的取值范围为 .
14.已知数列{an}满足an＋1＝（n∈N*），且a1＝0.
（1）求a2，a3；
（2）是否存在一个实数λ，使得数列{}为等差数列？请说明理由.
15.已知数列{an}和{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列{cn}满足cn＝an＋2bn.
（1）数列{cn}是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由；
（2）若{an}的公差为－2，{bn}的公差为－3，a1＝5，b1＝8，求数列{cn}的通项公式.
2 / 2
