人教版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数4.4对数4.4.3不同函数增长的差异课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
第四章　指数函数与对数函数
4.4.3　不同函数增长的差异
三种常见函数模型的增长差异
y＝kx （k＞0） y＝ax（a＞1） y＝logax（a＞1）
在（0，＋∞） 上的增减性
图象的变化
趋势 一条直线 随x增大逐渐近似 与 平行 随x增大逐渐近似 与 平行
预习教材新知
单调递增
单调递增
单调递增
y轴　
x轴　
增 长 速 度 （1）y＝ax（a＞1）随着x的增大，y增长速度 ，即使k的值远远大于a的值，y＝ax（a＞1）的增长速度最终都会大大超 过 的增长速度
（2）y＝logax（a＞1）随着x的增大，y增长速度 ，不 论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由 于当x足够大时，y＝logax的增长慢于y＝kx的增长，因此总会存在 一个x0，当x＞x0时，恒有
越来越快　
y＝kx（k＞0）　
越来越慢　
logax＜kx　
记一记：当a＞1，n＞0时，由y＝ax，y＝xn，y＝logax的增长速度，存 在x0，当x＞x0时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数.因此总 会存在一个x0，使得当x＞x0时，有ax＞xn＞logax.
C
A. f（x）递减速度越来越慢，g（x）递减速度越来越快，h（x）递减速 度比较平稳
B. f（x）递减速度越来越快，g（x）递减速度越来越慢，h（x）递减速 度越来越快
C. f（x）递减速度越来越慢，g（x）递减速度越来越慢，h（x）递减速 度比较平稳
D. f（x）递减速度越来越快，g（x）递减速度越来越快，h（x）递减速 度越来越快
函数f（x）的图象在区间（0，1）上递减较快，但递减速度逐渐变慢，函 数f（x）在区间（1，＋∞）上，递减较慢，且越来越慢.
同样，函数g（x）的图象在区间（0，＋∞）上递减较慢，且递减速度越来 越慢.
函数h（x）的图象递减速度比较平稳.故选C.
课堂互动探究
　几类函数模型增长差异的比较
A. y＝ex B. y＝100ln x
C. y＝100x D. y＝100·2x
解析：指数函数y＝ax，在a＞1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长 速度变快.
A
2. 四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是：①f1（x）＝ x2，②f2（x）＝4x，③f3（x）＝log2x，④f4（x）＝2x.如果他们一直跑 下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是 .（只填序号）
解析：由函数的性质可知，指数函数的增长速度是先慢后快，最终跑在最前 面的是指数函数，所以最终跑在最前面的人具有的函数关系是④.
④　
3. 下列序号分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长 远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是 .（填序号）
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x2；
③y＝30＋lg（x＋1）；④y＝50x.
解析：结合三类函数的增长差异可知随着x足够大，指数增长最快，所以① 的预期收益最大.
①　
函数增长快慢对函数曲线的影响
随着自变量的增大，如果函数值增长越来越快，则函数的图象越“陡”，类 似于指数函数的图象；如果函数值增长越来越慢，则函数的图象越“缓”， 类似于对数函数的图象.
　三类函数图象的比较
B
解析：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，因为圆柱中液面上升的速 度是一个常量，即漏斗中液体漏出的速度是一定的，因此H增长的速度 越来越大.
A. y＝6x B. y＝log6x C. y＝x6 D. y＝6x
解析：D增长速度不变，当x≥0时，A，C增长速度越来越快，只有B符 合题意.
总结： 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图 象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图 象趋于平缓的函数是对数函数.
B
【例2】某汽车制造商曾在2023年年初公告：公司计划2023年的生产目标为43 万辆.已知该公司2020～2022这三年的汽车生产量如下表所示：
年份/年 2020 2021 2022
产量/万辆 8 18 30
如果我们分别将2020，2021，2022，2023定义为第一、二、三、四年.现在有 两个函数模型：二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），指数型函数 模型g（x）＝a·bx＋c（a≠0，b＞0，b≠1），哪个模型能更好地反映该 公司年产量y与年份x的关系？
　函数模型的选择问题
解：建立年产量y与年份x的函数，可知函数图象必过点（1，8），（2，18），
（3，30）.
由①②可得，二次函数模型f（x）＝x2＋7x能更好地反映该公司年产量y与 年份x的关系.
2. 某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元； B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为 97元，一年到期本息和为100元.作为购买者，分析这三种债券的收益，如果 只能购买一种债券，你认为应购买哪种？
总结：不同函数模型的选取标准
（1）线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；（2）指数函 数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；（3）对数函数增长模型 适合于描述增长速度平缓的变化规律；（4）幂函数增长模型适合于描述增 长速度一般的变化规律.
1. 知识链：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数 型函数增长模型.
2. 方法链：转化法.
3. 警示牌：不理解三种函数增长的差异.
参考答案
预习教材新知
三种常见函数模型的增长差异
单调递增 单调递增 单调递增 y轴 x轴 越来越快
y＝kx（k＞0） 越来越慢 logax＜kx
基础试练
函数f（x）的图象在区间（0，1）上递减较快，但递减速度逐渐变慢，函 数f（x）在区间（1，＋∞）上，递减较慢，且越来越慢.
同样，函数g（x）的图象在区间（0，＋∞）上递减较慢，且递减速度越来 越慢.
函数h（x）的图象递减速度比较平稳.故选C.
课堂互动探究
题型一　几类函数模型增长差异的比较
练一练
1. A　解析：指数函数y＝ax，在a＞1时呈爆炸式增长，并且随a值的增 大，增长速度变快.
2. ④　解析：由函数的性质可知，指数函数的增长速度是先慢后快，最终跑 在最前面的是指数函数，所以最终跑在最前面的人具有的函数关系是④.
3. ①　解析：结合三类函数的增长差异可知随着x足够大，指数增长最快， 所以①的预期收益最大.
题型二　三类函数图象的比较
【例1】B　解析：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，因为圆柱中液面上 升的速度是一个常量，即漏斗中液体漏出的速度是一定的，因此H增长的速 度越来越大.
练一练
1. B　解析：D增长速度不变，当x≥0时，A，C增长速度越来越快，只有B符 合题意.
与计划误差为1.4万辆.
由①②可得，二次函数模型f（x）＝x2＋7x能更好地反映该公司年产量y与 年份x的关系.