第三课时 等差数列的综合应用
1.已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为（ ）
A.7 B.5 C.3 D.1
2.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是（ ）
A.新数列不是等差数列
B.新数列是公差为d的等差数列
C.新数列是公差为2d的等差数列
D.新数列是公差为3d的等差数列
3.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是（ ）
A.斤 B.斤
C.斤 D.3斤
4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A. B.
C. D.
5.有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（ ）
A.15 B.16
C.17 D.18
6.〔多选〕若a，b，c成等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A.2a，2b，2c成等差数列
B.log2a，log2b，log2c成等差数列
C.a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.2a，2b，2c成等差数列
7.〔多选〕已知等差数列{an}中，a5＝4，公差d＝4.若在每相邻两项中各插入两个数，使之成等差数列{bn}，下列正确的是（ ）
A.a8＝16 B.b8＝－3
C.a50＝b148 D.{an－3bn}是常数列
8.若等差数列{an}的公差为d，则a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的公差为 .
9.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.
10.在无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}.
（1）求b1和b2；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）数列{bn}中的第503项是{an}中的第几项？
11.已知方程（x2－2x＋m）（x2－2x＋n）＝0的四个根构成首项为的等差数列，则｜m－n｜＝（ ）
A.1 B.
C. D.
12.〔多选〕已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2（n∈N*），则下列说法正确的有（ ）
A.数列{an}是等差数列
B.a2k＝7－2k（k∈N*）
C.a2k－1＝12－2k（k∈N*）
D.an＋an＋1＝18－3n
13.在1和19之间插入n个数，使这n＋2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当＋取最小值时，n＝ .
14.有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？
15.给定整数n（n≥4），设集合A＝{a1，a2，…，an}，记集合B＝{ai＋aj｜ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}.
（1）若A＝{－3，0，1，2}，求集合B；
（2）若a1，a2，…，an构成以a1为首项，d（d＞0）为公差的等差数列，求证：集合B中的元素个数为2n－1.
2 / 2第三课时 等差数列的综合应用
课标要求
1.能灵活设项解等差数列（逻辑推理、数学运算）. 2.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用（数学抽象、数学建模）. 3.可由等差数列构造新数列（逻辑推理、数学运算）.
知识点一｜等差数列中项的设法
【例1】 （1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；
解：设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则
解得所以这三个数为4，3，2.
（2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数.
解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（公差为2d），
依题意得2a＝2且（a－3d）（a＋3d）＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，
所以d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4.
【规律方法】
等差数列的设项方法和技巧
（1）当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程（组）求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式；
（2）当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…，可同理设出；
（3）当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…，可同理设出.
训练1 已知成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数的积为40，求这四个数.
解：设这四个数依次是a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（a，d∈R）.
可得
解得或
所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.
知识点二｜等差数列的实际应用
【例2】 某公司2024年经销一种数码产品，获利200万元，从2025年起，预计其利润每年比上一年减少20万元.按照这一规律，如果该公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销此产品将出现亏损？
解：记2024年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年获利构成等差数列{an}，且当an＜0时，该公司经销此产品将出现亏损.
设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋（n－1）d＝220－20n.
由题意知，数列{an}为递减数列，令an＜0，即an＝220－20n＜0，解得n＞11，即从第12年起，也就是从2035年开始，该公司经销此产品将出现亏损.
【规律方法】
解决等差数列实际应用问题的步骤
提醒：在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.
训练2 《周髀算经》中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为（ ）
A.12.5尺 B.10.5尺
C.15.5尺 D.9.5尺
解析：C 从冬至起，日影长依次记为a1，a2，a3，…，a12，根据题意，有a1＋a4＋a7＝37.5，整理得a4＝12.5，而a12＝4.5，设其公差为d，则有解得所以冬至的日影长为15.5尺，故选C.
提能点｜由等差数列衍生的新数列
【例3】 （1）（链接教材P18练习4题）〔多选〕若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ACD ）
A.{an＋an＋1} B.{}
C.{an＋1－an} D.{2an}
解析：设等差数列{an}的公差为d.对于A，（an＋an＋1）－（an－1＋an）＝（an－an－1）＋（an＋1－an）＝2d（n≥2），所以{an＋an＋1}是以2d为公差的等差数列；对于B，－＝（an＋1－an）·（an＋an＋1）＝d（an＋an＋1），因为d（an＋an＋1）不一定为常数，所以{}不一定是等差数列；对于C，因为an＋1－an＝d，所以{an＋1－an}为等差数列；对于D，因为2an＋1－2an＝2d，所以{2an}为等差数列.
（2）（2025·江门月考）设数列{an}，{bn}都是等差数列.若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ 35 .
解析：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2.因为a3＋b3＝（a1＋2d1）＋（b1＋2d2）＝（a1＋b1）＋2（d1＋d2）＝7＋2（d1＋d2）＝21，所以d1＋d2＝7.所以a5＋b5＝（a3＋b3）＋2（d1＋d2）＝21＋2×7＝35.
变式 已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝ 12n－1 ；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是 25 .
解析：由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12（n－1）＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，所以11≤12n－1≤302，解得1≤n≤25.25，又n∈N*，故{cn}的项数是25.
【规律方法】
由等差数列衍生的新数列
若{an}，{bn}分别是公差为d，d'的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列（c为任一常数）
{c·an} 公差为cd的等差数列（c为任一常数）
{an＋an＋k} 公差为2d的等差数列（k为常数，k∈N*）
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd'的等差数列（p，q为常数）
提醒：（1）一般情况下，等差数列{an}，{bn}构成的{anbn}不是等差数列；（2）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列，如ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）组成公差为md的等差数列；（3）由两等差数列公共项组成的新数列，其公差为两数列公差的最小公倍数.
训练3 （1）将1到2 025这2 025个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a10＝（ A ）
A.190 B.211
C.232 D.253
解析：由题意可得an能被3除余1，且被7除余1，则an－1是21的倍数，即an－1＝21（n－1），即an＝21n－20，∴a10＝21×10－20＝190.
（2）在等差数列－5，－，－2，－，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式an＝ n－ .
解析：原数列的公差d＝－－（－5）＝，所以新数列的公差d'＝d＝，故新数列的通项公式为an＝－5＋（n－1）＝n－.
1.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{dan}是（ ）
A.公差为d的等差数列 B.公差为2d的等差数列
C.公差为d2的等差数列 D.公差为4d的等差数列
解析：C 由于数列{an}是公差为d的等差数列，因此，当n∈N*时，an＋1－an＝d，dan＋1－dan＝d（an＋1－an）＝d2.
2.体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数.如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，则队伍里一共有 20 人.
解析：由题意知，每位同学报的数是一个等差数列，其中首项为17，公差为7，末项为150，设末项为第n项，则17＋7（n－1）＝150，解得n＝20，则队伍里一共有20人.
3.已知三个数成等差数列，它们的和为9，它们的平方和为59，求这三个数的积.
解：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则解得或∴这三个数依次为－1，3，7或7，3，－1.∴这三个数的积为－21.
课堂小结
1.理清单
（1）等差数列中项的设法；
（2）等差数列的实际应用；
（3）由等差数列衍生的新数列.
2.应体会
（1）解决等差数列中项的设法问题要注意方程思想的应用；
（2）解决由等差数列衍生的新数列问题利用了转化与化归思想.
3.避易错
解决由等差数列衍生的新数列问题时忽视新数列的项与原数列的项之间的关系.
1.已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为（ ）
A.7 B.5
C.3 D.1
解析：D 由于{an}，{bn}为等差数列，故数列{2an－3bn}的公差d＝（2an＋1－3bn＋1）－（2an－3bn）＝2（an＋1－an）－3（bn＋1－bn）＝2d1－3d2＝1.
2.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是（ ）
A.新数列不是等差数列
B.新数列是公差为d的等差数列
C.新数列是公差为2d的等差数列
D.新数列是公差为3d的等差数列
解析：C 新数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，可写为a1＋a1＋2，a2＋a2＋2，a3＋a3＋2，…，其公差为2d，故选C.
3.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是（ ）
A.斤 B.斤
C.斤 D.3斤
解析：B 依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－，所以a2＝4－＝.
4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A. B.
C. D.
解析：A 设五个人所分得的面包个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，其中d＞0，则（a－2d）＋（a－d）＋a＋（a＋d）＋（a＋2d）＝5a＝100，∴a＝20.由（a＋a＋d＋a＋2d）＝a－2d＋a－d，得3a＋3d＝7（2a－3d），∴24d＝11a，∴d＝，∴最小的一份为a－2d＝20－＝.
5.有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（ ）
A.15 B.16 C.17 D.18
解析：B 易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝12n－10，所以12n－10≤190，解得n≤，而n∈N*，所以n的最大值为16.
6.〔多选〕若a，b，c成等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A.2a，2b，2c成等差数列
B.log2a，log2b，log2c成等差数列
C.a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.2a，2b，2c成等差数列
解析：AC A项中，∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴2·（2b）＝2a＋2c，∴2a，2b，2c成等差数列，故A正确；C项中，∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴2（b＋2）＝（a＋2）＋（c＋2），∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，故C正确.取a＝1，b＝2，c＝3，易知B、D不成等差数列.
7.〔多选〕已知等差数列{an}中，a5＝4，公差d＝4.若在每相邻两项中各插入两个数，使之成等差数列{bn}，下列正确的是（ ）
A.a8＝16 B.b8＝－3
C.a50＝b148 D.{an－3bn}是常数列
解析：ACD an＝a5＋（n－5）d＝4n－16，a8＝16.在新数列{bn}中，b1＝a1＝－12，公差d'＝d＝，∴bn＝－12＋（n－1）＝n－，则b8＝×8－＝－，令a50＝4×50－16＝184＝n－，得n＝148.∴a50＝b148，an－3bn＝24为常数.
8.若等差数列{an}的公差为d，则a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的公差为 9d .
解析：由等差数列的性质可知，a1＋a2＋a3＝3a2，a4＋a5＋a6＝3a5，a7＋a8＋a9＝3a8，由3a5－3a2＝3a8－3a5＝9d可知，a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的公差为9d.
9.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.
解析：设此等差数列为{an}，公差为d，则∴解得∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
10.在无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}.
（1）求b1和b2；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）数列{bn}中的第503项是{an}中的第几项？
解：（1）∵a1＝3，d＝－5，
∴an＝3＋（n－1）×（－5）＝8－5n.
数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，
∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
（2）设数列{an}中的第m项是数列{bn}中的第n项，即bn＝am，则m＝3＋4（n－1）＝4n－1，
∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×（4n－1）＝13－20n，即数列{bn}的通项公式为bn＝13－20n.
（3）3＋4×（503－1）＝2 011，∴数列{bn}中的第503项是数列{an}中的第2 011项.
11.已知方程（x2－2x＋m）（x2－2x＋n）＝0的四个根构成首项为的等差数列，则｜m－n｜＝（ ）
A.1 B. C. D.
解析：C 根据根与系数的关系得，等差数列中两项的和是2，另外两项的和也是2，首项是，容易得到四项依次为，，，，则m，n的值一个为，另外一个为，所以｜m－n｜＝.
12.〔多选〕已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2（n∈N*），则下列说法正确的有（ ）
A.数列{an}是等差数列 B.a2k＝7－2k（k∈N*）
C.a2k－1＝12－2k（k∈N*） D.an＋an＋1＝18－3n
解析：BC 由an－an＋2＝2得a3＝a1－2＝8，由于2a2≠a1＋a3，所以{an}不是等差数列，A错误；由an－an＋2＝2，知{an}的偶数项，奇数项分别构成等差数列，公差都为－2，当n＝2k（k∈N*）时，a2k＝a2＋（k－1）×（－2）＝7－2k，当n＝2k－1（k∈N*）时，a2k－1＝a1＋（k－1）×（－2）＝12－2k，故B、C都正确；当n＝2时，a2＋a3＝5＋8＝13不满足an＋an＋1＝18－3n，故D错误.
13.在1和19之间插入n个数，使这n＋2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当＋取最小值时，n＝ 5 .
解析：设等差数列的公差为d，则a＝1＋d，b＝19－d，从而a＋b＝20，由题意知，d＞0，故a＞0，b＞0，所以（a＋b）（＋）＝1＋16＋＋≥17＋2＝25，即＋≥＝，当且仅当＝，即b＝4a时等号成立，又a＝1＋d，b＝19－d，解得d＝3，所以19＝1＋（n＋1）×3，所以n＝5.
14.有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？
解：设该单位需购买电视机n台.
在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，an＝780＋（n－1）×（－20）＝－20n＋800，
由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，
即购买台数不超过18台时，每台售价（800－20n）元；
购买台数超过18台时，每台售价440元.
到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600（元）.
当n≤18时，比较在甲、乙两家家电商场的费用（800－20n）n－600n＝20n（10－n）.
当n＜10时，（800－20n）n＞600n，到乙商场购买花费较少；
当n＝10时，（800－20n）n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；
当10＜n≤18时，（800－20n）n＜600n，到甲商场购买花费较少；
当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少.
因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买10台电视机时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.
15.给定整数n（n≥4），设集合A＝{a1，a2，…，an}，记集合B＝{ai＋aj｜ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}.
（1）若A＝{－3，0，1，2}，求集合B；
（2）若a1，a2，…，an构成以a1为首项，d（d＞0）为公差的等差数列，求证：集合B中的元素个数为2n－1.
解：（1）因为B＝{ai＋aj｜ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}，
当A＝{－3，0，1，2}时，ai＋aj＝－6，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，所以B＝{－6，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}.
（2）证明：因为a1，a2，…，an构成以a1为首项，d（d＞0）为公差的等差数列，所以有ai－1＋an＝ai＋an－1（2≤i≤n－2），2ai＝ai－1＋ai＋1（2≤i≤n－1）.
此时，集合B中的元素有以下大小关系：
2a1＜a1＋a2＜a1＋a3＜…＜a1＋an＜a2＋an＜a3＋an＜…＜an－1＋an＜2an.
因此，集合B中含有2n－1个元素.
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