人教版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数4.5函数的应用（二）4.5.1函数的零点与方程的解课件(共39张PPT)

(共39张PPT)
第四章　指数函数与对数函数
4.5　函数的应用（二）
4.5.1　函数的零点与方程的解
1. 结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系.
2. 结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分 法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近 似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性.
3. 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
一、函数的零点
（1）函数的零点
对于函数y＝f（x），把使 的实数x叫做函数y＝f（x）的 零点.
预习教材新知
f（x）＝0　
（2）方程、函数、函数图象之间的关系
方程f（x）＝0有实数解 函数y＝f（x）的图象与 有公共点 函 数y＝f（x）有 .
x轴　
零点　
二、函数零点存在定理
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且 有 ，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少 有一个零点，即存在c∈（a，b），使得 ，这个c也就是方 程f（x）＝0的解.
连续不断　
f（a）f（b）＜0　
f（c）＝0　
记一记：（1）若函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两 端点处的函数值f（a），f（b）异号，则函数y＝f（x）的图象至少穿过 x轴一次，即方程f（x）＝0在区间（a，b）内至少有一个实数解c.
（2）零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数.如 图①②，虽然都有f（a）·f（b）＜0，但图①中函数在区间（a，b）内有 4个零点，图②中函数在区间（a，b）内仅有1个零点.
（3）零点存在定理是不可逆的，因为f（a）·f（b）＜0可以推出函数y＝f （x）在区间（a，b）内存在零点.但是，已知函数y＝f（x）在区间 （a，b）内存在零点，不一定推出f（a）·f（b）＜0.如图③，虽然在区 间（a，b）内函数有零点，但f（a）·f（b）＞0.
（4）如果单调函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲 线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有 唯一的零点，即存在唯一的c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是 方程f（x）＝0的解.
B
A. 函数f（x）在区间（1，2）上有且只有1个零点
B. 函数f（x）在区间（2，3）上一定没有零点
C. 函数f（x）在区间（1，3）上一定有零点
D. 函数f（x）在区间（2，3）上一定有零点
ABD
解析：因为函数f（x）的图象在R上连续不间断，且f（1）＞0，f（2）＜ 0，f（3）＜0，则f（1）·f（2）＜0，f（1）·f（3）＜0，故函数f（x） 在区间（1，2）上至少有一个零点，A错；函数f（x）在区间（2，3）上可 能有零点，也可能无零点，BD错；函数f（x）在区间（1，3）上一定有零 点，C对.故选ABD.
课堂互动探究
　求函数的零点
1. 求函数f（x）＝1－log2（x＋3）的零点.
解：令1－log2（x＋3）＝0，得x＝－1，
所以函数f（x）＝1－log2（x＋3）的零点是－1.
3. 已知函数f（x）＝ax－b（a≠0）的零点为3，求函数 g（x）＝bx2＋ ax的零点.
解：由已知得f（3）＝0，即3a－b＝0，则b＝3a，
故g（x）＝3ax2＋ax＝ax（3x＋1）.
令g（x）＝0，即ax（3x＋1）＝0，
求函数y＝f（x）的零点的方法
（1）代数法：根据零点的定义，解方程f（x）＝0，它的实数解就是函数y ＝f（x）的零点.
（2）几何法：若方程f（x）＝0无法求解，可以根据函数y＝f（x）的性 质及图象求出零点.例如，求定义在R上的减函数f（x）（f（x）为奇函 数）的零点.因为奇函数y＝f（x）是定义在R上的减函数，那么由奇函数的 性质可知f（0）＝0.因为y＝f（x）是定义在R上的减函数，所以不存在其 他的x使f（x）＝0，从而y＝f（x）的零点是0.
A. （－2，－1） B. （0，1）
C. （1，2） D. （2，3）
解析：（1）∵函数f（x）＝ln x＋x2－2，
∴函数y＝f（x）在（0，＋∞）上单调递增.又f（1）＝－1＜0，f（2）＝ ln 2＋2＞0，故函数y＝f（x）的零点所在区间为（1，2）.
　确定函数零点所在的区间
　求函数零点所在区间
C
（2）二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
A
A. （－3，－1）和（2，4）
B. （－3，－1）和（－1，1）
C. （－1，1）和（1，2）
D. （－∞，－3）和（4，＋∞）
解析：（2）易知f（x）＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，
又f（－3）f（－1）＝6×（－4）＝－24＜0，
所以f（x）在（－3，－1）内有零点，
故方程ax2＋bx＋c＝0在（－3，－1）内有根.
同理方程ax2＋bx＋c＝0在（2，4）内有根.
总结：确定函数f（x）零点所在区间的常用方法
（1）解方程法：当对应方程f（x）＝0易解时，可先解方程，再看求得的根 是否落在给定区间上.
（2）利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的 图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，则函数y＝f（x）在 区间（a，b）内必有零点.
（3）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间内是否有交 点来判断.
　由函数零点的区间确定参数值
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
解析：（1）f（x）＝lg x＋x－4是（0，＋∞）上的增函数，又f（3）＝lg 3－1＜0，f（4）＝lg 4＞0，
∴函数f（x）＝lg x＋x－4的零点x0所在区间为（3，4），又x0∈（k，k ＋1），k∈Z，
∴k＝3.
A. （1，3） B. （1，2）
C. （0，3） D. （0，2）
C
总结： 已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围
根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件， 此时应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在定理，得到参数所满足的不等式（组）；
③解不等式（组），即得参数的取值范围.
在求解时，注意函数图象的应用.
A. （1，2） B. （2，3）
C. （0，1） D. （－1，0）
解析：因为f（x）在R上单调递减，且f（1）＝1＞0，f（2）＜0，
所以f（x）的零点所在区间为（1，2）.
A
2. 若函数f（x）＝a＋log7x在区间（1，7）上有零点，则实数a的取值范 围为 .
（－1，0）　
　函数零点个数
【例3】（1）求函数f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2的零点个数.
解：法一　∵f（0）＝1＋0－2＝－1＜0，
f（1）＝2＋lg 2－2＞0，
∴f（x）在（0，1）上必定存在零点.
又f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2在（－1，＋∞）上为增函数.
故函数f（x）有且只有一个零点.
法二　在同一坐标系下作出h（x）＝2－2x和g（x）＝lg（x＋1）的草 图，如图所示.
由图象知g（x）＝lg（x＋1）的图象和h（x）＝2－2x的图象有且只有一 个交点，
故f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2有且只有一个零点.
A. （0，1） B. （1，2）
C. （1，＋∞） D. （0，＋∞）
A
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析：由y＝0，得e｜x｜－2＝0，即e｜x｜＝2，解得｜x｜＝ln 2，即x＝±ln 2，所以函数y＝e｜x｜－2的零点个数为2.
C
解析：函数f（x）＝｜x｜－k有两个零点 ｜x｜－k＝0有两个实数根 ｜x｜＝k有两个实数根，如图，转化成函数f（x）＝｜x｜与函数y＝k 的图象有两个交点.故k的取值范围是（0，＋∞）.
A. {0} B. [0，＋∞）
C. [0，1） D. （0，＋∞）
D
总结：确定函数零点个数的方法
（1）一元n次方程根的个数的问题，一般采用分解因式法来解决.（2）一元 二次方程通常用判别式来判断根的个数.（3）指数函数和对数函数等超越函 数零点个数的问题，一般用图象法来解决.（4）利用函数的单调性判断函数 零点的个数.
1. 知识链：（1）函数的零点的定义；（2）函数的零点与方程的解的关系； （3）函数零点存在定理；（4）函数的
零点个数的判断.
2. 方法链：定理法、方程法、数形结合法.
3. 警示牌：零点理解成点；零点个数问题不能转化成函数图象交点个数 的问题.
参考答案
预习教材新知
一、函数的零点
（1）f（x）＝0　（2）x轴　零点
2. ABD　解析：因为函数f（x）的图象在R上连续不间断，且f（1）＞0，
f（2）＜0，f（3）＜0，则f（1）·f（2）＜0，f（1）·f（3）＜0，故函数
f（x）在区间（1，2）上至少有一个零点，A错；函数f（x）在区间（2，3）上可能有零点，也可能无零点，BD错；函数f（x）在区间（1，3）上一定有零点，C对.故选ABD.
课堂互动探究
题型一　求函数的零点
练一练
1. 解：令1－log2（x＋3）＝0，得x＝－1，
所以函数f（x）＝1－log2（x＋3）的零点是－1.
2. 解：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x＞0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
题型二　确定函数零点所在的区间
角度1　求函数零点所在区间
【例1】（1）C　（2）A
解析：（1）∵函数f（x）＝ln x＋x2－2，∴函数y＝f（x）在（0，＋∞） 上单调递增.又f（1）＝－1＜0，f（2）＝ln 2＋2＞0，故函数y＝f（x）的 零点所在区间为（1，2）.
（2）易知f（x）＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f（－3）
f（－1）＝6×（－4）＝－24＜0，
所以f（x）在（－3，－1）内有零点，故方程ax2＋bx＋c＝0在（－3，－1）内有根.同理方程ax2＋bx＋c＝0在（2，4）内有根.
角度2　由函数零点的区间确定参数值
【例2】（1）C　（2）C
解析：（1）f（x）＝lg x＋x－4是（0，＋∞）上的增函数，又f（3）＝lg 3－1＜0，f（4）＝lg 4＞0，∴函数f（x）＝lg x＋x－4的零点x0所在区间 为（3，4），又x0∈（k，k＋1），k∈Z，∴k＝3.
题型三　函数零点个数
【例3】（1）解：法一　∵f（0）＝1＋0－2＝－1＜0，
f（1）＝2＋lg 2－2＞0，
∴f（x）在（0，1）上必定存在零点.
又f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2在（－1，＋∞）上为增函数.
故函数f（x）有且只有一个零点.
法二　在同一坐标系下作出h（x）＝2－2x和g（x）＝lg（x＋1）的草 图，如图所示.
由图象知g（x）＝lg（x＋1）的图象和h（x）＝2－2x的图象有且只有一 个交点，
故f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2有且只有一个零点.
练一练
3. C　解析：由y＝0，得e｜x｜－2＝0，即e｜x｜＝2，解得｜x｜＝ln 2，即x ＝±ln 2，所以函数y＝e｜x｜－2的零点个数为2.
4. D　解析：函数f（x）＝｜x｜－k有两个零点 ｜x｜－k＝0有两个实 数根 ｜x｜＝k有两个实数根，如图，转化成函数f（x）＝｜x｜与函数 y＝k的图象有两个交点.故k的取值范围是（0，＋∞）.