人教版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数4.5函数的应用（二）4.5.2用二分法求方程的近似解课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
第四章　指数函数与对数函数
4.5　函数的应用（二）
4.5.2　用二分法求方程的近似解
二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数 y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的 两个端点逐步逼近零点，进而得到零点 的方法叫做二分法.
记一记：（1）二分法的本质是利用函数零点存在定理，将零点所在的范围 尽量缩小，得到符合一定精确度要求的零点的近似值.
预习教材新知
一分为二　
近似值　
（2）只有函数的变号零点才能利用二分法求解.如图①中的零点能利用二分 法求解，图②中的零点则不能利用二分法求解.
A. （1，1.75） B. （1.75，2）
C. （1.5，1.75） D. （1，1.5）
解析：由题意，知f（1）·f（2）＜0，f（1.5）·f（2）＜0，f（1.75）·
f（2）＜0，所以函数的零点在区间（1.75，2）内，即方程x3＋2x－9＝0的 一个近似根x所在区间为（1.75，2）.故选B.
B
课堂互动探究
　二分法的概念
A. x1 B. x2 C. x3 D. x4
C
解析：由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反， 即存在区间（a，b），使得x1，x2，x4∈（a，b），f（a）·f（b）＜ 0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈（a，b）时均有f（a）·f（b）＞0，故不可以用二分法求该零点.
A. y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）
B. y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）
C. y＝2x
A
解析：由指数函数与反比例函数的性质可知其没有函数零点，故CD不能用 “二分法”求其零点，故CD错误；对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b， c为常数，且a≠0），当Δ＝b2－4ac≤0时，不能用二分法，故B错误；由于 一次函数一定是单调函数，且存在函数零点，故可以用“二分法”求其零 点，故A选项正确.
A. f（x）＝x3－2 B. f（x）＝ln x－3
D. f（x）＝－x2＋4x－1
C
二分法的理解
（1）准确理解“二分法”的含义.二分就是平均分成两部分.二分法就是 通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近 足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示 真正的零点.
（2）“二分法”与函数零点存在定理密切相关，只有满足函数图象在零点 附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.
　用二分法求方程的近似解、函数的零点
【典例】用二分法求方程ln（2x＋6）＋2＝3x的解的近似值时，令f（x） ＝ln（2x＋6）＋2－3x，并用计算器得到下表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f（x） 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9
由表中的数据，求方程ln（2x＋6）＋2＝3x的一个近似解.（精确度为0.1）
解：因为f（1.25）·f（1.375）＜0，
所以根据二分法的思想，可知函数f（x）的零点在区间（1.25，1.375）内.
但区间（1.25，1.375）的长度为0.125＞0.1，因此需要取区间（1.25， 1.375）的中点1.312 5，
两个区间（1.25，1.312 5）和（1.312 5，1.375）中必有一个满足区间端点 的函数值符号相异.
又区间的长度为0.062 5＜0.1，
因此1.312 5是一个近似解.
1. 已知函数f（x）＝x－e－x的部分函数值如下表所示.
x 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5
f （x） 0.632 1 －0.106 5 0.277 6 0.089 7 －0.007
A. 0.55 B. 0.57 C. 0.65 D. 0.7
B
2. 已知函数f（x）＝x3＋2x－9在（1，2）内有一个零点，且求得的部分函 数值数据如下表所示：
x 1 2 1.5 1.75 1.765 6 1.757 8 1.761 7
f（x） －6 3 －2.625 －0.140 63 0.035 181 －0.053 04 －0.009 0
D
A. 6次，1.75 B. 6次，1.76
C. 7次，1.75 D. 7次，1.76
解析：由表格数据，零点区间变化如下：（1，2）→（1.5，2）→（1.75， 2）→（1.75，1.875）→（1.75，1.812 5）→（1.75，1.781 25）→（1， 75，1.765 6）→（1.757 8，1.765 6），此时区间长度小于0.01，在此区间 内取近似值，等分了7次，近似解取1.76.
总结：利用二分法求方程的近似解的步骤
（1）构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间（n， n＋1），n∈Z.
（2）利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.
（3）区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.
1. 知识链：（1）二分法的定义；（2）利用二分法求函数的零点、方程的近 似解；（3）二分法在实际生活中的
应用.
2. 方法链：化归法、逼近法.
3. 警示牌：二分法并不适用于求所有零点，只能求函数的变号零点，且函数 图象在零点附近是连续的.
参考答案
一分为二　近似值
基础试练
B　解析：由题意，知f（1）·f（2）＜0，f（1.5）·f（2）＜0，f （1.75）·f（2）＜0，所以函数的零点在区间（1.75，2）内，即方程x3＋2x －9＝0的一个近似根x所在区间为（1.75，2）.故选B.
题型一　二分法的概念
练一练
1. C　解析：由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号 相反，即存在区间（a，b），使得x1，x2，x4∈（a，b），f（a）·f （b）＜0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈（a，b）时均有f （a）·f（b）＞0，故不可以用二分法求该零点.
题型二　用二分法求方程的近似解、函数的零点
【典例】解：因为f（1.25）·f（1.375）＜0，
所以根据二分法的思想，可知函数f（x）的零点在区间（1.25，1.375）内.
但区间（1.25，1.375）的长度为0.125＞0.1，因此需要取区间（1.25，1.375） 的中点1.312 5，
两个区间（1.25，1.312 5）和（1.312 5，1.375）中必有一个满足区间端点的 函数值符号相异.
又区间的长度为0.062 5＜0.1，
因此1.312 5是一个近似解.