人教版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数4.4对数4.4.2对数函数的图象和性质第2课时对数函数的图象和性质（二）课件(共39张PPT)

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第四章　指数函数与对数函数
4.4　对数
4.4.2　对数函数的图象和性质
第二课时　对数函数的图象和性质（二）
　函数性质的应用
　比较大小
【例1】比较下列各组数中两个值的大小：
（1）log23.4，log28.5；
解：（1）考查对数函数y＝log2x，
因为它的底数2＞1，
所以它在（0，＋∞）上是增函数.
又3.4＜8.5，于是log23.4＜log28.5.
（2）log0.31.8，log0.32.7；
解：（2）考查对数函数y＝log0.3x，
因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在（0，＋∞）上是减函数，
又1.8＜2.7，于是log0.31.8＞log0.32.7.
（3）loga5.1，loga5.9（a＞0，且a≠1）.
解：（3）当a＞1时，y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，又5.1＜5.9，于 是loga5.1＜loga5.9；
当0＜a＜1时，y＝logax在（0，＋∞）上是减函数，
又5.1＜5.9，于是loga5.1＞loga5.9.
综上，当a＞1时，loga5.1＜loga5.9，
当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.
总结：对数值比较大小的常用方法
（1）如果同底，可直接利用单调性求解.如果底数为字母，则要分类讨论.
（2）如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间变量.
（3）如果不同底但同真，可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底 公式化为同底的再进行比较.
（4）若底数和真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较.
　解不等式
【例2】（1）解不等式log2（x＋1）＞log2（1－x）；
母题探究：将本例（1）改为loga（x＋1）＞loga（1－x），求解x的集合.
综上可得：当a＞1时，x∈（0，1）；当0＜a＜1时，x∈（－1，0）.
总结：对数型不等式的解法
（3）特别地：当底数的取值范围不确定时，通常需要对底数按a＞1及0＜a ＜1进行分类讨论.
　函数y＝logaf（x）单调区间求法
【例3】求函数f（x）＝log2（x2－1）的单调区间.
解：令x2－1＞0，得x＞1或x＜－1.
设u＝x2－1，当x＞1时，u＝x2－1为增函数，
∴f（x）＝log2（x2－1）的单调增区间为（1，＋∞）.
当x＜－1时，u＝x2－1为减函数，
∴f（x）＝log2（x2－1）的单调减区间为（－∞，－1）.
总结：求复合函数的单调性的两个要点
（1）单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域.
（2）f（x），g（x）单调性相同，则f（g（x））为增函数；f（x）， g（x）单调性相异，则f（g（x））为减函数，简称“同增异减”.
提醒：求单调区间要先求函数的定义域.
　由对数函数单调性求参数
A. （－∞，－1] B. （－∞，2]
C. [2，＋∞） D. [5，＋∞）
D
总结：由对数型函数的单调性求参数的取值范围
（1）已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调 性规律，注意函数的定义域来求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值 的大小关系.
（2）求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单 调性求解.
A. a＜c＜b B. b＜c＜a
C. b＜a＜c D. a＜b＜c
C
C. （0，＋∞）
B
A. [－8，－6] B. （－∞，－6]
C. （－8，－6]
A
　与对数函数有关的值域和最值问题
【例5】已知函数f（x）＝loga（1－x）＋loga（x＋3）（a＞0，且 a≠1）.
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）若函数f（x）有最小值－2，求a的值.
4. 求下列函数的值域：
（1）y＝log2（x2＋4）；
解：（1）设u＝x2＋4≥4，而y＝log2u是增函数，
∴y≥log24＝2.
∴函数y＝log2（x2＋4）的值域为[2，＋∞）.
总结：与对数函数有关的值域问题
（1）形如y＝f（logax）的函数，通常使用换元法，令t＝logax，根据定义 域先求t＝logax的值域，再求y＝f（t）的值域；
（2）形如y＝logaf（x）的函数，一般先由真数f（x）＞0求出定义域，再 根据定义域求y＝f（x）的值域，再根据a的取值确定复合函数的值域.
【例6】已知函数f（x）＝loga（2＋x）－loga（2－x）（a＞0，且 a≠1）.
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
　对数函数性质的综合应用
（2）解关于x的不等式f（x）≥loga（3x）.
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）当0＜a＜1时，判断函数f（x）在（1，＋∞）上的单调性.
总结：解决对数函数综合问题的方法
对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中 通常会涉及对数运算，解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化， 然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标 建立联系，从而找到解决问题的思路.
1. 知识链：（1）①利用对数函数的图象及性质比较大小；②利用单调性解 对数不等式；③对数型函数的单
调性、值域、奇偶性.
2. 方法链：数形结合法
3. 警示牌：对数型函数的单调性易忽视其定义域.
参考答案
题型一　函数性质的应用
角度1　比较大小
【例1】解：（1）考查对数函数y＝log2x，
因为它的底数2＞1，
所以它在（0，＋∞）上是增函数.
又3.4＜8.5，于是log23.4＜log28.5.
（2）考查对数函数y＝log0.3x，
因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在（0，＋∞）上是减函数，
又1.8＜2.7，于是log0.31.8＞log0.32.7.
（3）当a＞1时，y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，又5.1＜5.9，于是 loga5.1＜loga5.9；
当0＜a＜1时，y＝logax在（0，＋∞）上是减函数，
又5.1＜5.9，于是loga5.1＞loga5.9.
综上，当a＞1时，loga5.1＜loga5.9，
当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.
角度2　解不等式
综上可得：当a＞1时，x∈（0，1）；当0＜a＜1时，x∈（－1，0）.
角度3　函数y＝logaf（x）单调区间求法
【例3】解：令x2－1＞0，得x＞1或x＜－1.
设u＝x2－1，当x＞1时，u＝x2－1为增函数，
∴f（x）＝log2（x2－1）的单调增区间为（1，＋∞）.
当x＜－1时，u＝x2－1为减函数，
∴f（x）＝log2（x2－1）的单调减区间为（－∞，－1）.
角度4　由对数函数单调性求参数
【例4】D　解析：∵f（x）＝lg（x2－4x－5）在（a，＋∞）上单调递 增，y＝lg x在（0，＋∞）上单调递增，
故a的取值范围是[5，＋∞）.
练一练
题型二　与对数函数有关的值域和最值问题
所以函数的定义域为{x｜－3＜x＜1}.
f（x）＝loga[（1－x）（x＋3）]，
设t＝（1－x）（x＋3）＝4－（x＋1）2，
所以t≤4，又t＞0，
则0＜t≤4.
当a＞1时，y≤loga4，值域为{y｜y≤loga4}；
当0＜a＜1时，y≥loga4，值域为{y｜y≥loga4}.
（2）由题设及（1）知当0＜a＜1时，函数有最小值，
练一练
4. 解：（1）设u＝x2＋4≥4，而y＝log2u是增函数，∴y≥log24＝2.
∴函数y＝log2（x2＋4）的值域为[2，＋∞）.
（2）设t＝3＋2x－x2＝－（x－1）2＋4.
令t＞0，得－1＜x＜3.则0＜t≤4.
题型三　对数函数性质的综合应用
所以函数f（x）的定义域为（－2，2），
则f（－x）＝loga（2－x）－loga（2＋x）＝－[loga（2＋x）－loga（2 －x）]＝－f（x），
所以函数f（x）为奇函数.
∴f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞）.
∴f（x）在定义域上为奇函数.
练一练
（2）当0＜a＜1时，f（x）在（1，＋∞）上单调递减.
证明如下：任取x1，x2，且1＜x1＜x2，
由1＜x1＜x2，知（x1－1）（x2＋1）－（x1＋1）（x2－1）＝2（x1－x2）＜0，
则f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（1，＋∞）上单调递减.