第二课时 等差数列前n项和的性质及应用
课标要求 情境导入
1.理解并应用等差数列前n项和的性质（逻辑推理、数学运算）. 2.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并解决相应的实际问题（数学建模、数学运算）. 前面我们学习了等差数列通项公式an的有关性质，那么等差数列前n项和Sn有哪些性质呢？这就是这节课我们要学习的内容.
知识点一｜等差数列前n项和的性质
问题1 （1）若等差数列{an}的前n项和为Sn，试探索Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…有什么关系？
提示：S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋＝Sn＋（a1＋nd）＋（a2＋nd）＋…＋（an＋nd）＝2Sn＋n2d，同样我们发现＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列.
（2）若等差数列{an}的前n项和为Sn，则{}是等差数列吗？
提示：由等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d，得＝a1＋（n－1），所以数列{}是以a1为首项，以为公差的等差数列.
（3）在等差数列{an}中，如果项数为2n，那么数列{an}的所有偶数项的和S偶与所有奇数项的和S奇之间有什么关系？
提示：因为S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，
所以S偶－S奇＝（a2－a1）＋（a4－a3）＋（a6－a5）＋…＋（－a2n－1）＝nd.
又由等差数列的性质知a1＋a2n－1＝2an，
a2＋a2n＝2an＋1，且S奇＝，
S偶＝，所以＝.
【知识梳理】
等差数列前n项和的常见性质
（1）等差数列的依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列；
（2）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{}也是等差数列，且公差为 ；
（3）在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－（m＋n）；
（4）若等差数列的项数为2n，则S2n＝n（an＋an＋1），S偶－S奇＝ nd ，＝（S偶≠0）；
（5）若等差数列的项数为2n－1（n≥2，n∈N*），则S2n－1＝（2n－1）an（an是数列的中间项），S奇－S偶＝an，＝（S偶≠0）.
【例1】 （1）（链接教材P23练习5题）在项数为2n＋1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n＝（ B ）
A.9 B.10
C.11 D.12
解析：根据等差数列前n项和的性质可得＝＝，解得n＝10.
（2）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.
解：法一 ∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，
设公差为d，
∴该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，解得d＝－22，
∴前11项和S110＝11×100＋×（－22）＝－110.
法二 由{}也是等差数列，构造新的等差数列，＝10，＝，
则d＝＝－，
∴＝＋10d＝＋（－）＝－1，
∴S110＝－110.
法三 直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－（m＋n），可得S110＝－110.
【规律方法】
利用等差数列前n项和的性质简化计算
（1）在解决等差数列的问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法；
（2）等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果；
（3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法.
训练1 （1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－10，－＝1，则S10＝ －10 ；
解析：在等差数列中，因为a1＝－10，－＝1，所以＝－10，所以{}是以－10为首项，1为公差的等差数列，所以＝－10＋9×1＝－1，S10＝－10.
（2）已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是 －4 .
解析：设等差数列{an}的项数为2m，∵末项与首项的差为－28，∴a2m－a1＝（2m－1）d＝－28①，∵S奇＝50，S偶＝34，∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md②，由①②得d＝－4.
知识点二｜等差数列前n项和的最值问题
问题2 已知一个数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，你能说明数列{an}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？
提示：由Sn＝n2－5n求得an＝2n－6，d＝2＞0，故{an}为递增数列.
法一 考虑a1＜a2＜0，a3＝0，0＜a4＜a5＜…，则前n项和Sn在n＝2或3时取最小值.
法二 Sn＝n2－5n＝（n－）2－，它的图象是分布在函数y＝x2－5x的图象上的离散的点，图象开始下降后又上升说明了{an}的前几项为负数.由Sn的图象可知，Sn有最小值且当n＝2或3时，Sn最小，最小值为－6，即数列{an}前2项或前3项和最小.
【知识梳理】
1.在等差数列{an}中：
（1）当a1＞0，d＜0时，Sn有 最大 值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；
（2）当a1＜0，d＞0时，Sn有 最小 值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定.
2.因为Sn＝n2＋（a1－）n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d＞0时，Sn有 最小 值；当d＜0时，Sn有 最大 值，且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值.
提醒：由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值.
【例2】 （链接教材P23例9）在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值.
解：法一 因为S8＝S18，a1＝25，
所以8×25＋d＝18×25＋d，解得d＝－2.
所以Sn＝25n＋×（－2）＝－n2＋26n＝－（n－13）2＋169.
所以当n＝13时，Sn有最大值为169.
法二 同法一，求出公差d＝－2.所以an＝25＋（n－1）×（－2）＝－2n＋27.
因为a1＝25＞0，
由得
又因为n∈N*，所以当n＝13时，Sn有最大值为169.
【规律方法】
求等差数列前n项和Sn最值的方法
（1）寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找；
（2）运用二次函数求最值，注意n∈N*.
训练2 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
（1）求数列{an}的通项公式；
解：设等差数列的公差为d，
因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15，
所以解得所以an＝3n－12，n∈N*.
（2）求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.
解：因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12，
所以Sn＝＝（3n2－21n）＝（n－）2－，
所以当n＝3或4时，数列{an}的前n项和Sn取得最小值S3＝S4＝－18.
知识点三｜等差数列前n项和的实际应用
【例3】 7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件.
（1）问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？
解：设7月n日售出的服装件数为an（n∈N*，1≤n≤31），最多售出ak件.
由题意知解得
∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件.
（2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几天？
解：设Sn是数列{an}的前n项和，
∵an＝
∴Sn＝
∵S13＝273＞200，∴当1≤n≤13时，由Sn＞200，得12≤n≤13，
当14≤n≤31时，日销售量连续下降，由an＜20，得23≤n≤31，
∴该款服装在社会上流行11天（从7月12日到7月22日）.
【规律方法】
应用等差数列解决实际问题的一般思路
训练3 某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.
（1）分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；
解：由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}，
所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋（10－1）×40＝400.
从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390.
（2）该地区9月份流感病毒的新感染者共有多少人？
解：9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为S10＝＝2 200，
9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列{bn}，
又b20＝390－10×19＝200，
所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为T20＝＝5 900，
所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100（人）.
1.已知等差数列{an}共有2n－1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＝（ ）
A.30 B.29
C.28 D.27
解析：B 由S奇－S偶＝an，得an＝290－261＝29.故选B.
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝（ ）
A.8 B.12
C.16 D.20
解析：D 因为数列{an}是等差数列，且S4＝8，S8＝20，S8－S4＝12，所以数列S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，…是等差数列，且首项为8，公差为4.所以a13＋a14＋a15＋a16＝S16－S12＝8＋4×3＝20.
3.在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8个兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ）
A.两 B.两
C.两 D.两
解析：C 设10个兄弟由大到小依次分得an（n＝1，2，…，10）两银子，设数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，则由题意得即解得所以长兄分得两银子.
4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2 023，－＝6，则S2 025＝ 2 025 .
解析：由等差数列的性质可得数列{}也为等差数列.设其公差为d，则－＝6d＝6，所以d＝1.故＝＋2 024d＝－2 023＋2 024＝1，所以S2 025＝1×2 025＝2 025.
课堂小结
1.理清单
（1）等差数列前n项和的性质；
（2）等差数列前n项和的最值问题；
（3）等差数列前n项和的实际应用.
2.应体会
（1）应用等差数列前n项和的性质解决问题时，要注意整体思想的应用；
（2）解决等差数列前n项和的最值问题，要注意函数思想的应用.
3.避易错
（1）等差数列奇偶项和的问题，n的取值易出错；
（2）等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列；
（3）忽视最值问题中n的取值个数.
1.在等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12＝（ ）
A.12 B.18
C.24 D.30
解析：D 在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差数列，又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，则S9－S6＝9，S12－S9＝12，则S12＝S3＋（S6－S3）＋（S9－S6）＋（S12－S9）＝3＋6＋9＋12＝30.
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝（ ）
A.－1 B.－
C. D.1
解析：D ＝＝＝×＝1.
3.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 024＝S2 025，Sk＝S2 023，则正整数k＝（ ）
A.2 022 B.2 024
C.2 025 D.2 026
解析：D 因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 024＝S2 025，Sk＝S2 023，可得＝，解得k＝2 026.
4.古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（ ）
A.413 B.427
C.308 D.133
解析：A 由题知，每日布施的德拉玛数依次构成等差数列{an}，设数列的首项为a1，公差为d，则a1＝4，d＝5.则an＝4＋（n－1）×5＝5n－1，a15＝74，a8＝39，则这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为S15－S8＝－＝585－172＝413.
5.已知等差数列{an}的公差d＝，a2＋a4＋…＋a100＝80，则S100＝（ ）
A.80 B.120
C.135 D.160
解析：C 在等差数列{an}中，公差d＝，a2＋a4＋…＋a100＝80，所以a1＋a3＋…＋a99＝a2＋a4＋…＋a100－50d＝80－50×＝55，所以S100＝（a1＋a3＋…＋a99）＋（a2＋a4＋…＋a100）＝55＋80＝135.
6.〔多选〕已知数列{an}是等差数列，其前n项和Sn满足a1＋3a2＝S6，则下列四个选项中正确的是（ ）
A.a7＝0 B.S13＝0
C.S7最小 D.S5＝S8
解析：ABD 根据题意，设等差数列{an}的公差为d.对于A，a1＋3a2＝S6，即4a1＋3d＝6a1＋d，变形可得a1＋6d＝0，即a7＝0，故A正确；对于B，S13＝＝13a7＝0，故B正确；对于C，因为不能确定前6项的符号，故不能判断S7最小还是最大，故C不正确；对于D，S5－S8＝（5a1＋d）－（8a1＋d）＝－3a1－18d＝－3a7＝0，故D正确.
7.〔多选〕设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是（ ）
A.若d＜0，则数列{Sn}有最大项
B.若数列{Sn}有最大项，则d＜0
C.若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0
D.若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列
解析：ABD 显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则Sn有最大值，故A、B正确；若对任意n∈N*，Sn＞0，则a1＞0，d＞0，{Sn}必为递增数列，故D正确；而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}为递增数列，但S1＝－1＜0，故C不正确.
8.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差d＝ 5 .
解析：记该等差数列的前12项中偶数项的和为S偶，奇数项的和为S奇.由已知条件，得解得又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，S25＝0，则使Sn取得最大值时的n的值为 12或13 .
解析：设数列{an}的公差为d，所以S25＝25a1＋d＝0，则a1＝－12d，所以Sn＝na1＋d＝n2－n.考虑函数y＝n2－n，因为a1＞0，d＜0，所以该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线n＝.因为n为正整数，所以当n＝12或13时，Sn取得最大值.
10.一件家用电器用分期付款的方式购买，单价为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的第1个月为分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部货款付清后，买这件家用电器实际花了多少钱？
解：购买当天付了150元，欠款1 000元，每月付50元，分20次付完.设每月的付款数依次组成数列{an}，则a1＝50＋1 000×0.01＝60，
a2＝50＋（1 000－50）×0.01＝60－0.5＝59.5，
a3＝50＋（1 000－50×2）×0.01＝60－0.5×2＝59，
…
a10＝60－0.5×9＝55.5，
…
an＝60－0.5（n－1）（1≤n≤20）.
所以数列{an}是等差数列，公差d＝－0.5，全部货款付清后付款总数为S20＋150＝＋150＝（2a1＋19d）×10＋150＝（2×60－19×0.5）×10＋150＝1 225.
故第10个月应交付55.5元.全部货款付清后，买这件家用电器实际花了1 255元.
11.已知等差数列{an}满足S30＝120，a3＋a6＋a9＋…＋a30＝60，则an＝（ ）
A.2n－25 B.2n－27
C.3n－15 D.3n－18
解析：B 设等差数列的公差为d，则S30＝（a1＋a4＋…＋a28）＋（a2＋a5＋…＋a29）＋（a3＋a6＋…＋a30）＝（a3＋a6＋…＋a30）－20d＋（a3＋a6＋…＋a30）－10d＋（a3＋a6＋…＋a30）＝180－30d，即120＝180－30d，解得d＝2.又S30＝30a1＋×2＝120，解得a1＝－25.所以an＝－25＋（n－1）×2＝2n－27，故选B.
12.〔多选〕已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列命题中正确的是（ ）
A.d＜0 B.S11＞0
C.S12＜0 D.数列{Sn}中的最大项为S11
解析：AB ∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d＜0，A正确；又S11＝（a1＋a11）＝11a6＞0，B正确；S12＝（a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确.
13.已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，Sn有最小值，若＜－1，则使Sn＜0成立的n的最大值为 15 .
解析：因为＜－1，所以＋1＜0，即＜0.又Sn有最小值，所以a8＜0，a8＋a9＞0，所以S15＝＝15a8＜0，S16＝＝8（a8＋a9）＞0，因此，使Sn＜0成立的n的最大值为15.
14.已知项数为奇数的等差数列{an}，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数.
解：设等差数列{an}共有2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，中间项是第n＋1项，即an＋1.
所以＝＝＝＝＝，所以n＝3.
因为S奇＝（n＋1）an＋1＝44，所以an＋1＝11.所以这个数列的中间项为11，共有2n＋1＝7（项）.
15.一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点A和终点B），车上有一节邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个.
（1）证明：若列车从第k站出发时，车厢内共有邮袋数为（－k2＋nk）个；
（2）试判断第几站的车厢内邮袋数最多，最多是多少？
解：（1）证明：设列车从各站出发时，邮政车厢内的邮袋数构成一个数列{an}，则a1＝n－1，a2＝a1－1＋n－2＝（n－1）＋（n－2）－1，
a3＝a2－2＋n－3＝（n－1）＋（n－2）＋（n－3）－1－2，…，
所以ak＝（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋…＋（n－k）－（1＋2＋…＋k－1）＝kn－k（k＋1）－k（k－1）＝－k2＋nk（k∈N*）.
（2）由ak＝－（k－）2＋得，
当n为偶数，k＝时，ak的最大值为，当n为奇数，k＝或时，ak的最大值为.
即若n为偶数，则第站的车厢内邮袋数最多，最多为个；
若n为奇数，则第或站的车厢内邮袋数最多，最多为个.
9 / 9第二课时 等差数列前n项和的性质及应用
1.在等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12＝（ ）
A.12 B.18
C.24 D.30
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝（ ）
A.－1 B.－
C. D.1
3.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 024＝S2 025，Sk＝S2 023，则正整数k＝（ ）
A.2 022 B.2 024
C.2 025 D.2 026
4.古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（ ）
A.413 B.427
C.308 D.133
5.已知等差数列{an}的公差d＝，a2＋a4＋…＋a100＝80，则S100＝（ ）
A.80 B.120
C.135 D.160
6.〔多选〕已知数列{an}是等差数列，其前n项和Sn满足a1＋3a2＝S6，则下列四个选项中正确的是（ ）
A.a7＝0 B.S13＝0
C.S7最小 D.S5＝S8
7.〔多选〕设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是（ ）
A.若d＜0，则数列{Sn}有最大项
B.若数列{Sn}有最大项，则d＜0
C.若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0
D.若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列
8.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差d＝ .
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，S25＝0，则使Sn取得最大值时的n的值为 .
10.一件家用电器用分期付款的方式购买，单价为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的第1个月为分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部货款付清后，买这件家用电器实际花了多少钱？
11.已知等差数列{an}满足S30＝120，a3＋a6＋a9＋…＋a30＝60，则an＝（ ）
A.2n－25 B.2n－27
C.3n－15 D.3n－18
12.〔多选〕已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列命题中正确的是（ ）
A.d＜0
B.S11＞0
C.S12＜0
D.数列{Sn}中的最大项为S11
13.已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，Sn有最小值，若＜－1，则使Sn＜0成立的n的最大值为 .
14.已知项数为奇数的等差数列{an}，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数.
15.一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点A和终点B），车上有一节邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个.
（1）证明：若列车从第k站出发时，车厢内共有邮袋数为（－k2＋nk）个；
（2）试判断第几站的车厢内邮袋数最多，最多是多少？
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