第一课时 等差数列的前n项和公式
1.等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝2，S5＝15，则a1＝（ ）
A.－1 B.－2
C.－3 D.－4
2.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝（n＋1）2＋λ，则λ＝（ ）
A.－1 B.0
C.1 D.2
3.在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n＝（ ）
A.10 B.15
C.20 D.30
4.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an＞0的最小正整数n＝（ ）
A.7 B.8
C.9 D.10
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn且公差d≠0，若S7＝3a4，则（ ）
A.S3＝S4 B.S3＝S5
C.S4＝S5 D.S4＝S6
6.〔多选〕已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图象的是（ ）
7.〔多选〕已知{an}是等差数列，其公差为d，前n项和为Sn，a10＝10，S10＝70，则下列结论正确的是（ ）
A.a1＝4
B.d＝
C.数列{an}是递减数列
D.数列{Sn}是等差数列
8.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a7＋a12＝30，则S13＝ .
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＋S6＝27，则a2＋a4＝ .
10.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bn＝（n∈N*）.求证：数列{bn}是等差数列.
11.〔多选〕若数列{an}是等差数列，首项a1＜0，a203＋a204＞0，a203·a204＜0，则（ ）
A.a204＞0 B.d＜0
C.S405＜0 D.S406＞0
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝S10，S6＝Sk，则k＝ .
13.对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝ .
14.已知等差数列{an}的前三项为a－1，4，2a，记前n项和为Sn.
（1）设Sk＝2 550，求a和k的值；
（2）设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值.
15.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝1，S3＝9.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝a2n－1＋a2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
2 / 2第一课时 等差数列的前n项和公式
课标要求 情境导入
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程（逻辑推理、数学运算）. 2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个（数学运算）. 3.了解等差数列前n项和公式与二次函数的关系（逻辑推理）. 我们知道，梯形的面积公式为S＝（a＋b）h，那么你知道怎么推导这个公式吗？这里有一个很“有趣”的方法，如下面的示意图： 将梯形“倒置”，恰好拼接为一个平行四边形，平行四边形的面积为（a＋b）h，可得到梯形的面积为S＝（a＋b）h，你看懂了吗？
知识点一｜等差数列的前n项和公式
问题1 （1）据说，200多年前，高斯的算术老师提出了一个问题：1＋2＋3＋4＋…＋100＝？当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（50＋51）＝101×50＝5 050.你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？
提示：对于上述数列，设an＝n，那么高斯的计算方法可以表示为（a1＋a100）＋（a2＋a99）＋…＋（a50＋a51）＝101×50＝5 050，可以发现，高斯在计算中利用了a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51，这就是上一节学过的性质的应用，它使不同数的求和问题转化为相同数（即101）的求和，从而简化了运算.
（2）将上述方法推广到一般，你能求解Sn＝1＋2＋3＋…＋n吗？
提示：当n是偶数时，有a1＋an＝a2＋an－1＝…＝＋，∴Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝（1＋n）＋[2＋（n－1）]＋…＋［＋（＋1）］＝＝.
当n为奇数时，有Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝（1＋n）＋[2＋（n－1）]＋…＋［（－1）＋（＋1）］＋＝＋＝·（1＋n）＋＝.
∴对任意正整数n，都有Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
（3）你能不进行分类讨论求解Sn＝1＋2＋3＋…＋n吗？
提示：Sn＝1＋2＋3＋…＋n，Sn＝n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋1，两式相加，得2Sn＝（1＋n）＋（1＋n）＋…＋（1＋n）＝n（1＋n），∴Sn＝.
（4）应用（3）的方法，你能求等差数列{an}中Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an的和吗？
提示：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， ①
Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1， ②
①＋②，得2Sn＝（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋…＋（an＋a1）＝＝n（a1＋an）.∴Sn＝.
【知识梳理】
等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用公式 Sn＝ Sn＝ na1＋d
【例1】 （链接教材P21例6）已知数列{an}为等差数列.
（1）若a1＝3，a30＝97，求S30；
解：根据等差数列前n项和公式可得，S30＝＝＝1 500.
（2）若a1＝80，d＝－2，求S60；
解：根据等差数列前n项和公式可得，S60＝60×80＋×（－2）＝60×（80－59）＝1 260.
（3）若a25＝12，求S49.
解：因为{an}为等差数列，所以a1＋a49＝2a25，
故S49＝＝49a25＝49×12＝588.
【规律方法】
当已知首项、末项和项数时，用公式Sn＝较为简便；当已知首项、公差和项数时，用公式Sn＝na1＋d较为简便.在运用公式Sn＝时，注意结合等差数列的性质.
训练1 已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），则数列{an}的前9项和等于 27 .
解析：因为a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），所以数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，所以前9项和S9＝9＋×＝27.
知识点二｜利用等差数列前n项和公式求基本量
【例2】 已知数列{an}是等差数列.
（1）若a6＝10，S5＝5，求a1和Sn；
解：解得
所以Sn＝na1＋d＝－5n＋×3＝n2－n.
（2）若a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12；
解：因为Sn＝n×＋×（－）＝－15，整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5（舍去），
所以a12＝＋（12－1）×（－）＝－4.
（3）若a1＝－2 023，S6－2S3＝18，求d，S2 025；
解：因为a1＝－2 023，S6－2S3＝18，
所以6a1＋·d－6a1－2×·d＝18，
整理可得9d＝18，解得d＝2.
则S2 025＝2 025×（－2 023）＋×2＝2 025.
（4）若a1＋a2＋a3＋a4＝40，＋＋＋an＝80，Sn＝210，求n.
解：因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，＋＋＋an＝80，
所以4（a1＋an）＝120，即a1＋an＝30.
又因为Sn＝＝210，所以n＝＝14.
【规律方法】
等差数列前n项和有关的基本计算方法与技巧
（1）公式法（基本量法）：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量Sn，n，a1，an，d，这五个量可以“知三求二”，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题；
（2）性质法：等差数列前n项和Sn＝与等差数列性质“若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*，则am＋an＝ap＋aq”经常结合起来使用，使这类问题的解决更具灵活性.
提醒：解题时要注意整体代换的思想.
训练2 （1）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（ C ）
A.1 B.2
C.4 D.8
解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a4＋a5＝24，S6＝48，∴解得∴{an}的公差为4.
（2）在4和67之间插入一个n项的等差数列后，组成一个n＋2项的新等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n的值为 20 .
解析：由等差数列的求和公式可知，新等差数列的所有项之和Sn＋2＝（4＋67）（n＋2）＝781，解得n＝20.
知识点三｜利用等差数列前n项和公式判断等差数列
问题2 等差数列前n项和Sn＝na1＋d是关于n的二次函数吗？它可以写成什么形式？
提示：当d＝0时，Sn不是关于n的二次函数；当d≠0时，Sn是关于n的二次函数.Sn＝n2＋（a1－）n.
【例3】 若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.
解：当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2（n－1）2＋3（n－1）＝4n－5，
经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，
故an＝4n－5.
数列{an}是等差数列，证明如下：
因为an＋1－an＝4（n＋1）－5－4n＋5＝4，为常数，
所以数列{an}是等差数列.
变式 已知等差数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则{an}的公差d＝ －2 .
解析：法一 当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（－n2＋n）－[－（n－1）2＋（n－1）]＝－2n＋2，经检验，n＝1时，a1＝0也适合上式.故an＝－2n＋2（n∈N*），∴d＝－2.
法二 由二次项系数为－1，则公差为2×（－1）＝－2.
【规律方法】
由Sn求通项公式an的特点
若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an＝数列{an}不是等差数列.
训练3 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列.
解：当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（n2＋n－1）－[（n－1）2＋（n－1）－1]＝2n.
又a1＝1不满足an＝2n，
∴数列{an}的通项公式是an＝
∵a2－a1＝4－1＝3≠a3－a2＝2，
∴{an}不是等差数列.
1.已知等差数列{an}，若a2＝10，a5＝1，则{an}的前7项的和是（ ）
A.112 B.51 C.28 D.18
解析：C 设等差数列{an}的公差为d，由题意，得解得则S7＝7a1＋d＝28.故选C.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝45，a5＝7，则该数列的公差为（ ）
A.－5 B.5
C.－3 D.3
解析：A 由题意得，a5＝7，S10＝＝45，即＝45，解得a6＝2，所以公差d＝a6－a5＝－5.故选A.
3.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－1，S3＝3.
（1）求{an}的通项公式；
解：设数列{an}的公差为d，
则
解得
所以an＝－1＋（n－1）×2＝2n－3.
（2）求Sn.
解：由（1）得，Sn＝（a1＋an）＝（－1＋2n－3）＝n2－2n.
课堂小结
1.理清单
（1）等差数列前n项和公式；
（2）利用等差数列前n项和公式求基本量；
（3）利用等差数列前n项和公式判断等差数列.
2.应体会
利用等差数列的前n项和公式求基本量时，要注意方程思想及整体代换思想的应用.
3.避易错
由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论.
1.等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝2，S5＝15，则a1＝（ ）
A.－1 B.－2
C.－3 D.－4
解析：A 由题意得S5＝5a1＋×2＝15，则a1＝－1.故选A.
2.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝（n＋1）2＋λ，则λ＝（ ）
A.－1 B.0
C.1 D.2
解析：A ∵Sn＝n2＋2n＋1＋λ，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1.
3.在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n＝（ ）
A.10 B.15
C.20 D.30
解析：C 因为Sn＝na1＋n（n－1）d＝10n＋n（n－1）×2＝n2＋9n，所以n2＋9n＝580，解得n＝20或n＝－29（舍）.
4.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an＞0的最小正整数n＝（ ）
A.7 B.8
C.9 D.10
解析：B 由S13＝＝0，得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝－12＋（n－1）×2＝2n－14，由2n－14＞0，得n＞7，即使得an＞0的最小正整数n＝8.
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn且公差d≠0，若S7＝3a4，则（ ）
A.S3＝S4 B.S3＝S5
C.S4＝S5 D.S4＝S6
解析：A 由题意可知，S7＝＝7a4＝3a4，所以a4＝0，所以S3＝S3＋0＝S3＋a4＝S4.故选A.
6.〔多选〕已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图象的是（ ）
解析：ABC 因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn（a，b为常数，n∈N*），则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A、B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意.
7.〔多选〕已知{an}是等差数列，其公差为d，前n项和为Sn，a10＝10，S10＝70，则下列结论正确的是（ ）
A.a1＝4 B.d＝
C.数列{an}是递减数列 D.数列{Sn}是等差数列
解析：AB 由题意知，解得故A、B正确；因为d＞0，所以数列{an}是递增数列，故C错误；Sn－＝an＝4＋（n－1）×＝n＋（n≥2），不是常数，故数列{Sn}不是等差数列，故D错误.故选A、B.
8.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a7＋a12＝30，则S13＝ 130 .
解析：法一 设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a7＋a12＝（a1＋d）＋（a1＋6d）＋（a1＋11d）＝3a1＋18d＝30，∴a1＋6d＝10，∴S13＝13a1＋d＝13（a1＋6d）＝13×10＝130.
法二 ∵a2＋a7＋a12＝30，∴3a7＝30，即a7＝10，∴S13＝＝＝13a7＝130.
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＋S6＝27，则a2＋a4＝ 6 .
解析：设等差数列{an}的公差为d.因为S3＋S6＝3a1＋3d＋6a1＋15d＝9a1＋18d＝27，所以a1＋2d＝3，所以a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2a1＋4d＝2（a1＋2d）＝2×3＝6.
10.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bn＝（n∈N*）.求证：数列{bn}是等差数列.
证明：法一 设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n（n－1）d，
所以bn＝＝a1＋（n－1）d，所以bn＋1－bn＝a1＋nd－a1－（n－1）d＝（常数），
所以数列{bn}是等差数列.
法二 设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n（n－1）d，
所以bn＝＝a1＋（n－1）d，所以bn＋1＝a1＋nd，bn＋2＝a1＋（n＋1）d，
所以bn＋2＋bn＝a1＋（n＋1）d＋a1＋（n－1）d＝2a1＋nd＝2bn＋1，
所以数列{bn}是等差数列.
11.〔多选〕若数列{an}是等差数列，首项a1＜0，a203＋a204＞0，a203·a204＜0，则（ ）
A.a204＞0 B.d＜0
C.S405＜0 D.S406＞0
解析：ACD 由a203＋a204＞0 a1＋a406＞0 S406＞0，又由a1＜0，且a203·a204＜0，知a203＜0，a204＞0，所以公差d＞0，则数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405＜0，所以S405＜0.
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝S10，S6＝Sk，则k＝ 7 .
解析：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋（a1－）n可看作是关于n的二次函数且S3＝S10，∴对称轴方程为n＝＝.又∵S6＝Sk，∴＝，解得k＝7.
13.对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝ n2 .
解析：依题意知，a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2，进行累加求和得an＝1＋2（n－1）＝2n－1，故数列{an}的前n项和Sn＝2（1＋2＋3＋…＋n）－n＝2×－n＝n2.
14.已知等差数列{an}的前三项为a－1，4，2a，记前n项和为Sn.
（1）设Sk＝2 550，求a和k的值；
（2）设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值.
解：（1）由已知得，2×4＝a－1＋2a，解得a＝3，
所以a1＝2，公差d＝a2－a1＝2，
因为Sk＝2 550，所以2k＋×2＝2 550，
即k2＋k－2 550＝0，
解得k＝50或k＝－51（舍去），所以a＝3，k＝50.
（2）由（1）知，Sn＝2n＋×2＝n2＋n，bn＝＝＝n＋1，
又b3，b7，b11，…，b4n－1仍是等差数列，且共有n项，
所以b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝＝＝2n2＋2n.
15.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝1，S3＝9.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝a2n－1＋a2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：（1）因为{an}为等差数列，设其公差为d，则解得所以an＝a1＋（n－1）d＝1＋（n－1）×2＝2n－1.
（2）由（1）知an＝2n－1，所以a2n－1＝2（2n－1）－1＝4n－3，a2n＝2×2n－1＝4n－1，
所以bn＝a2n－1＋a2n＝8n－4.
当n＝1时，b1＝4；
当n≥2时，bn－bn－1＝8n－4－8（n－1）＋4＝8，
所以{bn}是首项为4，公差为8的等差数列，
所以Tn＝＝4n2，
所以{bn}的前n项和Tn＝4n2.
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