第二课时 等比数列的判定及性质
1.在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，则a3＝（ ）
A.4 B.
C. D.2
2.已知{an}为等比数列，若a2＋4a4＝4a3，则{an}的公比q＝（ ）
A.－2 B.2
C.－ D.
3.若数列{an}是公比为q的递增等比数列，则（ ）
A.a1＞0，q＞1
B.a1（q－1）＞0
C.（a1－1）q＞0
D.（a1－1）q＜0
4.在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9＝（ ）
A.9 B.－9
C.±9 D.18
5.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝tan＋t（n∈N*，t≠0），则“t＝”是“数列{an}是等比数列”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.〔多选〕已知等比数列{an}，则下面式子对任意正整数k都成立的是（ ）
A.ak·ak＋1＞0
B.ak·ak＋2＞0
C.ak·ak＋1·ak＋2＞0
D.ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＞0
7.在等比数列{an}中，存在正整数m，有am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝ .
8.在等比数列{an}中，a2·a10＝6，a2＋a10＝5，则＝ .
9.已知等比数列{an}中，am·am＋10＝a，am＋20·am＋30＝b（m∈N*），则am＋40·am＋50＝ .
10.已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，＝9a2a6.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式.
11.已知等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝（ ）
A.±2 B.±4
C.2 D.4
12.已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a（a＞0），b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.若数列{an}唯一，则a＝（ ）
A. B.
C. D.1
13.设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为 .
14.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝an－4an＋1，S1＝－1.
（1）证明：数列{2an＋1－an}为等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
15.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝an（n＋2－λ），且数列{bn}是递减数列，求实数λ的取值范围.
2 / 2第二课时 等比数列的判定及性质
课标要求 情境导入
1.体会等比数列的通项公式与指数函数的关系（数学抽象）. 2.掌握等比数列的判断及证明方法（逻辑推理）. 3.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算（逻辑推理、数学运算）. 在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引伸到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，推理使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列的性质.
知识点一｜等比数列的通项公式与指数函数的关系
问题1 （1）观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
提示：由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f（x）＝
·qx（x∈R）当x＝n时的函数值，即an＝f（n）.因此等比数列{an}的图象是函数f（x）＝·qx（x∈R）图象上的一些孤立的点.
（2）有人说，等比数列的通项公式与指数函数一样，所以当q＞1时，数列递增；0＜q＜1时，数列递减，你认为正确吗？
提示：不对.比如q＞1的数列：－1，－2，－4，－8，…为递减数列；0＜q＜1的数列：－，－，－，…为递增数列.
【知识梳理】
等比数列的通项公式与指数型函数的关系
（1）当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f（x）＝·qx（x∈R）当x＝n时的函数值，即an＝f（n），n∈N*；
（2）由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下：
①当或时，等比数列{an}为递增数列；
②当或时，等比数列{an}为递减数列；
③当q＝1时，等比数列{an}为常数列；
④当q＜0时，等比数列{an}为 摆动数列 .
提醒：（1）q＜0或q＝1时，等比数列通项公式不具备指数型函数特点；（2）等比数列的单调性由a1和q共同决定，只有q＞0且q≠1时存在单调性.
【例1】 （链接教材P31练习4题）（1）根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是（ C ）
A.an＝n B.an＝
C.an＝2－n D.an＝log2n
解析：等比数列的通项公式具有“指数型函数”的结构.
（2）下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述正确的是（ D ）
A.q＞1 {an}为递增数列
B.{an}为递增数列 q＞1
C.0＜q＜1 {an}为递减数列
D.q＞1 /{an}为递增数列，且{an}为递增数列 /q＞1
解析：若a1＝－2，q＝2＞1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，是递减数列，A不正确；若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…，是递增数列，q＝∈（0，1），B、C不正确，D正确.
【规律方法】
1.具备“an＝kqn（k≠0，q≠0）”形式，如an＝2n－1，an＝3（）n＋2为等比数列.
2.等比数列的单调性由a1和q共同决定，即a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1，{an}递增；a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1，{an}递减.
训练1 （1）数列{an}是各项均为实数的等比数列，则“a2＞a1＞0”是“数列{an}为递增数列”的（ A ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：∵a2＞a1＞0，∴a1q＞a1＞0，可得q＞1，∴数列{an}为递增数列；反之不成立，例如数列{－}是递增数列，但a1＝－＜0.∴“a2＞a1＞0”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件.故选A.
（2）若等比数列{an}是递减数列，且a2＋a4＝30，a2a4＝144，则公比q＝ .
解析：∵a2＋a4＝30，a2a4＝144，∴a2，a4是方程x2－30x＋144＝0的两个实数根（a2＞a4），∴a2＝24，a4＝6，∴q2＝＝＝，解得q＝或q＝－（舍去）.
知识点二｜等比数列的判定与证明
问题2 若数列{an}中an≠0，则由＝a1a3能判定{an}是等比数列吗？若是＝anan＋2呢？
提示：＝a1a3可变为＝，可判断a1，a2，a3成等比数列，但无法确定整个数列是等比数列，而＝anan＋2可变为＝，考虑n的任意性，可以判定数列为等比数列.
【知识梳理】
判定与证明等比数列的方法
（1）定义法：＝ q （n∈N*且n≥2，q是不为0的常数）；
（2）等比中项法：＝ an－1an＋1 （n∈N*且n≥2）；
（3）通项公式法：an＝ a1qn－1 ＝·qn＝A·qn（A≠0）.
【例2】 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋n－1.
（1）求证：数列{an＋n}为等比数列；
解：证明：由an＋1＝2an＋n－1，得an＋1＋n＋1＝2an＋2n＝2（an＋n），易知an＋n≠0，
∴＝2，且a1＋1＝2，
∴数列 {an＋n}是首项与公比都为2的等比数列.
（2）求数列{an}的通项公式.
解：由（1）得an＋n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－n.
【规律方法】
判断一个数列是等比数列需注意
（1）证明{an}为等比数列常用定义法；
（2）用定义法证明时，和中的n的范围不同.
训练2 （1）已知数列{an}的各项均不为零，若命题甲：anan＋3＝an＋1an＋2（n∈N*）；命题乙：数列{an}是等比数列，则甲是乙的（ B ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：若anan＋3＝an＋1an＋2，则＝，当an＝1，an＋1＝2，an＋2＝3，an＋3＝6时满足＝＝2，但数列{an}不是等比数列，所以充分性不成立；若数列{an}是等比数列，则＝＝q，所以anan＋3＝an＋1an＋2，必要性成立，所以甲是乙的必要不充分条件.故选B.
（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝（an－1）（n∈N*）.证明：数列{an}是等比数列.
证明：因为Sn＝（an－1），所以Sn＋1＝（an＋1－1），
两式相减，得an＋1＝an＋1－an，即an＋1＝－an.
又当n＝1时，a1＝S1＝（a1－1），所以a1＝－.
所以数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列.
知识点三｜等比数列的性质
问题3 （1）类比等差数列中“若m，n∈N*， 则an＝am＋（n－m）d”，能否找到等比数列中任意两项an，am的关系呢？
提示：类比可得an＝amqn－m.由等比数列的定义可知an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，两式相除可得＝＝q（n－1）－（m－1）＝qn－m，即an＝amqn－m.
（2） 类比等差数列中“若m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*，则am＋an＝ak＋al”，能否发现等比数列中相似的关系呢？
提示：类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*.推导过程：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1，所以aman＝a1qm－1·a1qn－1＝qm＋n－2，akal＝a1qk－1·a1ql－1＝qk＋l－2，因为m＋n＝k＋l，所以有aman＝akal.
【知识梳理】
{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则：
（1）an＝am· qn－m （n，m∈N*）；
（2）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则 aman＝apaq ；
特别地，①若m＋n＝2r，则aman＝，m，n，r∈N*；②a1an＝a2an－1＝…＝aian＋1－i＝…（i＝1，2，3，…，n）；
（3）若m＋n＋t＝p＋r＋s，则amanat＝aparas，其中m，n，t，p，r，s∈N*；
（4）若m，n，p（m，n，p∈N*）成等差数列，则am，an，ap成等比数列.
【例3】 （链接教材P31练习5题）在等比数列{an}中.
（1）已知a5＝4，a9＝16，则a7＝ 8 ；
解析：（1）设等比数列{an}的公比为q，则a7＝a5q2＞0.由等比中项的性质可得＝a5a9＝64，解得a7＝8.
（2）若an＞0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，则a6＋a8＝ 7 ；
解析：由等比中项，化简条件得＋2a6a8＋＝49，即（a6＋a8）2＝49，因为an＞0，所以a6＋a8＝7.
（3）若an＞0，a5a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝ 10 .
解析：由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3（a1a2·…·a10）＝log3[（a1a10）（a2a9）·（a3a8）（a4a7）（a5a6）]＝log395＝10.
【规律方法】
利用等比数列的性质解题
（1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；
（2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.
训练3 （1）已知在等比数列{an}中，有a3a7a10＝9，则a4＝（ B ）
A.3 B.9
C.20 D.无法计算
解析：由等比数列多项之间的下标和的关系可知3＋7＋10＝4＋8＋8，故a4＝9.
（2）在等比数列{an}中，a6·a12＝6，a4＋a14＝5，则＝（ A ）
A.或 B.
C.或 D.或
解析：由a6·a12＝a4·a14＝6，且a4＋a14＝5，解得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2，若a4＝2，a14＝3，则q10＝，即＝；若a4＝3，a14＝2，则q10＝，即＝.
1.在等比数列{an}中，若a3＝8，a6＝64，则公比q＝（ ）
A.2 B.3
C.4 D.8
解析：A 由a6＝a3q3，得q3＝8，所以q＝2.
2.在等比数列{an}中，若a2a6＋＝π，则a3a5＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：C 因为a2a6＝＝a3a5，所以a3a5＝.
3.在等比数列{an}中，如果公比为q，且q＜1，那么等比数列{an}是（ ）
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.无法确定单调性
解析：D 如等比数列{（－1）n}的公比为－1，是摆动数列，不具有单调性；等比数列{（）n}的公比为，是递减数列；等比数列{－（）n}的公比为，是递增数列.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列.
解：an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1（n≥2）.当n≥2时，＝＝2；
当n＝1时，＝＝.
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；
当a≠－1时，数列{an}不是等比数列.
课堂小结
1.理清单
（1）等比数列的通项公式与指数函数的关系；
（2）等比数列的判定与证明；
（3）等比数列的性质.
2.应体会
（1）等比数列的通项公式与指数函数的关系体现了函数思想；
（2）等比数列的判定与证明要注意类比法的应用；
（3）解决与等比数列性质有关的问题要注意分类讨论思想与方程思想的应用.
3.避易错
易忽视等比数列性质的使用条件.
1.在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，则a3＝（ ）
A.4 B.
C. D.2
解析：A 由等比数列的性质可得＝a9a3，得a3＝4.
2.已知{an}为等比数列，若a2＋4a4＝4a3，则{an}的公比q＝（ ）
A.－2 B.2
C.－ D.
解析：D 根据等比数列定义由a2＋4a4＝4a3可得a2＋4a2q2＝4a2q，显然a2≠0，所以4q2－4q＋1＝0，解得q＝.故选D.
3.若数列{an}是公比为q的递增等比数列，则（ ）
A.a1＞0，q＞1
B.a1（q－1）＞0
C.（a1－1）q＞0
D.（a1－1）q＜0
解析：B 依题意，不妨设a1＝1，q＝2，数列是递增的等比数列，由此判断C、D选项错误.设a1＝－1，q＝，数列是递增的等比数列，由此判断A选项不正确.故正确的选项为B.
4.在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9＝（ ）
A.9 B.－9
C.±9 D.18
解析：A 因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9.所以（a1a9）2＝81，即a1a9＝±9.因为在等比数列{an}中，奇数项（或偶数项）的符号相同，所以a1，a9同号，所以a1a9＝9.
5.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝tan＋t（n∈N*，t≠0），则“t＝”是“数列{an}是等比数列”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：C 当t＝时，由a1＝1得a2＝＋＝1，a3＝＋＝1，…，an＝1，所以{an}是等比数列，充分性成立；反之若{an}是等比数列，则a2＝ta1＋t＝2t，a3＝ta2＋t＝2t2＋t，又因为a1，a2，a3也成等比数列，所以＝a1a3，即4t2＝2t2＋t，又t≠0，所以t＝，此时an＝1（n∈N*），满足题意，必要性也成立.所以“t＝”是“数列{an}是等比数列”的充要条件.故选C.
6.〔多选〕已知等比数列{an}，则下面式子对任意正整数k都成立的是（ ）
A.ak·ak＋1＞0
B.ak·ak＋2＞0
C.ak·ak＋1·ak＋2＞0
D.ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＞0
解析：BD 对于A，当q＜0时，ak·ak＋1＜0，A不一定成立；对于B，ak·ak＋2＝（akq）2＞0，B成立；对于C，ak·ak＋1·ak＋2＝（ak＋1）3＞0不一定成立，C不一定成立；对于D，ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＝（ak＋1·ak＋2）2＞0一定成立，故选B、D.
7.在等比数列{an}中，存在正整数m，有am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝ 1 536 .
解析：由题意知q5＝＝8，am＋15＝am·q15＝3×83＝1 536.
8.在等比数列{an}中，a2·a10＝6，a2＋a10＝5，则＝ 或 .
解析：由a2·a10＝6，a2＋a10＝5，得a2和a10为方程x2－5x＋6＝0的两个根，解得a2＝2，a10＝3或a2＝3，a10＝2，设等比数列{an}的公比为q，所以＝＝＝或.
9.已知等比数列{an}中，am·am＋10＝a，am＋20·am＋30＝b（m∈N*），则am＋40·am＋50＝ .
解析：由等比数列性质an＋p＝an·qp，b＝am＋20·am＋30＝am·q20·am＋10·q20＝（am·am＋10）q40＝aq40，∴q40＝，故am＋40·am＋50＝（am·am＋10）·q80＝a·（）2＝.
10.已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，＝9a2a6.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式.
解：（1）设数列{an}的公比为q，
由＝9a2a6得＝9，所以q2＝.
由已知q＞0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝－（1＋2＋…＋n）＝－.
11.已知等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝（ ）
A.±2 B.±4 C.2 D.4
解析：C ∵T13＝4T9，∴a1a2·…·a9a10a11a12a13＝4a1a2·…·a9，∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴（a8·a15）2＝4，∴a8a15＝±2.又∵{an}为递减数列，∴q＞0，∴a8a15＝2.
12.已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a（a＞0），b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.若数列{an}唯一，则a＝（ ）
A. B.
C. D.1
解析：B 设{an}的公比为q，由b1＝1＋a，b2＝2＋a2，b3＝3＋a3且＝b1b3 （2＋aq）2＝（1＋a）·（3＋aq2） aq2－4aq＋3a－1＝0，由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，所以方程有两个不相等的实数根.由{an}唯一，知方程必有一根为0，代入方程aq2－4aq＋3a－1＝0中，得a＝.
13.设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为 64 .
解析：法一 设{an}的公比为q，依题意得解得所以an＝（）n－4，从而a1a2…an＝（＝（，当n＝3或n＝4时，［（n－）2－］取到最小值－6，此时（取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64.
法二 设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得a1＝8，q＝，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，所以a1a2…an≤a1a2a3a4＝64.
14.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝an－4an＋1，S1＝－1.
（1）证明：数列{2an＋1－an}为等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
解：（1）证明：∵Sn＝an－4an＋1①，∴Sn＋1＝an＋1－4an＋2②，
②－① an＋1＝an＋1－4an＋2－an＋4an＋1，∴4an＋2＝4an＋1－an，
故4an＋2－2an＋1＝2an＋1－an，∴2an＋2－an＋1＝（2an＋1－an），
而在①式中令n＝1 a1＝a1－4a2，又S1＝－1，
∴a2＝0，∴2a2－a1＝1≠0，
∴{2an＋1－an}是首项为1，公比为的等比数列.
（2）由（1）得，2an＋1－an＝，
则2nan＋1－2n－1an＝1，
∴数列{2n－1an}是首项为－1，公差为1的等差数列.
∴2n－1an＝n－2，∴an＝.
15.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝an（n＋2－λ），且数列{bn}是递减数列，求实数λ的取值范围.
解：（1）设数列{an}的公比为q.
由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1.
由a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列，
知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，
解得q＝或q＝（舍去），
所以an＝8×（）n－1＝24－n，n∈N*.
（2）bn＝an（n＋2－λ）＝（n＋2－λ）·24－n，
由bn＞bn＋1，
得（n＋2－λ）·24－n＞（n＋3－λ）·23－n，
即λ＜n＋1，
所以λ＜（n＋1）min＝2，
故实数λ的取值范围为（－∞，2）.
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