第三课时 等比数列的综合应用
课标要求
1.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形（数学运算）. 2.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题（数学建模）. 3.了解由等比数列衍生出新等比数列的常见形式（逻辑推理、数学运算）.
知识点一｜灵活设项求解等比数列
【例1】 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.
解：法一 设前三个数分别为，a，aq，
则·a·aq＝216，所以a3＝216，所以a＝6.
因此前三个数为，6，6q.
由题意知第4个数为12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝.
故所求的四个数为9，6，4，2.
法二 设后三个数为4－d，4，4＋d，
则第1个数为（4－d）2，
由题意知（4－d）2×（4－d）×4＝216，
解得4－d＝6.
所以d＝－2.
故所求得的四个数为9，6，4，2.
【规律方法】
巧设等比数列项的方法
（1）若三个数成等比数列，常设为，a，aq.推广到一般，奇数个数成等比数列，可设为…，，，a，aq，aq2，…；
（2）四个符号相同的数成等比数列，常设为，，aq，aq3.推广到一般，偶数个符号相同的数成等比数列，可设为…，，，，aq，aq3，aq5，…；
（3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
训练1 有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后成等差数列，则这四个数的和是 45 .
解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.即整理得解得因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45.
知识点二｜等比数列的实际应用
【例2】 从盛满a（a＞1）升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又添满水摇匀，如此继续下去，问：
（1）第n次操作后容器中酒精的浓度是多少？
解：由题意知开始时容器中酒精的浓度为1，设第n次操作后容器中酒精的浓度为an，则第1次操作后容器中酒精的浓度为a1＝1－，第n＋1次操作后容器中酒精的浓度为an＋1＝an（1－），
所以{an}是首项为a1＝1－，公比为q＝1－的等比数列，所以an＝a1qn－1＝（1－）n，
即第n次操作后容器中酒精的浓度是（1－）n.
（2）当a＝2时至少应操作几次后才能使容器中酒精的浓度低于10%？
解：当a＝2时，由an＝（）n＜，解得n≥4.
故至少应操作4次后才能使容器中酒精的浓度低于10%.
【规律方法】
等比数列实际应用的求解思路
（1）认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；
（2）合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素；
（3）针对所求结果作出合理解释.
训练2 某公司的销售额下跌严重，从2025年的7月销售收入128万元，到9月跌至32万元，你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时候每月销售收入跌至8万元？
解：设每月平均下降的百分比为x，
则每月的销售收入构成了等比数列{an}，
a1＝128，则a2＝a1（1－x），
a3＝a1（1－x）2＝128（1－x）2＝32，解得x＝50%.
设an＝8，an＝128（1－50%＝8，解得n＝5，
所以从2025年的7月算起第5个月，即2025年的11月该公司的销售收入跌至8万元.
提能点｜由等比数列衍生的新数列
问题 （1）若数列{an}是等比数列，那么{2an}是等比数列吗？{an＋2}呢？
提示：{2an}为等比数列，{an＋2}一般不是等比数列.
证明：设{an}的公比为q，则＝＝q，即{2an}仍然是公比为q的等比数列；又＝，若an不是常数，则该式子不是定值，故{an＋2}一般不是等比数列.
（2）若数列{an}是等比数列，那么数列a3，a6，a9，a12，…是等比数列吗？
提示：是等比数列，因为＝＝＝…＝q3为常数.
【知识梳理】
1.若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}，{}，{｜an｜}，{}，{anan＋1}都是等比数列，公比分别为 q，，｜q｜，q2，q2 .
2.若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与{}也都是等比数列，公比分别为 pq 和 .
3.在等比数列{an}中，每隔k项（k∈N*）取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列.
提醒：（1）下标等差时所取项构成等比数列，如{an}，{a2n－1}，{a3n－2}，…；（2）在数列{an}中，依次每k项的和（或积）构成公比为qk（或）的等比数列.
【例3】 （1）（链接教材P34练习2题）〔多选〕如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中一定是等比数列的是（ ABC ）
A.{} B.{}
C.{an·an＋1} D.{an＋an＋1}
解析：取等比数列an＝（－1）n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故D不一定是；对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质.
（2）若{an}，{bn}都是等比数列，满足a1b1＝3，a5b5＝6，则a9b9＝ 12 .
解析：易知{anbn}为等比数列，则有（a5b5）2＝（a1b1）·（a9b9），即62＝3（a9b9），∴a9b9＝12.
【规律方法】
1.证明新数列是否为等比数列时常可借助定义法.
2.由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q＜0的情况.
训练3 （1）对任意等比数列{an}，下列说法正确的是（ D ）
A.a1，a3，a9成等比数列
B.a2，a3，a6成等比数列
C.a2，a4，a8成等比数列
D.a3，a6，a9成等比数列
解析：从项的序号寻找规律，序号成等差数列，对应的项成等比数列.由于3，6，9成等差数列，所以a3，a6，a9成等比数列.
（2）已知等比数列{an}满足a1＋a2＋a3＝3，a3＋a4＋a5＝5，则a5＋a6＋a7＝ .
解析：{an＋an＋1＋an＋2}为等比数列，则（a3＋a4＋a5）2＝（a1＋a2＋a3）（a5＋a6＋a7），可知a5＋a6＋a7＝＝.
等差、等比数列转化
由教材P32例5我们可以看出：将等差数列{an}的每一项作为同底数的指数所得到的新数列是等比数列；而将正项等比数列{an}的每一项取同底数的对数所得到的新数列是等差数列.
【问题探究】
已知b＞0且b≠1，如果数列{an}是公差为d的等差数列，那么数列{}是否一定是等比数列？如果数列{an}是各项均为正数且公比为q的等比数列，那么数列{logban}是否一定是等差数列？
提示：（1）＝＝bd，所以数列{}是公比为bd的等比数列；
（2）logban＋1－logban＝logb＝logbq，所以数列{logban}是公差为logbq的等差数列.
【迁移应用】
1.已知各项均为正数的等比数列{an}满足：a4＝128，a8＝215.设bn＝log2an，则数列{bn}的通项公式为 bn＝2n－1 .
解析：设等比数列{an}的公比为q，由已知得q4＝＝28.∵数列{an}是各项均为正数的等比数列，∴q＝4，∴a1＝＝2，∴an＝2×4n－1＝22n－1.又∵bn－bn－1＝log2an－log2an－1＝log24＝2（n≥2），b1＝log2a1＝1，∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴bn＝2n－1.
2.数列{an}满足log2an－1＝log2an＋1（n∈N*），若a1＋a3＋…＋＝2n，则log2（a2＋a4＋a6＋…＋）＝ n－1 .
解析：由log2an－1＝log2an＋1，即log2an＋1－log2an＝－1，即log2 ＝－1，得＝，∴数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为，∵a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n，∴a2＋a4＋…＋a2n＝（a1＋a3＋…＋a2n－1）＝2n－1，则log2（a2＋a4＋a6＋…＋a2n）＝n－1.
1.已知项数相同的等比数列{an}和{bn}，则下列数列不是等比数列的是（ ）
A.{3an} B.{}
C.{2an－3bn} D.{2an·3bn}
解析：C 易证得A、B、D都是等比数列.
2.若等比数列{an}的公比为q，则a1，a8，a15的公比为 q7 .
解析：由于数列{an}是公比为q的等比数列，因此a8＝a1q7，a15＝a1q14，故＝＝q7.
3.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为 .
解析：设衰分比例为q（0＜q＜1），则甲、乙、丙各分得，28，28q石，∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或.又0＜q＜1，∴q＝.
4.已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，则这四个数依次为 －，，－2，8或8，－2，，－ .
解析：设四个数依次为a，aq，aq2，aq3，则解得或故所求四个数依次为－，，－2，8或8，－2，，－.
课堂小结
1.理清单
（1）灵活设项求解等比数列；
（2）等比数列的实际应用；
（2）由等比数列衍生的新数列.
2.应体会
（1）解决等比数列中项的设法问题要注意方程思想的应用；
（2）解决由等比数列衍生的新数列问题利用了转化与化归思想.
3.避易错
（1）构造新的等比数列时易忽视有等于0的项；
（2）四个数成等比数列时设成，，aq，aq3，未考虑公比为负的情况.
1.由公比为q的等比数列a1，a2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a1a2，a2a3，a3a4，…是（ ）
A.等差数列
B.以q为公比的等比数列
C.以q2为公比的等比数列
D.以2q为公比的等比数列
解析：C 因为＝＝q2，为常数，所以该数列为以q2为公比的等比数列.
2.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为（ ）
A.2 B.
C.3 D.
解析：D 法一 依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q（q≠0），由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝×＝.故选D.
法二 依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝（a1a9）·（a2a8）·（a3a7）＝＝27.所以a5＝.故选D.
3.已知等比数列{an}中，a2＝，a5＝，则数列{log2an}的前10项和为（ ）
A.－55 B.－33
C.33 D.55
解析：A 设等比数列{an}的公比为q，由a2＝，a5＝，可得a2q3＝×q3＝，解得q＝，又由a1q＝a1×＝，解得a1＝，所以an＝（）n，则log2an＝log2（）n＝－n，所以{log2an}是等差数列，数列{log2an}的前10项之和为S10＝＝－55.
4.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝（ ）
A.210 B.220
C.216 D.215
解析：B 设A＝a1a4a7·…·a28，B＝a2a5a8·…·a29，C＝a3a6a9·…·a30，则A，B，C成等比数列，公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，所以B＝210，所以C＝B·210＝220.
5.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于（ ）
A.2 024 B.2 012
C.2 048 D.4 096
解析：C 依题意，这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，所以an＝2×（）n－1，所以第10个正方形的面积S＝＝[2×（）9]2＝4×29＝2 048.
6.下列说法正确的是（ ）
A.若＝4n，n∈N*，则{an}为等比数列
B.若anan＋2＝，n∈N*，则{an}为等比数列
C.若aman＝2m＋n，m，n∈N*，则{an}为等比数列
D.若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N*，则{an}为等比数列
解析：C 由＝4n知｜an｜＝2n，则数列{an}未必是等比数列；对于B、D选项，满足条件的数列中可以存在零项，故数列{an}不一定是等比数列；对于C选项，由aman＝2m＋n知，aman＋1＝2m＋n＋1，两式相除得＝2（n∈N*），故数列{an}是等比数列.故选C.
7.〔多选〕如图，各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是（ ）
A.矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列
B.由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为
C.按照这个规律继续下去，第n－1个矩形块中所填数字是
D.由大到小排列，是第七个矩形块中的数字
解析：BCD 设每个矩形块中的数字从大到小形成数列{an}，则由题意可得{an}是首项为，公比为的等比数列，∴an＝×（）n－1＝，故A中结论错误；a8＝＝，故B中结论正确；第n－1个矩形块中所填数字是，故C中结论正确；a7＝＝，故D中结论正确.故选B、C、D.
8.在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为 8 .
解析：设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝×8＝4，因为a2＝b＞0，所以b＝2（舍负）.所以这3个数的积为abc＝4×2＝8.
9.我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展尤其迅速，某制药公司第一年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律至少到第 10 年每年投入的资金可达250万元以上（精确到1年）.（参考数据：lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70）
解析：由题知，该制药公司每年投入的研发资金满足等比数列模型，且a1＝50，q＝1.2，所以an＝50×1.2n－1，令an＝50×1.2n－1＞250，所以1.2n－1＞5，所以n－1＞log1.25＝≈＝8.75，所以n＞9.75，又因为n为正整数，所以n＝10.
10.有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间的两个数的和为18，求这四个数.
解：法一 设前三个数分别为，a，aq（q≠0），则第四个数为2aq－a.
由题意得
解得q＝2或q＝.
当q＝2时，a＝6，这四个数为3，6，12，18；
当q＝时，a＝，这四个数为，，，.
法二 设后三个数分别为a－d，a，a＋d，
则第一个数为，
因此这四个数为，a－d，a，a＋d.
由题意得
解得或
故这四个数为3，6，12，18或，，，.
11.（2025·青岛月考）若数列{an}是等差数列，bn＝，则数列{bn}也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为（ ）
A.dn＝
B.dn＝
C.dn＝
D.dn＝
解析：D 设正项等比数列{cn}的首项为c1，公比为q，则c1·c2·…·cn＝c1·（c1q）·…·（c1qn－1）＝，令dn＝＝＝＝c1，∴{dn}是等比数列.
12.〔多选〕设{an}（n∈N*）是各项均为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中成立的是（ ）
A.0＜q＜1
B.a7＝1
C.K9＞K5
D.K6与K7均为Kn的最大值
解析：ABD 对于B，由K6＝K7，得a7＝＝1，B正确；对于A，由K5＜K6可得，a6＝＞1，则q＝∈（0，1），故A正确；对于C，由{an}是各项均为正数的等比数列且q∈（0，1）可得数列是递减数列，因为a7＝1，所以a8＜1，则＝a6a7a8a9＝（a7a8）2＝＜1，所以K9＜K5，故C错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确.故选A、B、D.
13.设有4项的数列{an}的前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数列，其和为6，则实数m的取值范围为 ［，＋∞） .
解析：∵后3项成等差数列，其和为6，∴可设公差为d，后3项可写成2－d，2，2＋d.又∵前3项成等比数列，∴根据等比中项的性质，可知第1项为，∴数列{an}为，2－d，2，2＋d.∴m＝＋2－d＋2＝d2－3d＋6＝（d－3）2＋≥.
14.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nSn＋1－（n＋1）Sn＝，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）由nSn＋1－（n＋1）Sn＝，得－＝，
∴数列{}是首项为＝1，公差为的等差数列，
∴＝1＋（n－1）＝（n＋1），∴Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
a1＝1也适合上式，∴an＝n.
（2）由（1）知an＝n，Sn＝.
假设存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列，
则＝ak·a4k，即［］2＝k·4k.
∵k为正整数，∴（2k＋1）2＝4，得2k＋1＝2或2k＋1＝－2，
解得k＝或k＝－，与k为正整数矛盾.
∴不存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列.
15.已知数列{Am}：a1，a2，…，am（m≥2）.若存在公比为q的等比数列{Bm＋1}：b1，b2，…，bm＋1，使得bk＜ak＜bk＋1，其中k＝1，2，…，m，则称数列{Bm＋1}为数列{Am}的“等比分割数列”.若数列{A10}的通项公式为an＝2n（n＝1，2，…，10），其“等比分割数列”{B11}的首项为1，求数列{B11}的公比q的取值范围.
解：因为{B11}的首项为1，公比为q，所以bn＝qn－1，
则qk－1＜2k＜qk对于k＝1，2，…，10成立，
当k＝1时1＜2＜q，
当k＝2，3，…，10时，2＜q＜，
而y＝2x是增函数，＝1＋随着k的增大而减小，所以y＝随着k的增大而减小，
从而（）min＝，所以2＜q＜.
即公比q的取值范围为（2，）.
9 / 9第三课时 等比数列的综合应用
1.由公比为q的等比数列a1，a2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a1a2，a2a3，a3a4，…是（ ）
A.等差数列
B.以q为公比的等比数列
C.以q2为公比的等比数列
D.以2q为公比的等比数列
2.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为（ ）
A.2 B.
C.3 D.
3.已知等比数列{an}中，a2＝，a5＝，则数列{log2an}的前10项和为（ ）
A.－55 B.－33
C.33 D.55
4.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝（ ）
A.210 B.220 C.216 D.215
5.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于（ ）
A.2 024 B.2 012
C.2 048 D.4 096
6.下列说法正确的是（ ）
A.若＝4n，n∈N*，则{an}为等比数列
B.若anan＋2＝，n∈N*，则{an}为等比数列
C.若aman＝2m＋n，m，n∈N*，则{an}为等比数列
D.若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N*，则{an}为等比数列
7.〔多选〕如图，各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是（ ）
A.矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列
B.由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为
C.按照这个规律继续下去，第n－1个矩形块中所填数字是
D.由大到小排列，是第七个矩形块中的数字
8.在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为 .
9.我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展尤其迅速，某制药公司第一年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律至少到第 年每年投入的资金可达250万元以上（精确到1年）.（参考数据：lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70）
10.有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间的两个数的和为18，求这四个数.
11.（2025·青岛月考）若数列{an}是等差数列，bn＝，则数列{bn}也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为（ ）
A.dn＝
B.dn＝
C.dn＝
D.dn＝
12.〔多选〕设{an}（n∈N*）是各项均为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中成立的是（ ）
A.0＜q＜1
B.a7＝1
C.K9＞K5
D.K6与K7均为Kn的最大值
13.设有4项的数列{an}的前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数列，其和为6，则实数m的取值范围为 .
14.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nSn＋1－（n＋1）Sn＝，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.
15.已知数列{Am}：a1，a2，…，am（m≥2）.若存在公比为q的等比数列{Bm＋1}：b1，b2，…，bm＋1，使得bk＜ak＜bk＋1，其中k＝1，2，…，m，则称数列{Bm＋1}为数列{Am}的“等比分割数列”.若数列{A10}的通项公式为an＝2n（n＝1，2，…，10），其“等比分割数列”{B11}的首项为1，求数列{B11}的公比q的取值范围.
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