一、导数的概念及运算
1.导数的概念是由“以直代曲”的思想方法近似表示，然后利用“无穷逼近”的极限思想精确表达的一个数学概念，正确理解导数的概念是中学数学学科素养的一大提升.
2.在导数的概念建立之后，利用定义会求简单初等函数的导数，领悟极限算法的基本思想，掌握基本初等函数的导数公式及四则运算法则，会求简单的复合函数的导数.
【例1】 （1）函数y＝x2cos 2x的导数为（ ）
A.y'＝2xcos 2x－x2sin 2x B.y'＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C.y'＝x2cos 2x－2xsin 2x D.y'＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
（2）当函数y＝（a＞0）在x＝x0处的导数为0时，x0＝（ ）
A.a B.±a C.－a D.a2
（3）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足关系式f（x）＝－x3＋2f'（1）x＋ex，则f'（1）＝ .
【反思感悟】
求函数导数的一般方法
连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式 先化为和或差的形式，再求导
复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
二、导数的几何意义（考教衔接）
导数的几何意义是由曲线的割线逼近切线变化过程的数学表示，即函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是该函数图象在该点（x0，f（x0））处的切线斜率.
教材原题 （1）（链接教材P81习题4题）已知函数y＝xln x.
①求这个函数的导数；
②求这个函数的图象在点（1，0）处的切线方程.
（2）（链接教材P104复习参考题13题）已知曲线y＝x＋ln x在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2＋（2a＋3）x＋1只有一个公共点，求a的值.
变式1 求切线方程
（2024·新高考Ⅱ卷16题节选）已知函数f（x）＝ex－ax－a3.当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程.
变式2 已知切线求参数
（2022·新高考Ⅰ卷15题）若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 .
变式3 公切线问题
设曲线y＝ln x与y＝（x＋a）2有一条斜率为1的公切线，则a＝（ ）
A.－1 B.－ C. D.
【反思感悟】
利用导数的几何意义可以求曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f'（x0）（x－x0），要明确“过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程”与“在点P（x0，y0）处的曲线y＝f（x）的切线方程”的区别.
三、函数的单调性与导数（考教衔接）
利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的.
教材原题 （链接教材P104复习参考题19（1）题）已知函数f（x）＝ae2x＋（a－2）ex－x.讨论f（x）的单调性.
变式1 求不含参函数的单调区间
（2022·新高考Ⅱ卷22题节选）已知函数f（x）＝xeax－ex.当a＝1时，讨论f（x）的单调性.
变式2 求含参函数的单调区间
（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x.讨论f（x）的单调性.
变式3 已知单调性求参数
（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（ ）
A.e2 B.e C.e－1 D.e－2
【反思感悟】
利用导数求函数单调区间的方法
（1）当导函数不等式可解时，解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0求出单调区间；
（2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间；
（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间.
提醒：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开.
四、利用导数研究函数的极值、最值
导数是求函数极值和最值的有力工具.函数的极值是一个局部性概念，一般通过确定函数的定义域，用方程f'（x）＝0的根和不可导点的x值依次将函数的定义域分成若干个小区间，并列成表格，结合在每个区间上的单调性求极值；对于函数的最值问题，求在上连续且在（a，b）内可导的函数f（x）的最值，可将过程简化，即不用判断极值是极大值还是极小值，而直接与区间端点函数值作比较即可.
【例2】 （1）〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有极大值也有极小值，则（ ）
A.bc＞0 B.ab＞0
C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0
（2）函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的最小值为 ；
（3）已知函数f（x）＝，若函数f（x）在x＝－1处取得极值，求f（x）的单调区间，以及最大值和最小值.
【反思感悟】
1.可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点.
2.求函数f（x）在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f（a），f（b）与f（x）的各极值进行比较得到函数的最值.
3.函数在区间（a，b）上有唯一极值点，则这个极值点也是最值点.
五、导数的实际应用
利用导数解决实际问题的一般步骤
（1）分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）；
（2）求函数的导数f'（x），解方程f'（x）＝0；
（3）比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大（小）者为最大（小）值；
（4）把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论.
【例3】 工厂生产某种产品，次品率p与日产量x（万件）间的关系为p＝（c为常数，且0＜c＜6）.已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元.
（1）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率＝×100%）
【反思感悟】
1.在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑是否使实际问题有意义，不符合题意的值应舍去.
2.在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x）＝0的情况.如果函数在这点处有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可知这就是最大（小）值.
3.注意实际问题中自变量的取值范围.
3 / 3
一、导数的概念及运算
1.导数的概念是由“以直代曲”的思想方法近似表示，然后利用“无穷逼近”的极限思想精确表达的一个数学概念，正确理解导数的概念是中学数学学科素养的一大提升.
2.在导数的概念建立之后，利用定义会求简单初等函数的导数，领悟极限算法的基本思想，掌握基本初等函数的导数公式及四则运算法则，会求简单的复合函数的导数.
【例1】 （1）函数y＝x2cos 2x的导数为（ B ）
A.y'＝2xcos 2x－x2sin 2x
B.y'＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C.y'＝x2cos 2x－2xsin 2x
D.y'＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
解析： y'＝（x2）'cos 2x＋x2（cos 2x）'＝2xcos 2x＋x2（－sin 2x）·（2x）'＝2xcos 2x－2x2sin 2x.
（2）当函数y＝（a＞0）在x＝x0处的导数为0时，x0＝（ B ）
A.a B.±a
C.－a D.a2
解析：y'＝（）'＝＝，由－a2＝0得x0＝±a.
（3）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足关系式f（x）＝－x3＋2f'（1）x＋ex，则f'（1）＝ 3－e .
解析：由题意可得f'（x）＝－3x2＋2f'（1）＋ex.令x＝1得f'（1）＝－3＋2f'（1）＋e，解得f'（1）＝3－e.
【反思感悟】
求函数导数的一般方法
连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式 先化为和或差的形式，再求导
复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
二、导数的几何意义（考教衔接）
导数的几何意义是由曲线的割线逼近切线变化过程的数学表示，即函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是该函数图象在该点（x0，f（x0））处的切线斜率.
教材原题 （1）（链接教材P81习题4题）已知函数y＝xln x.
①求这个函数的导数；
②求这个函数的图象在点（1，0）处的切线方程.
（2）（链接教材P104复习参考题13题）已知曲线y＝x＋ln x在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2＋（2a＋3）x＋1只有一个公共点，求a的值.
变式1 求切线方程
（2024·新高考Ⅱ卷16题节选）已知函数f（x）＝ex－ax－a3.当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程.
解：当a＝1时，则f（x）＝ex－x－1，f'（x）＝ex－1，
可得f（1）＝e－2，f'（1）＝e－1，
即切点坐标为（1，e－2），切线斜率k＝e－1，
所以切线方程为y－（e－2）＝（e－1）（x－1），即（e－1）x－y－1＝0.
变式2 已知切线求参数
（2022·新高考Ⅰ卷15题）若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.
解析：因为y＝（x＋a）ex，所以y'＝（x＋a＋1）ex.设切点为A（x0，（x0＋a）），O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y'＝（x0＋a＋1）＝，化简得＋ax0－a＝0.因为曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.
变式3 公切线问题
设曲线y＝ln x与y＝（x＋a）2有一条斜率为1的公切线，则a＝（ ）
A.－1 B.－
C. D.
解析：B 因为y＝ln x，所以y'＝，又因为切线的斜率为1，所以y'＝＝1，解得x＝1，y＝0，所以切线方程为y＝x－1，因为y＝（x＋a）2，所以y'＝2x＋2a＝1，解得x＝－a，代入切线方程得y＝－－a，再将代入y＝（x＋a）2，解得a＝－，故选B.
【反思感悟】
利用导数的几何意义可以求曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f'（x0）（x－x0），要明确“过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程”与“在点P（x0，y0）处的曲线y＝f（x）的切线方程”的区别.
三、函数的单调性与导数（考教衔接）
利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的.
教材原题 （链接教材P104复习参考题19（1）题）已知函数f（x）＝ae2x＋（a－2）ex－x.讨论f（x）的单调性.
变式1 求不含参函数的单调区间
（2022·新高考Ⅱ卷22题节选）已知函数f（x）＝xeax－ex.当a＝1时，讨论f（x）的单调性.
解：当a＝1时，f（x）＝xex－ex＝（x－1）ex，
f'（x）＝ex＋（x－1）ex＝xex.
令f'（x）＝0，得x＝0，
∴当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.
变式2 求含参函数的单调区间
（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x.讨论f（x）的单调性.
解：由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1.
当a≤0时，易知f'（x）＜0，
则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数.
当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln.
当x∈（－∞，ln）时，f'（x）＜0；
当x∈（ln，＋∞）时，f'（x）＞0.
所以f（x）在（－∞，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增.
综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（－∞，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增.
变式3 已知单调性求参数
（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（ ）
A.e2 B.e
C.e－1 D.e－2
解析：C 法一 由题意，得f'（x）＝aex－，∴f'（x）＝aex－≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝，x∈（1，2），则g'（x）＝－＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）单调递减.∴ x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝＝e－1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C.
法二 ∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－.∵函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴≤e，即a≥＝e－1，故选C.
【反思感悟】
利用导数求函数单调区间的方法
（1）当导函数不等式可解时，解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0求出单调区间；
（2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间；
（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间.
提醒：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开.
四、利用导数研究函数的极值、最值
导数是求函数极值和最值的有力工具.函数的极值是一个局部性概念，一般通过确定函数的定义域，用方程f'（x）＝0的根和不可导点的x值依次将函数的定义域分成若干个小区间，并列成表格，结合在每个区间上的单调性求极值；对于函数的最值问题，求在上连续且在（a，b）内可导的函数f（x）的最值，可将过程简化，即不用判断极值是极大值还是极小值，而直接与区间端点函数值作比较即可.
【例2】 （1）〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有极大值也有极小值，则（ BCD ）
A.bc＞0 B.ab＞0
C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0
解析：因为函数f（x）＝aln x＋＋（a≠0），所以函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，因为函数f（x）既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则即所以故选B、C、D.
（2）函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的最小值为 1 ；
解析：函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的定义域为（0，＋∞）.①当x＞时，f（x）＝2x－1－2ln x，所以f'（x）＝2－＝，当＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0，所以f（x）min＝f（1）＝2－1－2ln 1＝1；②当0＜x≤时，f（x）＝1－2x－2ln x在上单调递减，所以f（x）min＝f＝－2ln＝2ln 2＝ln 4＞ln e＝1.综上，f（x）min＝1.
（3）已知函数f（x）＝，若函数f（x）在x＝－1处取得极值，求f（x）的单调区间，以及最大值和最小值.
解：因为f（x）＝，则f'（x）＝＝，
由题意可得f'（－1）＝＝0，解得a＝4，经检验，当a＝4时x＝－1为函数f（x）的极大值点，符合题意.
故f（x）＝，f'（x）＝，当x变化时f'（x），f（x）的变化列表如下：
x （－∞，－1） －1 （－1，4） 4 （4，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－1），（4，＋∞），单调递减区间为（－1，4）.
当x＜时，f（x）＞0；当x＞时，f（x）＜0.
所以f（x）max＝f（－1）＝1，
f（x）min＝f（4）＝－.
【反思感悟】
1.可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点.
2.求函数f（x）在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f（a），f（b）与f（x）的各极值进行比较得到函数的最值.
3.函数在区间（a，b）上有唯一极值点，则这个极值点也是最值点.
五、导数的实际应用
利用导数解决实际问题的一般步骤
（1）分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）；
（2）求函数的导数f'（x），解方程f'（x）＝0；
（3）比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大（小）者为最大（小）值；
（4）把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论.
【例3】 工厂生产某种产品，次品率p与日产量x（万件）间的关系为p＝（c为常数，且0＜c＜6）.已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元.
（1）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
解：当x＞c时，p＝，y＝·x·3－·x·＝0；
当0＜x≤c时，p＝，
∴y＝·x·3－·x·＝.
∴日盈利额y（万元）与日产量x（万件）的函数关系为
y＝（c为常数，且0＜c＜6）.
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率＝×100%）
解：由（1）知，当x＞c时，日盈利额为0.
当0＜x≤c时，∵y＝，
∴y'＝·
＝，
令y'＝0，得x＝3或x＝9（舍去），
∴①当0＜c＜3时，y'＞0，∴y在区间（0，c]上单调递增，∴当x＝c时，y取最大值且y最大值＝.
②当3≤c＜6时，在（0，3）上，y'＞0，在（3，c）上，y'＜0，
∴y在（0，3）上单调递增，在（3，c）上单调递减.
∴当x＝3时，y取最大值且y最大值＝.
综上，若0＜c＜3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3≤c＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大.
【反思感悟】
1.在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑是否使实际问题有意义，不符合题意的值应舍去.
2.在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x）＝0的情况.如果函数在这点处有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可知这就是最大（小）值.
3.注意实际问题中自变量的取值范围.
5 / 6
