培优课 导数中函数的构造问题
1.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f'（x）＜，则f（x）＜＋的解集为（ ）
A.{x｜－1＜x＜1} B.{x｜x＜－1}
C.{x｜x＜－1或x＞1} D.{x｜x＞1}
2.设函数f'（x）是定义在（0，π）上的函数f（x）的导函数，有f'（x）cos x－f（x）sin x＞0，若a＝f（），b＝0，c＝－f（），则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＜b＜c B.b＜a＜c
C.c＜a＜b D.c＜b＜a
3.已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）为f（x）的导函数，且f（x）＋（x－1）f'（x）＞0，则（ ）
A.f（1）＝0 B.f（x）＜0
C.f（x）＞0 D.（x－1）f（x）＜0
4.f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若2f（x）＋f'（x）＞2，f（1）＝2，则不等式f（x）＞e2－2x＋1（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A.（－∞，－1） B.（－1，＋∞）
C.（－∞，1） D.（1，＋∞）
5.已知f（x）为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，已知f（1）＝0，当x＞0时，有2f（x）－xf'（x）＞0，则使f（x）＞0成立的x的取值范围为（ ）
A.（－∞，－1）∪（0，1）B.（－1，0）∪（1，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（1，＋∞）D.（－1，0）∪（0，1）
6.〔多选〕已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f'（x）满足f（x）＞f'（x），则（ ）
A.f（1）＜ef（0） B.f（1）＞ef（0）
C.ef（ln 2）＜2f（1） D.ef（ln 2）＞2f（1）
7.〔多选〕设函数f（x）在R上存在导函数f'（x），对于任意的实数x，都有f（－x）＝f（x），当x＜0时，f'（x）＋x＜0，且f（－1）＝1，若f（m）≤－m2，则实数m的可能取值为（ ）
A.－1 B.－
C.1 D.2
8.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞0，且有f（3）＝3，则f（x）＞3e3－x的解集为 .
9.设函数f（x）在R上存在导数f'（x），g（x）＝f（x）－sin x是偶函数，在[0，＋∞）上f'（x）＞cos x.若f（－t）－f（t）≥cos t－sin t，则实数t的取值范围为 .
10.证明：对 x≥0恒有不等式ln（1＋x）≥成立.
11.已知f（x）＝xcos x－sin x在（0，π]上单调递减，若0＜b＜1，求证：当x∈（0，π]时，sin bx＞bsin x.
12.已知f（x）为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，f'（x）是f（x）的导函数，若当x＞0时，f'（x）ln x＋＜0，求不等式（x－1）f（x）＜0的解集.
1 / 1重点解读
1.了解导数中几种常见的构造函数的形式（数学抽象）. 2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题（逻辑推理、数学运算）.
一、利用f（x）与x构造
【例1】 （1）设f'（x）是定义域为R的函数f（x）的导函数，f'（x）＜3，f（－3）＝－2，则f（x）＞3x＋7的解集为（ B ）
A.（－∞，－1） B.（－∞，－3）
C.（－3，0）∪（1，＋∞） D.（－1，0）∪（1，＋∞）
（2）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，不等式xf'（x）＋f（x）＜0成立，若a＝30.3·f（30.3），b＝logπ3·f（logπ3），c＝log3·f，则a，b，c的大小关系是 c＞b＞a .
解析：（1）因为f'（x）＜3，即f'（x）－3＜0，设函数g（x）＝f（x）－3x，g'（x）＝f'（x）－3＜0，则g（x）在R上单调递减，又f（－3）＝－2，所以g（－3）＝f（－3）－3×（－3）＝7，不等式f（x）＞3x＋7转化为f（x）－3x＞7，即g（x）＞g（－3），所以x＜－3.故选B.
（2）令g（x）＝xf（x），则g'（x）＝xf'（x）＋f（x）.由条件知，当x＞0时，g'（x）＜0，即g（x）在（0，＋∞）上单调递减.又f（x）为偶函数，则g（x）为奇函数，故g（x）在R上单调递减.又log3＜logπ3＜30.3，所以c＞b＞a.
【规律方法】
常见构造函数的形式
（1）对于f'（x）±g'（x）＞0，构造h（x）＝f（x）±g（x）；
（2）对于f'（x）＞a，构造h（x）＝f（x）－ax；
（3）对于xf'（x）＋f（x）＞0，构造h（x）＝xf（x）；
（4）对于xf'（x）－f（x）＞0，构造h（x）＝.
训练1 设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A.（－∞，－1）∪（0，1） B.（－1，0）∪（1，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（－1，0） D.（0，1）∪（1，＋∞）
解析：A 令F（x）＝，因为f（x）为奇函数，所以F（x）为偶函数，由于F'（x）＝，当x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0，即F'（x）＜0，所以F（x）＝在（0，＋∞）上单调递减，根据偶函数图象的对称性，F（x）＝在（－∞，0）上单调递增，又F（1）＝F（－1）＝＝0，数形结合可知，使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（－∞，－1）∪（0，1）.
二、利用f（x）与ex构造
【例2】 若函数f（x）对任意x∈R都有f'（x）＞f（x）成立，则（ A ）
A.3f（ln 5）＞5f（ln 3） B.3f（ln 5）＝5f（ln 3）
C.3f（ln 5）＜5f（ln 3） D.3f（ln 5）与5f（ln 3）的大小不确定
解析：令g（x）＝，则g'（x）＝，因为对任意x∈R都有f'（x）＞f（x），所以g'（x）＞0，即g（x）在R上是增函数.又ln 3＜ln 5，所以g（ln 3）＜g（ln 5），即＜，所以5f（ln 3）＜3f（ln 5），故选A.
【规律方法】
f（x）与ex构造常见的形式
（1）对于f'（x）＋nf（x）＞0，构造函数h（x）＝enxf（x）；
（2）对于f'（x）－nf（x）＞0，构造函数h（x）＝.
训练2 函数f（x）的导函数为f'（x），对任意x∈R，都有f'（x）＞－f（x）成立，若f（ln 2）＝，则不等式f（x）＞的解集为 （ln 2，＋∞） .
解析：由题意，对任意x∈R，都有f'（x）＞－f（x）成立，即f'（x）＋f（x）＞0.令g（x）＝exf（x），则g'（x）＝f（x）ex＋f'（x）ex＝ex[f（x）＋f'（x）]＞0，所以函数g（x）在R上是增函数.不等式f（x）＞即exf（x）＞1，即g（x）＞1.因为f（ln 2）＝，所以g（ln 2）＝eln 2f（ln 2）＝2×＝1.故当x＞ln 2时，g（x）＞g（ln 2）＝1，所以不等式g（x）＞1的解集为（ln 2，＋∞）.
三、利用f（x）与sin x，cos x构造
【例3】 已知函数f（x）的定义域为（0，π），其导函数是f'（x）.若f'（x）sin x－f（x）cos x＞0恒成立，则关于x的不等式f（x）＜2f（）sin x的解集为 （0，） .
解析：令F（x）＝，则F'（x）＝＞0，所以F（x）在定义域内是增函数.所以关于x的不等式f（x）＜2f（）sin x，可化为＜，即F（x）＜F（），所以x＜.因为0＜x＜π，所以0＜x＜，即不等式f（x）＜2f（）sin x的解集为（0，）.
【规律方法】
f（x）与sin x，cos x构造常见的形式
（1）对于f'（x）sin x＋f（x）cos x＞0，构造函数h（x）＝f（x）sin x；
（2）对于f'（x）sin x－f（x）cos x＞0，构造函数h（x）＝；
（3）对于f'（x）cos x－f（x）sin x＞0，构造函数h（x）＝f（x）cos x；
（4）对于f'（x）cos x＋f（x）sin x＞0，构造函数h（x）＝.
训练3 已知R上的奇函数f（x），其导函数为f'（x），且当x∈（0，＋∞）时，f'（x）sin x＋f（x）·cos x＜0，若a＝f（－），b＝－f（），则a与b的大小关系为 a＜b .
解析：设φ（x）＝f（x）·sin x，则φ'（x）＝f'（x）sin x＋f（x）cos x，∴x∈（0，＋∞）时，φ'（x）＜0，即φ（x）在（0，＋∞）上单调递减，又f（x）为奇函数，∴φ（x）为偶函数，∴φ（－）＝φ（）＞φ（），即f（－）·sin（－）＞f（）sin，即－f（－）＞f（），即f（－）＜－f（），∴a＜b.
1.已知f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）＋f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（ ）
A.bf（b）≤af（a） B.bf（a）≤af（b）
C.af（a）≤bf（b） D.af（b）≤bf（a）
解析：A 设g（x）＝xf（x），x∈（0，＋∞），则g'（x）＝xf'（x）＋f（x）≤0，∴g（x）在区间（0，＋∞）上是减函数或g（x）为常函数.∵a＜b，∴g（a）≥g（b），即af（a）≥bf（b），故选A.
2.已知函数f（x）的导函数为f'（x），对任意x∈R，都有f'（x）＜f（x）成立，则（ ）
A.ef（2）＜f（3） B.ef（2）≤f（3）
C.ef（2）＞f（3） D.f（2）＜e2f（3）
解析：C 依题意，f'（x）＜f（x），则f'（x）－f（x）＜0，设g（x）＝，则g'（x）＝＜0，所以g（x）在R上是减函数，所以g（2）＞g（3），即＞，ef（2）＞f（3）.故选C.
3.已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（2）＝1，且f（x）的导函数f'（x）＜1，则f（x）＞x－1的解集为 {x｜x＜2} .
解析：构造函数g（x）＝f（x）－（x－1），则g'（x）＝f'（x）－1＜0，所以g（x）在R上单调递减.又f（2）＝1，所以g（2）＝f（2）－（2－1）＝0.由f（x）＞x－1，得g（x）＞g（2）＝0，解得x＜2.
4.已知f（x）是定义在上的函数，其导函数为f'（x），f＝2，且当x∈时，f'（x）sin x＋f（x）cos x＞0，则不等式f（x）sin x＜3的解集为 .
解析：因为当x∈时，f'（x）sin x＋f（x）cos x＞0，所以[f（x）sin x]'＞0，x∈，令g（x）＝f（x）sin x，则当x∈时，g'（x）＞0，g（x）在上是增函数，因为f＝2，所以g＝fsin＝3，不等式f（x）sin x＜3，即g（x）＜g，因为g（x）在上是增函数，所以原不等式的解集为.
课堂小结
1.理清单
（1）几种常见的构造形式；
（2）掌握由导函数的结构形式构造原函数的方法.
2.应体会
根据f（x）与f'（x）的关系，利用构造法构造原函数解决问题.
3.避易错
不能正确构造出符合题意的函数.
1.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f'（x）＜，则f（x）＜＋的解集为（ ）
A.{x｜－1＜x＜1} B.{x｜x＜－1}
C.{x｜x＜－1或x＞1} D.{x｜x＞1}
解析：D 构造函数h（x）＝f（x）－－，所以h'（x）＝f'（x）－＜0，故h（x）在R上是减函数，且h（1）＝f（1）－－＝0，故h（x）＜0的解集为{x｜x＞1}.
2.设函数f'（x）是定义在（0，π）上的函数f（x）的导函数，有f'（x）cos x－f（x）sin x＞0，若a＝f（），b＝0，c＝－f（），则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＜b＜c B.b＜a＜c
C.c＜a＜b D.c＜b＜a
解析：A 设函数g（x）＝f（x）cos x，则g'（x）＝f'（x）·cos x－f（x）sin x，因为f'（x）cos x－f（x）sin x＞0，所以g'（x）＞0，所以g（x）在（0，π）上是增函数，a＝f（）＝f（）cos＝g（），b＝0＝f（）cos＝g（），c＝－f（）＝f（）·cos＝g（），所以a＜b＜c.
3.已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）为f（x）的导函数，且f（x）＋（x－1）f'（x）＞0，则（ ）
A.f（1）＝0 B.f（x）＜0
C.f（x）＞0 D.（x－1）f（x）＜0
解析：C 令g（x）＝（x－1）f（x），则g'（x）＝f（x）＋（x－1）f'（x）＞0，所以g（x）在R上是增函数，又因为g（1）＝0，所以当x＞1时，g（x）＝（x－1）f（x）＞0；当x＜1时，g（x）＝（x－1）f（x）＜0，所以当x≠1时，f（x）＞0，又f（1）＋（1－1）f'（1）＝f（1）＞0，所以A、B、D错误，C正确.
4.f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若2f（x）＋f'（x）＞2，f（1）＝2，则不等式f（x）＞e2－2x＋1（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A.（－∞，－1） B.（－1，＋∞）
C.（－∞，1） D.（1，＋∞）
解析：D f（x）＞e2－2x＋1，即e2xf（x）－e2x＞e2，令g（x）＝e2xf（x）－e2x，则g'（x）＝e2x[2f（x）＋f'（x）－2]＞0，故g（x）在R上是增函数，而g（1）＝e2f（1）－e2＝e2，∴e2xf（x）－e2x＞e2，即g（x）＞g（1），即x＞1，故不等式的解集是（1，＋∞）.
5.已知f（x）为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，已知f（1）＝0，当x＞0时，有2f（x）－xf'（x）＞0，则使f（x）＞0成立的x的取值范围为（ ）
A.（－∞，－1）∪（0，1） B.（－1，0）∪（1，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（1，＋∞） D.（－1，0）∪（0，1）
解析：D 令g（x）＝，其中x≠0，因为函数f（x）为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，则f（－x）＝f（x），所以g（－x）＝＝＝g（x），所以函数g（x）为偶函数，当x＞0时，g'（x）＝＝＜0，所以函数g（x）在（0，＋∞）上单调递减，且g（1）＝＝0，由f（x）＞0可得g（x）＝＞0，则g（x）＝g（｜x｜）＞0＝g（1），所以解得－1＜x＜0或0＜x＜1，所以使f（x）＞0成立的x的取值范围为（－1，0）∪（0，1）.故选D.
6.〔多选〕已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f'（x）满足f（x）＞f'（x），则（ ）
A.f（1）＜ef（0） B.f（1）＞ef（0）
C.ef（ln 2）＜2f（1） D.ef（ln 2）＞2f（1）
解析：AD 构造函数g（x）＝，其中x∈R，则g'（x）＝＜0，所以函数g（x）为R上的减函数，则g（1）＜g（0），即＜f（0），所以f（1）＜ef（0），A对、B错；因为ln 2＜ln e＝1，则g（ln 2）＞g（1），即＞，所以ef（ln 2）＞2f（1），C错、D对.故选A、D.
7.〔多选〕设函数f（x）在R上存在导函数f'（x），对于任意的实数x，都有f（－x）＝f（x），当x＜0时，f'（x）＋x＜0，且f（－1）＝1，若f（m）≤－m2，则实数m的可能取值为（ ）
A.－1 B.－ C.1 D.2
解析：ABC 设g（x）＝f（x）＋x2，则g'（x）＝f'（x）＋x，由于g（－x）＝f（－x）＋（－x）2＝f（x）＋x2＝g（x），所以g（x）为偶函数，且当x＜0时，g'（x）＝f'（x）＋x＜0，所以g（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，且g（－1）＝f（－1）＋＝，故由f（m）≤－m2可得g（m）≤，所以－1≤m≤1，故选A、B、C.
8.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞0，且有f（3）＝3，则f（x）＞3e3－x的解集为 （3，＋∞） .
解析：设F（x）＝f（x）·ex，则F'（x）＝f'（x）·ex＋f（x）·ex＝ex[f（x）＋f'（x）]＞0，∴F（x）在R上单调递增.又f（3）＝3，则F（3）＝f（3）·e3＝3e3.∵f（x）＞3e3－x等价于f（x）·ex＞3e3，即F（x）＞F（3），∴x＞3，即所求不等式的解集为（3，＋∞）.
9.设函数f（x）在R上存在导数f'（x），g（x）＝f（x）－sin x是偶函数，在[0，＋∞）上f'（x）＞cos x.若f（－t）－f（t）≥cos t－sin t，则实数t的取值范围为 （－∞，］ .
解析：由题意得g'（x）＝f'（x）－cos x＞0在[0，＋∞）上恒成立，故g（x）＝f（x）－sin x在[0，＋∞）上单调递增，又g（x）＝f（x）－sin x是偶函数，故g（x）在（－∞，0）上单调递减，f（－t）－f（t）≥cos t－sin t变形得到f（－t）－cos t≥f（t）－sin t，即f（－t）－sin（－t）≥f（t）－sin t，所以g（－t）≥g（t），故g（）≥g（｜t｜），由于g（x）＝f（x）－sin x在[0，＋∞）上单调递增，所以≥｜t｜，解得t≤.
10.证明：对 x≥0恒有不等式ln（1＋x）≥成立.
证明：设f（x）＝ln（1＋x）－，x∈[0，＋∞），
则f'（x）＝－＝，
显然对于 x≥0，恒有f'（x）≥0，且f'（x）仅在x＝0处取等号，
故函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，且f（0）＝0，从而f（x）≥f（0）＝0，
即ln（1＋x）≥，x∈[0，＋∞）.
11.已知f（x）＝xcos x－sin x在（0，π]上单调递减，若0＜b＜1，求证：当x∈（0，π]时，sin bx＞bsin x.
证明：要证sin bx＞bsin x，
即证sin bx－bsin x＞0，
令g（x）＝，x∈（0，π]，
∴g'（x）＝，
又∵f（x）＝xcos x－sin x在（0，π]上单调递减，f（0）＝0，
∴当x∈（0，π]时，f（x）＝xcos x－sin x＜f（0）＝0，
∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，π]上单调递减，
又∵0＜b＜1，∴0＜bx＜x≤π，
∴＜，∴sin bx＞bsin x.
12.已知f（x）为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，f'（x）是f（x）的导函数，若当x＞0时，f'（x）ln x＋＜0，求不等式（x－1）f（x）＜0的解集.
解：设g（x）＝f（x）ln x，x∈（0，＋∞），
则g'（x）＝f'（x）ln x＋＜0，
∴g（x）在（0，＋∞）上是减函数，又g（1）＝0，
且在（0，1）上，ln x＜0，g（x）＞0，∴f（x）＜0，
在（1，＋∞）上，ln x＞0，g（x）＜0，∴f（x）＜0，
由f'（x）ln x＋＜0在（0，＋∞）上恒成立，可知f（1）＜0，
∴在（0，＋∞）上，f（x）＜0.
又函数f（x）为偶函数，
∴在（－∞，0）上，f（x）＜0，
不等式（x－1）f（x）＜0等价于
解得x∈（1，＋∞）.
∴不等式（x－1）f（x）＜0的解集为{x｜x＞1}.
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