培优课 两个经典不等式ex≥x＋1、ln x≤x－1的证明及应用
1.已知m，n都是正整数，且em＋ln n＜m＋n，则（ ）
A.n＞em B.m＞em
C.n＜em D.m＞en
2.若对于任意正实数x，y，不等式4ax≤ex＋y－2＋ex－y－2＋2恒成立，则实数a的最大值是（ ）
A.－ B.0
C. D.1
3.“x＞1”是“ln x＞”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知实数a，b满足2ln a－e2b≥a2－2b－2（e为自然对数的底数），则a＋2b＝（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
5.〔多选〕经研究发现：任意一个三次多项式函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象上都有且只有一个对称中心点（x0，f（x0）），其中x0是f″（x）＝0的根，f'（x）是f（x）的导数，f″（x）是f'（x）的导数.若函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋b图象的对称中心点为（－1，2），且不等式ex－mxe·（ln x＋1）≥[f（x）－x3－3x2＋e]xe对任意x∈（1，＋∞）恒成立，则（ ）
A.a＝3
B.b＝2
C.m的值可能是－e
D.m的值不可能是－
6.已知实数a，b，c满足ea＋c＋e2b－c－1≤a＋2b＋1（e为自然对数的底数），则a2＋b2的最小值是 .
7.已知对任意的x＞0，不等式xex－ln x－ax≥1恒成立，则实数a的取值范围为 .
8.已知函数f（x）＝ex－ln（x＋2），求证：f（x）＞0.
9.设函数f（x）＝ln x－x＋1.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当x∈（1，＋∞）时，1＜＜x.
10.已知函数f（x）＝ex－a.
（1）若函数f（x）的图象与直线l：y＝x－1相切，求a的值；
（2）若f（x）－ln x＞0恒成立，求整数a的最大值.
1 / 1重点解读
1.熟悉常见的两类经典不等式ex≥x＋1和ln x≤x－1以及它们常见的几种变形形式（逻辑推理）. 2.掌握一般的证明不等式的方法（逻辑推理、数学运算）.
一、经典不等式ex≥x＋1
【例1】 证明不等式ex≥x＋1.
证明：设f（x）＝ex－x－1，则f'（x）＝ex－1，由f'（x）＝0，得x＝0，
所以当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0，
所以f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，
所以f（x）≥f（0）＝0，即ex－x－1≥0，
所以ex≥x＋1.
变式 证明不等式ex≥ex.
证明：设f（x）＝ex－ex，
则f'（x）＝ex－e，且f'（1）＝0，
当x＞1时，f'（x）＞0；当x＜1时，f'（x）＜0.
∴f（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
∴f（x）min＝f（1）＝0，∴f（x）≥0，即ex≥ex.
【规律方法】
与ex有关的常用不等式
（1）ex≥x＋1（x∈R，当x＝0时，等号成立）；
（2）ex≥ex（x∈R，当x＝1时，等号成立）；
（3）ex≤（x＜1，当x＝0时，等号成立）；
（4）xex＝ex＋ln x≥x＋ln x＋1；
（5）＝ex－ln x≥x－ln x＋1.
训练1 设函数f（x）＝1－e－x，求证：当x＞－1时，f（x）≥.
证明：当x＞－1时，由ex≥1＋x＞0（证明略），可得≤.从而1－e－x≥1－，即1－e－x≥，所以f（x）≥.
二、经典不等式ln x≤x－1
【例2】 证明不等式ln x≤x－1.
证明：由题意知x＞0，令f（x）＝x－1－ln x，
所以f'（x）＝1－＝，
所以当f'（x）＞0时，x＞1；
当f'（x）＜0时，0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以f（x）有最小值f（1）＝0，
故有f（x）＝x－1－ln x≥f（1）＝0，
即ln x≤x－1成立.
变式 证明不等式ln（x＋1）≤x.
证明：由题意知x＞－1，令f（x）＝ln（x＋1）－x，所以f'（x）＝－1＝，
所以当f'（x）＞0时，－1＜x＜0；
当f'（x）＜0时，x＞0，
故f（x）在（－1，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，所以f（x）有最大值f（0）＝0，
故有f（x）＝ln（x＋1）－x≤f（0）＝0，
即ln（x＋1）≤x成立.
【规律方法】
与ln x有关的常用不等式
（1）≤ln x≤x－1（x＞0，当且仅当x＝1时，等号成立）；
（2）ln x≤（x＞0，当且仅当x＝e时，等号成立）；
（3）ln x≤（0＜x≤1，当且仅当x＝1时，等号成立）；
（4）ln x≥（x≥1，当且仅当x＝1时，等号成立）；
（5）x＋ln x＝ln（xex）≤xex－1；
（6）x＋nln x＝ln（xnex）≤xnex－1.
训练2 求证：对任意正整数n，不等式ln（1＋n）－ln n＜都成立.
证明：因为当x＞0时，ln（x＋1）＜x（证明略），
令x＝（n≥1，n∈N*），
得ln（1＋）＜，即ln（1＋n）－ln n＜.
三、两个经典不等式的简单应用
【例3】 已知函数f（x）＝x2＋x－ln x.证明：对任意的x＞0，f（x）＋ex＞x2＋x＋2.
证明：要证f（x）＋ex＞x2＋x＋2，
即证ex－ln x－2＞0，由ex＞x＋1，x＞0（证明略），
∴ex－ln x－2＞x＋1－ln x－2＝x－ln x－1.
由ln x≤x－1，x＞0（证明略），
可得x－ln x－1≥0，
∴ex－ln x－2＞0，
即f（x）＋ex＞x2＋x＋2成立.
【规律方法】
由ex＞x＋1＞x＞x－1≥ln x，可用该不等式通过放缩证明一些不等式.
提醒：在应用两个经典不等式时，要注意：①等号成立的条件；②对于小题可直接应用，对于解答题要写出证明过程.
训练3 （1）若函数y＝ln（ex－x＋a）的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，－1] B.（－∞，0]
C.[0，＋∞） D.[1，＋∞）
解析：A 欲使函数的值域为R，只需ex－x＋a能取遍所有正数，即最小值小于等于0.令f（x）＝ex－x＋a，∵ex≥x＋1，∴ex－x＋a≥1＋a，∴f（x）min＝1＋a≤0，∴a≤－1.
（2）已知函数f（x）＝ex－2－x，求证：f（x）＞.
证明：要证明f（x）＞，
只需证明4ex－2－x＞xln x，
由ln x≤x－1（证明略）， ①
只需证明4ex－2－x≥x（x－1），
只需证明ex≥，只需证明≥，
由ex≥ex（证明略），得≥，
所以当x＞0时≥成立， ②
因为①②两式取等号时x的值不相等，
所以f（x）＞.
1.已知a＝，b＝，c＝ln，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.c＜a＜b D.b＜a＜c
解析：B 由ex＞x＋1（x≠0），得b＝＞－＋1＝＞＝a，由ln x＜x－1（x≠1），得c＝ln＜＜b，又c＝ln＝－ln＞1－＝＝a，故c＞a，故b＞c＞a.故选B.
2.已知正实数x，y满足＋2y－2＝ln x＋ln y，则xy＝ .
解析：ln x＋ln y＝ln＋ln 2y≤（－1）＋（2y－1）＝＋2y－2，当且仅当＝1，2y＝1，即x＝2，y＝时，“＝”成立，此时xy＝.
3.已知x＞0，求证：＜ln（1＋x）.
证明：由ln x≤x－1（证明略），
∴ln＜－1（x＞0），即ln＜，
∴＜ln（x＋1）.
课堂小结
1.理清单
（1）常见的几种经典不等式；
（2）一般不等式的证明方法.
2.应体会
不等式的证明应用了转化与化归思想及分类讨论思想.
3.避易错
在证明不等式的转化过程中未做到等价转化.
1.已知m，n都是正整数，且em＋ln n＜m＋n，则（ ）
A.n＞em B.m＞em C.n＜em D.m＞en
解析：A 由em＋ln n＜m＋n得em－m＜n－ln n＝eln n－ln n.令f（x）＝ex－x（x＞0），则f（m）＜f（ln n），∵f'（x）＝ex－1在（0，＋∞）上单调递增，f'（0）＝0，∴f'（x）＞0，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增，∴m＜ln n，∴em＜n.
2.若对于任意正实数x，y，不等式4ax≤ex＋y－2＋ex－y－2＋2恒成立，则实数a的最大值是（ ）
A.－ B.0 C. D.1
解析：C 由ex＋y－2≥（x＋y－2）＋1，ex－y－2≥（x－y－2）＋1得ex＋y－2＋ex－y－2＋2≥（x＋y－2）＋1＋（x－y－2）＋1＋2＝2x≥4ax，所以a≤.
3.“x＞1”是“ln x＞”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：A 不等式ln x＞等价于ln x－1＋＞0，令f（x）＝ln x－1＋，则f'（x）＝－＝，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0，所以当x＝1时，f（x）取得最小值f＝0，所以当x＞1时，f（x）＞0，ln x＞，而当ln x＞时，x＞0且x≠1，所以“x＞1”是“ln x＞”的充分不必要条件.
4.已知实数a，b满足2ln a－e2b≥a2－2b－2（e为自然对数的底数），则a＋2b＝（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：B 由2ln a＝ln a2≤a2－1，e2b≥2b＋1得2ln a－e2b≤（a2－1）－（2b＋1）＝a2－2b－2，而2ln a－e2b≥a2－2b－2，故2ln a－e2b＝a2－2b－2，此时a2＝1，2b＝0，解得a＝1（舍负），b＝0，所以a＋2b＝1.
5.〔多选〕经研究发现：任意一个三次多项式函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象上都有且只有一个对称中心点（x0，f（x0）），其中x0是f″（x）＝0的根，f'（x）是f（x）的导数，f″（x）是f'（x）的导数.若函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋b图象的对称中心点为（－1，2），且不等式ex－mxe（ln x＋1）≥[f（x）－x3－3x2＋e]xe对任意x∈（1，＋∞）恒成立，则（ ）
A.a＝3 B.b＝2
C.m的值可能是－e D.m的值不可能是－
解析：ACD 由题意可得f（－1）＝－1＋a－1＋b＝2，因为f'（x）＝3x2＋2ax＋1，所以f″（x）＝6x＋2a，所以f″（－1）＝－6＋2a＝0，解得a＝3，b＝1，故f（x）＝x3＋3x2＋x＋1.因为x＞1，所以ex－mxe（ln x＋1）≥[f（x）－x3－3x2＋e]xe等价于m≤.又x－eex＝≥x－eln x＋1（当且仅当x＝e时，等号成立），从而≥＝－e，故m≤－e.故选A、C、D.
6.已知实数a，b，c满足ea＋c＋e2b－c－1≤a＋2b＋1（e为自然对数的底数），则a2＋b2的最小值是 .
解析：∵ex≥x＋1，∴ea＋c≥a＋c＋1，e2b－c－1≥2b－c－1＋1，∴ea＋c＋e2b－c－1≥（a＋c＋1）＋（2b－c－1＋1）＝a＋2b＋1，又∵ea＋c＋e2b－c－1≤a＋2b＋1，∴ea＋c＋e2b－c－1＝a＋2b＋1，当且仅当a＋c＝0，2b－c－1＝0时成立，∴a2＋b2＝（－c）2＋（）2＝c2＋＋，∴（a2＋b2）min＝.
7.已知对任意的x＞0，不等式xex－ln x－ax≥1恒成立，则实数a的取值范围为 （－∞，1] .
解析：因为xex＝ex＋ln x≥ln x＋x＋1，当且仅当ln x＋x＝0时，“＝”成立，所以不等式xex－ln x－ax≥1恒成立转化为xex≥ln x＋x＋1≥ln x＋ax＋1对任意的x＞0恒成立，解得a≤1.
8.已知函数f（x）＝ex－ln（x＋2），求证：f（x）＞0.
证明：要证f（x）＞0，即证ex－ln（x＋2）＞0，
由ex≥x＋1（证明略）， ①
即证x＋1－ln（x＋2）≥0，
令h（x）＝x＋1－ln（x＋2），
则h'（x）＝1－＝（x＞－2），
易知h（x）在（－2，－1）上单调递减，在（－1，＋∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（－1）＝0，即x＋1－ln（x＋2）≥0（当且仅当x＝－1时，等号成立）. ②
∵①和②中的等号不同时成立，
∴由①和②得ex－ln（x＋2）＞0，即f（x）＞0.
9.设函数f（x）＝ln x－x＋1.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当x∈（1，＋∞）时，1＜＜x.
解：（1）依题意，f（x）的定义域为（0，＋∞）.
f'（x）＝－1，令f'（x）＝0，得x＝1.
所以当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.
（2）证明：由（1）知f（x）在x＝1时取得最大值，且最大值f（1）＝0，
所以当x≠1时，ln x＜x－1.
故当x∈（1，＋∞）时，＞1，
将代入ln x＜x－1，得ln＜－1，
即－ln x＜－1 ln x＞1－ ln x＞ x＞，
故当x∈（1，＋∞）时恒有1＜＜x.
10.已知函数f（x）＝ex－a.
（1）若函数f（x）的图象与直线l：y＝x－1相切，求a的值；
（2）若f（x）－ln x＞0恒成立，求整数a的最大值.
解：（1）f'（x）＝ex，∵函数f（x）的图象与直线y＝x－1相切，
∴令f'（x）＝1，即ex＝1，得x＝0，
∴切点坐标为（0，－1），则f（0）＝1－a＝－1，∴a＝2.
（2）先证明ex≥x＋1，设F（x）＝ex－x－1，
则F'（x）＝ex－1，令F'（x）＝0，则x＝0，
当x∈（0，＋∞）时，F'（x）＞0；当x∈（－∞，0）时，F'（x）＜0.
∴F（x）在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减，
∴F（x）min＝F（0）＝0，即F（x）≥0恒成立.
∴ex≥x＋1，从而ex－2≥x－1（x＝0时取等号）.
又ln x≤x－1（当x＝1时，等号成立）.
∴ex－2＞ln x.
当a≤2时，ln x＜ex－2≤ex－a，f（x）－ln x＞0恒成立；
当a＞2时，存在x，使ex－a＜ln x，即ex－a＞ln x不恒成立.
综上，整数a的最大值为2.
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