章末检测（五） 一元函数的导数及其应用
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数f（x）＝sin x＋4x，则＝（ ）
A.12 B.6
C.3 D.
2.下列求导运算正确的是（ ）
A.（ex）'＝xex－1
B.（x3）'＝x3ln x
C.（2 025x）'＝2 025xln 2 025
D.（ln x）'＝
3.曲线f（x）＝x3＋1在点（－1，f（－1））处的切线方程为（ ）
A.y＝－3x－1 B.y＝3x＋1
C.y＝3x＋3 D.y＝－3x－3
4.设f（x）＝x2－2x－4ln x，则f（x）的单调递增区间为（ ）
A.（0，＋∞）
B.（－1，0）∪（2，＋∞）
C.（2，＋∞）
D.（－1，0）
5.函数f（x）＝xsin x的导函数f'（x）在区间[－π，π]上的图象大致为（ ）
6.若函数f（x）＝x2－x＋aln x有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A.（，＋∞） B.（－，0）
C.（－∞，） D.（0，）
7.已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（1）＝1，f'（x）＞1，则f（x）＞x的解集是（ ）
A.（0，1）
B.（－1，0）∪（0，1）
C.（1，＋∞）
D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
8.已知f（x）是定义在区间（0，＋∞）上的函数，其导函数为f'（x），且不等式xf'（x）＜2f（x）恒成立，则（ ）
A.4f（1）＜f（2） B.4f（1）＞f（2）
C.f（1）＜4f（2） D.f（1）＞4f（2）
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数f（x）＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c的值可以为（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
10.已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，下列关于函数f（x）的结论正确的有（ ）
x －1 0 2 4 5
f（x） 1 2 0 2 1
A.函数f（x）的极大值点有2个
B.函数f（x）在（0，2）上单调递减
C.若x∈[－1，t]，f（x）的最大值是2，则t的最大值为4
D.当1＜a＜2时，函数y＝f（x）－a有4个零点
11.定义方程f（x）＝f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新不动点”，则下列函数只有一个“新不动点”的是（ ）
A.g（x）＝x·2x
B.g（x）＝－ex－2x
C.g（x）＝ln x
D.g（x）＝sin x＋2cos x
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.已知函数f（x）＝2e·f'（e）·ln x－，则f（e）＝ .
13.若函数f（x）＝（－x2＋ax）ex在区间（－1，1）上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 .
14.若函数f（x）＝sin x－x＋1，则不等式f（x＋1）＋f（2－2x）＞2的解集为 .
四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）在区间（－2，1）内，函数f（x）＝－x3＋ax2＋bx在x＝－1处取得极小值，在x＝处取得极大值.
（1）求a，b的值；
（2）讨论f（x）在（－∞，＋∞）上的单调性.
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝x2ex.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对 x∈[－1，2]，f（x）－m＞0恒成立，求实数m的取值范围.
17.（本小题满分15分）某口罩生产企业每月生产x万件N95口罩的利润函数为p（x）＝（单位：万元）.
（1）当0＜x＜6时，求企业月利润的最大值；
（2）当月产量为多少万件时，企业的月利润最大？请为企业生产经营提一些合理建议.
18.（本小题满分17分）设函数f（x）＝ln（a－x），已知x＝0是函数y＝xf（x）的极值点.
（1）求a的值；
（2）设函数g（x）＝，证明：g（x）＜1.
19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝.
（1）当a＞0时，求y＝f（x）的单调区间；
（2）若g（x）＝f（x）－x有两个零点，求a的取值范围.
3 / 3章末检测（五） 一元函数的导数及其应用
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数f（x）＝sin x＋4x，则＝（ ）
A.12 B.6
C.3 D.
解析：B 由题可得f'（x）＝cos x＋4，∴f'（π）＝3，∴＝2＝2f'（π）＝6.故选B.
2.下列求导运算正确的是（ ）
A.（ex）'＝xex－1
B.（x3）'＝x3ln x
C.（2 025x）'＝2 025xln 2 025
D.（ln x）'＝
解析：C 由题意（ex）'＝ex，（x3）'＝3x2，（2 025x）'＝2 025xln 2 025，（ln x）'＝.故选C.
3.曲线f（x）＝x3＋1在点（－1，f（－1））处的切线方程为（ ）
A.y＝－3x－1 B.y＝3x＋1
C.y＝3x＋3 D.y＝－3x－3
解析：C f（－1）＝－1＋1＝0，f'（x）＝3x2，故f'（－1）＝3，所以f（x）＝x3＋1在点（－1，f（－1））处的切线方程为y＝3（x＋1），即y＝3x＋3.故选C.
4.设f（x）＝x2－2x－4ln x，则f（x）的单调递增区间为（ ）
A.（0，＋∞） B.（－1，0）∪（2，＋∞）
C.（2，＋∞） D.（－1，0）
解析：C f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝2x－2－＝＝，由f'（x）＞0，可得x＞2，所以f（x）的单调递增区间为（2，＋∞）.
5.函数f（x）＝xsin x的导函数f'（x）在区间[－π，π]上的图象大致为（ ）
解析：C 因为f（x）＝xsin x，所以f'（x）＝sin x＋xcos x，所以f'（－x）＝－sin x－xcos x＝－f'（x），所以f'（x）为奇函数，由此可排除A、B、D.
6.若函数f（x）＝x2－x＋aln x有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A.（，＋∞） B.（－，0）
C.（－∞，） D.（0，）
解析：D 因为f（x）＝x2－x＋aln x有两个不同的极值点，所以f'（x）＝x－1＋＝＝0在（0，＋∞）上有2个不同的零点，所以x2－x＋a＝0在（0，＋∞）上有2个不同的零点，所以解得0＜a＜.
7.已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（1）＝1，f'（x）＞1，则f（x）＞x的解集是（ ）
A.（0，1） B.（－1，0）∪（0，1）
C.（1，＋∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
解析：C 设g（x）＝f（x）－x，因为f（1）＝1，f'（x）＞1，所以g（1）＝f（1）－1＝0，g'（x）＝f'（x）－1＞0，所以g（x）在R上是增函数，且g（1）＝0.所以f（x）＞x的解集即是g（x）＞0的解集（1，＋∞）.故选C.
8.已知f（x）是定义在区间（0，＋∞）上的函数，其导函数为f'（x），且不等式xf'（x）＜2f（x）恒成立，则（ ）
A.4f（1）＜f（2） B.4f（1）＞f（2）
C.f（1）＜4f（2） D.f（1）＞4f（2）
解析：B 设函数g（x）＝（x＞0），则g'（x）＝＝＜0，所以函数g（x）在（0，＋∞）上为减函数，因此g（1）＞g（2），即＞，所以4f（1）＞f（2）.故选B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数f（x）＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c的值可以为（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
解析：AD 因为f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），所以f（x）的单调递增区间为（－∞，－1），（1，＋∞），单调递减区间为（－1，1），所以f（x）的极大值为f（－1），极小值为f（1）.又f（x）＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，所以只需满足f（－1）＝0或f（1）＝0，即c＝－2或2.
10.已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，下列关于函数f（x）的结论正确的有（ ）
x －1 0 2 4 5
f（x） 1 2 0 2 1
A.函数f（x）的极大值点有2个
B.函数f（x）在（0，2）上单调递减
C.若x∈[－1，t]，f（x）的最大值是2，则t的最大值为4
D.当1＜a＜2时，函数y＝f（x）－a有4个零点
解析：ABD 由导数的正负性可知，函数y＝f（x）的单调递增区间为（－1，0），（2，4），单调递减区间为（0，2），（4，5），B正确；函数f（x）有2个极大值点，A正确；当x∈[－1，5]时，函数y＝f（x）的最大值是2，t的最大值为5，而不是4，C错误；作出函数y＝f（x）的图象如图所示，由图可知，当1＜a＜2时，函数y＝a与函数y＝f（x）的图象有4个交点，D正确.
11.定义方程f（x）＝f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新不动点”，则下列函数只有一个“新不动点”的是（ ）
A.g（x）＝x·2x B.g（x）＝－ex－2x
C.g（x）＝ln x D.g（x）＝sin x＋2cos x
解析：ABC 对于A，g'（x）＝2x＋x·2x·ln 2，由g（x）＝g'（x），得x·2x＝2x＋x·2x·ln 2，解得x＝，∴g（x）只有一个“新不动点”；对于B，g'（x）＝－ex－2，由g（x）＝g'（x），得－ex－2x＝－ex－2，解得x＝1，∴g（x）只有一个“新不动点”；对于C，g'（x）＝，易知y＝ln x和y＝的图象在第一象限内只有一个交点，∴g（x）只有一个“新不动点”；对于D，g'（x）＝cos x－2sin x，由sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，得3sin x＝－cos x，即tan x＝－，易知方程tan x＝－有无数个解，∴g（x）有无数个“新不动点”.故选A、B、C.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.已知函数f（x）＝2e·f'（e）·ln x－，则f（e）＝ 1 .
解析：因为f（x）＝2e·f'（e）·ln x－，则f'（x）＝－，所以f'（e）＝2f'（e）－，所以f'（e）＝，故f（x）＝2ln x－，因此f（e）＝2ln e－1＝1.
13.若函数f（x）＝（－x2＋ax）ex在区间（－1，1）上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 （－∞，） .
解析：f（x）＝（－x2＋ax）ex，则f'（x）＝ex（－x2＋ax－2x＋a），函数f（x）＝（－x2＋ax）ex在区间（－1，1）上存在单调递减区间，只需－x2＋ax＋a－2x＜0在区间（－1，1）上有解，记g（x）＝－x2＋（a－2）x＋a，对称轴为直线x＝，开口向下，g（－1）＝－1－（a－2）＋a＝1＞0，只需g（1）＜0，所以－1＋a－2＋a＜0，解得a＜.
14.若函数f（x）＝sin x－x＋1，则不等式f（x＋1）＋f（2－2x）＞2的解集为 （3，＋∞） .
解析：设g（x）＝f（x）－1＝sin x－x，x∈R，则g'（x）＝cos x－1≤0，所以函数g（x）在R上为减函数，又g（－x）＝sin（－x）－（－x）＝－sin x＋x＝－g（x），所以函数g（x）为奇函数，由f（x＋1）＋f（2－2x）＞2，可得f（x＋1）－1＋f（2－2x）－1＞0，即g（x＋1）＋g（2－2x）＞0，即g（x＋1）＞－g（2－2x），即g（x＋1）＞g（2x－2），所以x＋1＜2x－2，解得x＞3，所以不等式的解集为（3，＋∞）.
四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）在区间（－2，1）内，函数f（x）＝－x3＋ax2＋bx在x＝－1处取得极小值，在x＝处取得极大值.
（1）求a，b的值；
（2）讨论f（x）在（－∞，＋∞）上的单调性.
解：（1）因为f（x）＝－x3＋ax2＋bx，
所以f'（x）＝－3x2＋2ax＋b，
又由已知得f'（－1）＝0，f'＝0，
所以－3×（－1）2＋2a×（－1）＋b＝0，
－3×＋2a×＋b＝0，
联立求解得a＝－，b＝2，经验证，符合题意.
（2）由（1）知f'（x）＝－3x2－x＋2
＝－3，
当f'（x）＞0，解得－1＜x＜，
当f'（x）＜0，解得x＜－1或x＞，
所以函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是和.
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝x2ex.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对 x∈[－1，2]，f（x）－m＞0恒成立，求实数m的取值范围.
解：（1）f'（x）＝2xex＋x2ex＝x（x＋2）ex，
由f'（x）＞0可解得，x＜－2或x＞0；由f'（x）＜0可解得，－2＜x＜0.
故函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－2）和（0，＋∞）；
函数f（x）的单调递减区间为（－2，0）.
（2）f（x）－m＞0等价于m＜f（x），依题意，需求函数f（x）在区间[－1，2]上的最小值.
由（1）知，函数f（x）在区间（－1，0）上单调递减，在区间（0，2）上单调递增，
故f（x）min＝f（0）＝0，所以m＜0.
即实数m的取值范围为（－∞，0）.
17.（本小题满分15分）某口罩生产企业每月生产x万件N95口罩的利润函数为p（x）＝（单位：万元）.
（1）当0＜x＜6时，求企业月利润的最大值；
（2）当月产量为多少万件时，企业的月利润最大？请为企业生产经营提一些合理建议.
解：（1）当0＜x＜6时，p（x）＝－x2＋10x－16＝－（x－5）2＋9，
当x＝5时，p（x）取到最大值9，即企业月利润的最大值为9.
（2）当x≥6时，p（x）＝13－ln x－，
p'（x）＝－＋＝，
若6≤x≤e3，则p'（x）≥0，p（x）单调递增；若x＞e3，则p'（x）＜0，p（x）单调递减，
所以x＝e3时，p（x）取到最大值p＝9.
由（1）知x＝5时，p（x）也取到最大值9，
综上可知当月产量为5万件或e3万件时，企业的月利润最大.
建议：当月产量为5万件或e3万件时，利润最大，考虑时间成本和原料成本，建议月产量为5万件最为合适.
18.（本小题满分17分）设函数f（x）＝ln（a－x），已知x＝0是函数y＝xf（x）的极值点.
（1）求a的值；
（2）设函数g（x）＝，证明：g（x）＜1.
解：（1）由题意得y＝xf（x）＝xln（a－x），
则y'＝ln（a－x）＋x[ln（a－x）]'.
因为x＝0是函数y＝xf（x）的极值点，
所以y'｜x＝0＝ln a＝0，所以a＝1，经检验a＝1符合题意.
（2）证明：由（1）可知，f（x）＝ln（1－x），其定义域为{x｜x＜1}，
当0＜x＜1时，ln（1－x）＜0，此时xf（x）＜0，
当x＜0时，ln（1－x）＞0，此时xf（x）＜0.
易知g（x）的定义域为{x｜x＜1且x≠0}，
故要证g（x）＝＜1，只需证x＋f（x）＞xf（x），
即证x＋ln（1－x）－xln（1－x）＞0.
令1－x＝t，则t＞0且t≠1，则只需证1－t＋ln t－（1－t）ln t＞0，即证1－t＋tln t＞0.
令h（t）＝1－t＋tln t，则h'（t）＝－1＋ln t＋1＝ln t，
所以h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以h（t）＞h（1）＝0，
即g（x）＜1成立.
19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝.
（1）当a＞0时，求y＝f（x）的单调区间；
（2）若g（x）＝f（x）－x有两个零点，求a的取值范围.
解：（1）函数f（x）＝的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝＝＝，
令f'（x）＝0，即＝0，解得x＝e.
当0＜x＜e时，1－ln x＞0，ax2＞0，则f'（x）＞0，函数f（x）在（0，e）上单调递增；
当x＞e时，1－ln x＜0，ax2＞0，则f'（x）＜0，函数f（x）在（e，＋∞）上单调递减.
综上，函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，＋∞）.
（2）由题意f（x）－x＝0在（0，＋∞）上有两个不同的根.
－x＝0可化为a＝，
令h（x）＝，x∈（0，＋∞），则问题转化为y＝a与y＝h（x）的图象有两个交点.
h'（x）＝＝＝，
令h'（x）＝0，则1－2ln x＝0，x＝ .
当0＜x＜时，1－2ln x＞0，x3＞0，则h'（x）＞0，函数h（x）在（0，）上单调递增；
当x＞时，1－2ln x＜0，x3＞0，则h'（x）＜0，函数h（x）在（，＋∞）上单调递减，
所以h（x）在x＝ 处取得极大值，也是最大值，h（）＝＝＝，
当x→0＋时，ln x→－∞，x2→0＋，
则h（x）＝→－∞，
当x→＋∞时，ln x的增长速度远慢于x2的增长速度，所以h（x）＝→0.
因为y＝a与y＝h（x）的图象有两个交点，所以0＜a＜.
综上，a的取值范围为.
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