5.1.1 变化率问题
课标要求 情境导入
1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程（数学抽象）. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系（数学抽象、数学运算）. 3.体会极限思想（数学抽象）. 2020年珠穆朗玛峰（简称珠峰）新测高度8 848.86米，是世界第一高峰，是很多登山爱好者的终极之地.很多人为了征服这座山峰，每年都会向它发起挑战，但到现在为止能顺利登顶的人并不多.当山势的陡峭程度不同时，登山队员攀登的难度也是不一样的.你知道如何用数学知识来反映山势的陡峭程度吗？
知识点一｜物体运动的平均速度
问题1 （1）某公路上存在一段长为2 km的测速路段，假定测速超过100 km/h即为超速，某汽车用时1.5分钟，它超速了吗？你觉得这种测速的本质是什么？
提示：记测速为v，则v＝＝＝80 km/h，因此它没有超速.这种测速的本质是平均速度.
（2）在一次跳水中，某运动员在运动过程中的重心，相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝－4.9t2＋2.8t＋11，你能求出该运动员在0≤t≤0.2，1≤t≤1.5，0≤t≤内的平均速度吗？由运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
提示：当0≤t≤0.2时，＝＝1.82（m/s）；当1≤t≤1.5时，＝＝－9.45（m/s）；当0≤t≤时，＝＝0（m/s）；虽然运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
【知识梳理】
1.平均速度：我们把位移s看成关于时间t的函数s＝s（t），则物体在时间段上的平均速度＝ .
2.物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的 快慢 .
提醒：把速度v看成关于时间t的函数v＝v（t），则物体在时间段上的平均加速度＝.
【例1】 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s（t）＝sin t，t∈.
（1）分别求s（t）在区间和上的平均速度；
解：物体在区间上的平均速度为＝＝＝.
物体在区间上的平均速度为＝＝＝.
（2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义.
解：由（1）可知－＝＞0，所以＜.作出函数s（t）＝sin t在上的图象，如图所示，可以发现，s（t）＝sin t在上随着t的增大，函数值s（t）变化的越来越慢.
【规律方法】
求物体运动的平均速度的步骤
（1）先计算位移的改变量s（t2）－s（t1）；
（2）再计算时间的改变量t2－t1；
（3）得平均速度＝.
训练1 一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s（t）＝5t2＋bt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数b＝（ ）
A.2 B.1
C.－1 D.6
解析：B 由已知，得＝26，所以（5×32＋3b）－（5×22＋2b）＝26，解得b＝1.
知识点二｜物体运动的瞬时速度
问题2 （1）如果我们用Δs＝s（t2）－s（t1），Δt＝t2－t1，分别代表位移、时间的增量，你能用Δs，Δt表示平均速度吗？区间内的平均速度呢？
提示：＝＝；
＝.
（2）区间表示时刻t0到时刻t0＋Δt内的时间，随着Δt的改变，区间变大或变小，如果Δt变成无限接近0的正数，那么我们该如何认识 ＝呢？
提示：用极限思想可以理解为t0时刻的瞬时速度.
【知识梳理】
1.瞬时速度：物体在 某一时刻 的速度称为瞬时速度.
2.瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔｜Δt｜无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度.
3.设物体运动的时间与位移的函数关系为s＝s（t），则物体在t0时刻的瞬时速度为
v＝ .
提醒：Δt可正，可负，但不能为0.
【例2】 （链接教材P61练习1题）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
解：∵＝＝
＝3＋Δt，
∴＝（3＋Δt）＝3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
变式 （1）若本例中的条件不变，试求物体的初速度；
解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，
∵＝
＝＝1＋Δt，
∴（1＋Δt）＝1.
即物体的初速度为1 m/s.
（2）若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s？
解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又＝
＝（2t0＋1）＋Δt，
∴＝（2t0＋1＋Δt）＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，
∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
【规律方法】
求物体运动的瞬时速度的步骤
（1）求位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）；
（2）求平均速度＝；
（3）求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v，即为瞬时速度，即v＝.
训练2 一质点M按运动方程s（t）＝at2＋1做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝ 2 .
解析：质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.∵质点M在t＝2附近的平均速度为＝＝＝4a＋aΔt，∴＝4a＝8，即a＝2.
提能点｜求曲线在某点处的切线斜率（方程）
问题3 设P0（x0，f（x0）），P（x，f（x））是抛物线y＝f（x）上任意的两点，记Δx＝x－x0，则割线P0P的斜率k＝，如图所示.观察割线P0P有什么变化趋势？
提示：当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置.
【知识梳理】
1.切线的斜率：当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f（x）在点P0（x0，f（x0））处的切线.则切线P0T的斜率k0＝.
2.切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔｜Δx｜无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T.这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.
提醒：（1）极限的几何意义：曲线y＝f（x）在x＝x0处的切线斜率；（2）对曲线在某点处的切线理解的三个注意点：①与该点的位置有关；②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.若割线有极限位置，则在此点有切线，且切线是唯一的；若割线不存在极限位置，则曲线在此点处无切线；③曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个交点.
【例3】 （链接教材P64练习2题）求抛物线f（x）＝x2－2x＋3在点（1，2）处的切线斜率.
解：由
＝＝Δx，
可得切线的斜率为k＝Δx＝0.
变式 若本例条件不变，求与2x－y＋4＝0平行的该曲线的切线方程.
解：设切点坐标为（x0，－2x0＋3），
由
＝
＝2x0－2＋Δx，
所以切线的斜率为k＝（2x0－2＋Δx）＝2x0－2，故有2x0－2＝2，解得x0＝2，所以切点坐标为（2，3），所求切线方程为2x－y－1＝0.
【规律方法】
求曲线在点P0（x0，f（x0））处的切线方程的步骤
训练3 求函数y＝在x＝2处的切线方程.
解：因为Δy＝－＝－1
＝－，所以＝－，
所以k＝＝＝＝－1.
又x＝2时，y＝＝1.
所以切线方程为y－1＝－1×（x－2），
即x＋y－3＝0.
1.一物体运动的位移y与时间t满足函数y＝t，则该物体在上的平均速度是（ ）
A.0 B.1
C.2 D.Δt
解析：B ＝＝1.
2.已知某质点运动的方程是s＝2＋，当t由1变到2时，其路程的增量Δs＝（ ）
A. B.－
C.1 D.－1
解析：B Δs＝－（2＋1）＝－.
3.一物体做直线运动，其运动方程为s（t）＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为（ ）
A.－2 B.－1
C.0 D.2
解析：D 因为
＝
＝ （－2t＋2－Δt）＝－2t＋2，所以当t＝0时，其速度为2.
4.抛物线f（x）＝x2－x在点（2，2）处的切线的斜率为 3 .
解析：f（2＋Δx）－f（2）＝（2＋Δx）2－（2＋Δx）－2＝3Δx＋（Δx）2，所以切线的斜率k＝＝＝ （3＋Δx）＝3.
课堂小结
1.理清单
（1）物体运动的平均速度；
（2）物体运动的瞬时速度；
（3）求曲线在某点处的切线斜率（方程）.
2.应体会
无限趋近法、定义法.研究曲线在某点处的切线的斜率问题时，要注意数形结合思想与极限思想的应用.
3.避易错
对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位.
1.已知抛物线y＝f（x）＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则＝（ ）
A.－0.11 B.－1.1
C.3.89 D.0.29
解析：B 因为Δy＝f（2＋0.1）－f（2）＝（3×2.1－2.12）－（3×2－22）＝－0.11，所以＝＝－1.1.故选B.
2.若函数f（x）在x0处有定义，则的结果（ ）
A.与x0，h均无关
B.仅与x0有关，而与h无关
C.仅与h有关，而与x0无关
D.与x0，h均有关
解析：B 根据曲线在某点处切线斜率的意义知，该极限值只与x0有关，而与h没有关系.
3.某物体做直线运动，若它所经过的位移s与时间t的函数关系为s（t）＝t2＋t，则这个物体在时间段[1，2]内的平均速度为（ ）
A.2 B.
C.3 D.
解析：D ＝＝＝.故选D.
4.已知抛物线y＝2x2上一点A（2，8），则在点A处的切线斜率为（ ）
A.4 B.16
C.8 D.2
解析：C k＝＝8.故选C.
5.某物体的运动方程为s＝t2，该物体在t0到t0＋Δt之间的平均速度为k1，在t0－Δt到t0之间的平均速度为k2，则k1与k2的大小关系为（ ）
A.k1＞k2 B.k1＜k2
C.k1＝k2 D.不确定
解析：D 令s＝f（t）＝t2，则k1＝＝＝2t0＋Δt，k2＝＝＝2t0－Δt.因为Δt可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小关系不确定.
6.〔多选〕已知某物体的运动方程为s（t）＝7t2＋8（0≤t≤5），则下列说法正确的是（ ）
A.该物体在1≤t≤3时的平均速度是28
B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C.该物体位移的最大值为43
D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70
解析：ABD A项，该物体在1≤t≤3时的平均速度是＝＝28，A正确；B项，＝＝56＋7Δt，当Δt趋近于0时，趋近于56，故B正确；C项，当t＝5时，s（t）有最大值s（t）max＝s（5）＝183，C错误；D项，＝＝7Δt＋70，当Δt趋近于0时，趋近于70，D正确.
7.〔多选〕已知物体做自由落体运动的位移函数为s（t）＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝，当Δt无限趋近于0时，v趋近于9.8 m/s，则9.8 m/s是（ ）
A.物体从0 s到1 s这段时间的平均速度
B.物体从1 s到（1＋Δt）s这段时间的平均速度
C.物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度
D.函数s（t）＝gt2在t＝1处的切线斜率
解析：CD 由平均速度、瞬时速度及切线斜率的几何意义知C、D正确.
8.抛物线f（x）＝x2－4x在点（－1，5）处的切线方程为 6x＋y＋1＝0 .
解析：k＝＝－6，所以切线方程为y－5＝－6（x＋1），即6x＋y＋1＝0.
9.物体M的运动方程为s＝f（t）＝t2＋2t，物体N的运动方程为s＝g（t）＝2t－3，物体M在上的平均速度是物体N在上的平均速度的2倍，则实数a的值为 2 .
解析：由题意，得物体M在上的平均速度为＝＝a＋2，物体N在上的平均速度为＝＝2.由题意知a＋2＝2×2，所以a＝2.
10.在受到制动后的t s内飞轮转过的角度（单位：rad）由函数φ（t）＝4t－0.3t2给出.
求：（1）t＝2 s时，飞轮转过的角度；
（2）飞轮停止旋转的时刻.
解：（1）t＝2 s时，飞轮转过的角度φ（2）＝8－1.2＝6.8（rad）.
（2）飞轮停止旋转时的瞬时角速度为
＝
＝
＝（4－0.3Δt－0.6t）＝4－0.6t，
飞轮停止旋转时，瞬时角速度为0，
所以令4－0.6t＝0，得t＝，所以在t＝ s时飞轮停止旋转.
11.若抛物线y＝x2＋ax＋b在点（0，b）处的切线方程是x－y＋1＝0，则（ ）
A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1
解析：A 由题意可知，抛物线在点（0，b）处的切线的斜率为k＝＝1，解得a＝1，又点（0，b）在切线上，∴b＝1.
12.〔多选〕如图表示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
解析：BC 在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为v＝，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0＞s1－s0，t1－t0＞0，所以＞，故C正确，D错误.
13.将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为 2 .
解析：体积的增加量ΔV＝m3－＝（m3－1），所以＝＝，所以m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3（舍去）.
14.已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.
（1）求它们的交点；
（2）求抛物线在交点处的切线方程.
解：（1）由解得或
∴抛物线与直线的交点坐标为（－2，8），（3，13）.
（2）若交点坐标为（－2，8），
则k＝＝
＝（－4＋Δx）＝－4.
∴抛物线在点（－2，8）处的切线方程为y－8＝－4（x＋2），即4x＋y＝0.
若交点坐标为（3，13），
则k＝＝
＝＝（6＋Δx）＝6.
∴抛物线在点（3，13）处的切线方程为y－13＝6（x－3），即6x－y－5＝0.
15.若一物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s）s＝f（t）＝
求：（1）物体在t∈[3，5]内的平均速度；
（2）物体的初速度v0；
（3）物体在t＝1时的瞬时速度.
解：（1）因为物体在t∈[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3，5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－（3×32＋2）＝3×（52－32）＝48，
所以物体在t∈[3，5]内的平均速度为＝＝24（m/s）.
（2）求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度.
因为＝
＝
＝3Δt－18，
所以物体的初速度v0＝＝（3Δt－18）＝－18（m/s）.
（3）因为
＝
＝3Δt－12，
所以物体在t＝1时的瞬时速度为（3Δt－12）＝－12（m/s）.
8 / 95.1.1 变化率问题
1.已知抛物线y＝f（x）＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则＝（ ）
A.－0.11 B.－1.1
C.3.89 D.0.29
2.若函数f（x）在x0处有定义，则的结果（ ）
A.与x0，h均无关
B.仅与x0有关，而与h无关
C.仅与h有关，而与x0无关
D.与x0，h均有关
3.某物体做直线运动，若它所经过的位移s与时间t的函数关系为s（t）＝t2＋t，则这个物体在时间段[1，2]内的平均速度为（ ）
A.2 B.
C.3 D.
4.已知抛物线y＝2x2上一点A（2，8），则在点A处的切线斜率为（ ）
A.4 B.16
C.8 D.2
5.某物体的运动方程为s＝t2，该物体在t0到t0＋Δt之间的平均速度为k1，在t0－Δt到t0之间的平均速度为k2，则k1与k2的大小关系为（ ）
A.k1＞k2 B.k1＜k2
C.k1＝k2 D.不确定
6.〔多选〕已知某物体的运动方程为s（t）＝7t2＋8（0≤t≤5），则下列说法正确的是（ ）
A.该物体在1≤t≤3时的平均速度是28
B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C.该物体位移的最大值为43
D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70
7.〔多选〕已知物体做自由落体运动的位移函数为s（t）＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝，当Δt无限趋近于0时，v趋近于9.8 m/s，则9.8 m/s是（ ）
A.物体从0 s到1 s这段时间的平均速度
B.物体从1 s到（1＋Δt）s这段时间的平均速度
C.物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度
D.函数s（t）＝gt2在t＝1处的切线斜率
8.抛物线f（x）＝x2－4x在点（－1，5）处的切线方程为 .
9.物体M的运动方程为s＝f（t）＝t2＋2t，物体N的运动方程为s＝g（t）＝2t－3，物体M在上的平均速度是物体N在上的平均速度的2倍，则实数a的值为 .
10.在受到制动后的t s内飞轮转过的角度（单位：rad）由函数φ（t）＝4t－0.3t2给出.
求：（1）t＝2 s时，飞轮转过的角度；
飞轮停止旋转的时刻.
11.若抛物线y＝x2＋ax＋b在点（0，b）处的切线方程是x－y＋1＝0，则（ ）
A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1
12.〔多选〕如图表示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
13.将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为 .
14.已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.
（1）求它们的交点；
（2）求抛物线在交点处的切线方程.
15.若一物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s）s＝f（t）＝
求：（1）物体在t∈[3，5]内的平均速度；
（2）物体的初速度v0；
（3）物体在t＝1时的瞬时速度.
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