第二课时 导数的几何意义
课标要求 情境导入
1.通过函数图象直观理解导数的几何意义（直观想象）. 2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程（数学运算）. 3.了解导函数的概念（数学抽象）. 从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量v的方向相同. 如果设曲线的方程为y＝f（x），A（x0，f（x0）），那么曲线在点A处的切线的斜率是什么？
知识点一｜导数的几何意义
问题1 观察函数y＝f（x）的图象，平均变化率＝表示什么？瞬时变化率f'（x0）＝＝表示什么？
提示：容易发现，平均变化率＝表示的是割线P0P的斜率.如图，当点P沿着曲线无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f（x）在点P0处的切线.容易知道，割线P0P的斜率k＝.记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f（x）无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f（x）在x＝x0处的导数.因此，函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）就是切线P0T的斜率k0，即k0＝＝f'（x0）.
【知识梳理】
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的 切线的斜率 .也就是说，曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率是 f'（x0） .相应地，切线方程为 y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0） .
【例1】 已知函数y＝f（x）＝x3.
（1）求曲线y＝f（x）在点（－1，－1）处的切线方程；
解：因为f'（x）＝
＝
＝＝3x2，
所以曲线y＝f（x）在点（－1，－1）处的切线的斜率为k＝f'（－1）＝3，
所以切线方程为y＋1＝3（x＋1），即3x－y＋2＝0.
（2）求曲线y＝f（x）过点E（2，0）的切线方程.
解：（设切点坐标为（x0，），
则切线的斜率为k＝f'（x0）＝3，
所以切线方程为y－＝3（x－x0）.
将点E（2，0）的坐标代入切线方程，
得－＝3（2－x0），
则2（x0－3）＝0，解得x0＝0或x0＝3，
所以切线方程为y＝0或27x－y－54＝0.
【规律方法】
求过点P（x0，f（x0））的曲线y＝f（x）的切线方程的策略
（1）当点P（x0，f（x0））是切点时，切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）；
（2）当点P（x0，f（x0））不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P'（x1，f（x1））；
第二步：写出过点P'（x1，f（x1））的切线方程y－f（x1）＝f'（x1）（x－x1）；
第三步：将点P的坐标（x0，f（x0））代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f（x1）＝f'（x1）·（x－x1）可得过点P（x0，f（x0））的切线方程.
训练1 求曲线y＝在点处的切线方程.
解：曲线在点处的切线的斜率为
k＝＝＝－，
由直线的点斜式方程可得切线方程为
y－＝－（x－2），即x＋4y－4＝0.
知识点二｜利用导数的几何意义判断函数的变化
问题2 如图是函数y＝h（t）的部分图象，试分析一下导数与函数单调性的关系.
提示：当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线平行于t轴，即h'（t0）＝0.这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h'（t1）＜0.这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减.
当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h'（t2）＜0.这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减.
通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的缓慢.
同理，t＝t3，t＝t4时都有h'（t）＞0，h（t）在各自附近单调递增，且函数在t＝t3附近比在t＝t4附近上升的快.
【知识梳理】
1.若f'（x0）＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝ 0 .
2.若f'（x0）＞0，则函数在x＝x0处切线斜率k ＞ 0，且函数在x＝x0附近单调递 增 ，且f'（x0）越大，说明函数图象变化得越快.
3.若f'（x0）＜0，则函数在x＝x0处切线斜率k ＜ 0，且函数在x＝x0附近单调递 减 ，且越大，说明函数图象变化得越快.
【例2】 （链接教材P69练习1题）（1）已知y＝f（x）的图象如图所示，则f'（xA）与f'（xB）的大小关系是（ B ）
A.f'（xA）＞f'（xB） B.f'（xA）＜f'（xB）
C.f'（xA）＝f'（xB） D.不能确定
解析：由导数的几何意义，f'（xA），f'（xB）分别是切线在点A，B处的斜率，由题图可知f'（xA）＜f'（xB）.
（2）若函数f（x）的导函数在区间上单调递增，则函数f（x）在区间上的图象可能是（ A ）
解析：函数f（x）的导函数f'（x）在上单调递增，若对任意x1和x2满足a＜x1＜x2＜b，则有f'（a）＜f'（x1）＜f'（x2）＜f'（b），根据导数的几何意义，可知函数y＝f（x）的切线斜率在内单调递增，观察图象，只有A选项符合.
【规律方法】
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的几何意义就是该函数曲线在x＝x0处的切线的斜率，所以比较两个导数值的大小可以根据函数图象，观察函数y＝f（x）在这两点处对应切线的斜率的大小.
训练2
已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是（ ）
A.f'（1）＜f'（2）＜a B.f'（1）＜a＜f'（2）
C.f'（2）＜f'（1）＜a D.a＜f'（1）＜f'（2）
解析：B 由图象可知，函数在[0，＋∞）上的增长速度越来越快，故函数图象在点（x0，f（x0））（x0∈（0，＋∞））处的切线的斜率越来越大，∵＝a，∴f'（1）＜a＜f'（2），故选B.
知识点三｜导函数（导数）
问题3 由前面所学知识可知，求函数在某一点处的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？
提示：如果函数y＝f（x）在开区间（a，b）内的每点处都有导数，即任给x0∈（a，b），总有＝f'（x0），从而对开区间（a，b）内的每一个值x0，都有唯一确定的函数值f'（x0）与x0对应，所以在开区间（a，b）内，f'（x）构成一个新的函数，故可通过求导研究函数的整体变化.
【知识梳理】
1.定义：当x变化时，y＝ f'（x） 就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数）.
2.记法：y＝f（x）的导函数记作f'（x）（有时也记作y'），即f'（x）＝y'＝ .
提醒：函数f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）、导函数f'（x）之间的区别与联系：①区别：（ⅰ）f'（x0）是在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；（ⅱ）f'（x）是函数f（x）的导函数，是对某一区间内任意x而言的；②联系：函数f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）就是导函数f'（x）在x＝x0处的函数值.
【例3】 已知函数y＝f（x）＝x2－x，
（1）求f'（x）；
解：∵Δy＝f（x＋Δx）－f（x）＝（Δx）2＋2x·Δx－Δx，
∴＝2x＋Δx－，∴f'（x）＝＝2x－.
（2）求函数f（x）在x＝1处的切线方程.
解：由（1）知f'（1）＝2×1－＝，
且f（1）＝1－＝，
故切线方程为y－＝（x－1），
化简得3x－2y－2＝0.
【规律方法】
求导函数的主要步骤
（1）求函数的增量Δy＝f（x＋Δx）－f（x）；
（2）求平均变化率＝；
（3）求极限，即f'（x）＝.
训练3 已知f（x）＝，通过导函数比较f'（－1）与f'（3）的大小关系.
解：f'（x）＝＝＝＝－，
∴f'（－1）＝－1，f'（3）＝－，
∴f'（－1）＜f'（3）.
提能点｜利用导数的几何意义求切点坐标或参数值
【例4】 （1）已知抛物线y＝f（x）＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为 ；
解析：设切点坐标为（x0，y0），则Δy＝[2（x0＋Δx）2＋1]－（2＋1）＝4x0·Δx＋2（Δx）2，∴＝4x0＋2Δx，∴f'（x0）＝＝4x0.又∵切线的斜率为k＝tan 45°＝1，∴4x0＝1，即x0＝.∴y0＝2×＋1＝，∴切点坐标为.
（2）已知直线x＋y＝b是函数f（x）＝ax＋的图象在点（1，m）处的切线，则a＋b＝ 5 ，m＝ 3 .
解析：由题意知m＝a＋2，1＋m＝b，∵f'（1）＝＝（a－）＝a－2，∴曲线f（x）在点（1，m）处的切线斜率为a－2，由a－2＝－1，得a＝1，m＝3，b＝4，a＋b＝5.
【规律方法】
求切点坐标的一般步骤
（1）设出切点坐标；
（2）利用导数或斜率公式求出斜率；
（3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
（4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标.
训练4 已知曲线f（x）＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g（x）＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0.
解：对于曲线f（x）＝x2－1，
k1＝
＝
＝ （2x0＋Δx）＝2x0.
对于曲线g（x）＝1－x3，
k2＝
＝
＝[－3x0Δx－3－（Δx）2]＝－3.
由k1＝k2，得2x0＝－3，∴x0＝0或x0＝－.
1.若曲线y＝h（x）在点P（a，h（a））处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则（ ）
A.h'（a）＝0 B.h'（a）＜0
C.h'（a）＞0 D.h'（a）不存在
解析：B 由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1，由导数的几何意义可知h'（a）＝－2＜0.
2.如图，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））在函数f（x）的图象上，且x2＜x1，则f'（x1）与f'（x2）的大小关系是（ ）
A.f'（x1）＞f'（x2） B.f'（x1）＜f'（x2）
C.f'（x1）＝f'（x2） D.不能确定
解析：A 如图，根据导数的几何意义，f'（x1）为曲线f（x）在点A处切线的斜率，设该斜率为k1，f'（x2）为曲线f（x）在点B处切线的斜率，设该斜率为k2，由图象可得0＞k1＞k2，即有f'（x1）＞f'（x2）.
3.已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝x＋2，则f（1）＋f'（1）＝ 3 .
解析：由图象在M点处的切线方程是y＝x＋2，得f（1）＝×1＋2＝，f'（1）＝.∴f（1）＋f'（1）＝＋＝3.
4.求曲线C：y＝x2在x＝1处的切线方程.
解：把x＝1代入y＝x2得y＝12＝1，即切点P（1，1），y'｜x＝1＝＝＝（Δx＋2）＝2，所以k＝y'｜x＝1＝2，所以曲线y＝x2在P（1，1）处的切线方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0.
课堂小结
1.理清单
（1）导数的几何意义；
（2）函数的单调性与导数的关系；
（3）导函数的概念；
（4）导数几何意义的应用.
2.应体会
利用导数的几何意义判断函数的变化体现了数形结合思想.
3.避易错
切线过某点，这点不一定是切点.
1.若＝x2，则f（x）的导函数f'（x）＝（ ）
A.2x B.x3
C.x2 D.3x2
解析：C 由导数的定义可知，f'（x）＝＝x2.
2.已知函数f（x）的图象如图所示，则下列数值的排序正确的是（ ）
A.0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2）
B.0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3）
C.0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）－f（2）
D.0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）
解析：D f'（2）和f'（3）分别表示函数f（x）在x＝2和x＝3处的切线斜率，结合图象可得0＜f'（3）＜f'（2），而f（3）－f（2）＝，表示过x＝2和x＝3两点的直线斜率，则0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2），故选D.
3.已知函数f（x）＝ax2＋b的图象在点（1，3）处的切线斜率为2，则＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：B ∵f'（1）＝2，＝＝（aΔx＋2a）＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.又f（1）＝a＋b＝3，∴b＝2，∴＝2.
4.某运输公司为运送某物品提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示.在这四种方案中，运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的是（ ）
解析：B 从函数图象上看，要求图象在上越来越陡峭，在各选项中，只有B选项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高.
5.如图，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l过点（2，0），且f'（1）＝－2，则f（1）＝（ ）
A.－1 B.1
C.2 D.3
解析：C 曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l过点（2，0），且f'（1）＝－2，所以切线方程为y＝－2（x－2）.因为切点在曲线上也在切线上，所以f（1）＝－2×（1－2）＝2.
6.〔多选〕曲线y＝在点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标可能为（ ）
A.（3，3） B.（－3，－3）
C.（9，1） D.（1，9）
解析：AB 由导数定义得y'＝＝［－］＝－，设P（x0，y0），则由导数的几何意义可得－＝tan＝－1，解得x0＝±3，从而y0＝±3，即点P的坐标为（3，3）或（－3，－3）.
7.〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处也可能有切线
B.若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处有切线，则f'（x0）必存在
C.若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率不存在
D.若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线，则f'（x0）有可能存在
解析：AC k＝f'（x0），所以f'（x0）不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是x＝x0，A、C正确；当切线垂直于x轴时，f'（x0）不存在，B错误；当曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线，f'（x0）一定不存在，D错误，故选A、C.
8.过点P（－1，2）且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是2x－y＋4＝0.
解析：由题意知，Δy＝3（1＋Δx）2－4（1＋Δx）＋2－3＋4－2＝3（Δx）2＋2Δx.∴y'｜x＝1＝＝2，∴所求直线的斜率k＝2.故所求直线方程为y－2＝2（x＋1），即2x－y＋4＝0.
9.曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是 （－∞，1） .
解析：y＝x＋上任意一点P（x0，y0）处的切线斜率为k＝y'＝
＝（1－）＝1－＜1，即k＜1.
10.已知曲线C：y＝x3.
（1）求曲线在点（3，27）处的切线l的方程；
（2）求切线l与两坐标轴所围成的三角形的面积.
解：（1）∵y'｜x＝3＝＝27，
∴曲线C在点（3，27）处的切线方程为y－27＝27（x－3），即y＝27x－54.
（2）∵切线l：y＝27x－54与x，y轴分别相交于点（2，0），（0，－54），
∴所求三角形的面积为S＝×2×54＝54.
11.若P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为（ ）
A. B.
C. D.
解析：D 由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f（x）＝x2，由导数的几何意义知y'＝f'（x）＝＝2x＝1，解得x＝，所以P，故点P到直线y＝x－2的最小距离d＝＝.
12.〔多选〕（2025·厦门月考）已知函数f（x）＝x＋，若曲线y＝f（x）存在两条过点（1，0）的切线，则a的值可以是（ ）
A.－4 B.－2
C.0 D.2
解析：AD 由题得f'（x）＝＝＝1－，设切点坐标为（x0，x0＋），则切线方程为y－x0－＝（1－）（x－x0）.又切线过点（1，0），可得－x0－＝（1－）（1－x0），整理得2＋2ax0－a＝0 （*）.因为曲线y＝f（x）存在两条过点（1，0）的切线，所以方程（*）有两个不等实根，即满足Δ＝4a2－8（－a）＞0，解得a＞0或a＜－2.故选A、D.
13.已知函数f（x）＝x3，过点P作曲线f（x）的切线，则其切线方程为y＝0或3x－y－2＝0.
解析：设切点为Q（x0，），得切线的斜率为k＝f'（x0）＝＝3，切线方程为y－＝3（x－x0），即y＝3x－2.因为切线过点P，所以2－2＝0，解得x0＝0或x0＝1，从而切线方程为y＝0或3x－y－2＝0.
14.点P在曲线y＝f（x）＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标.
解：设P（x0，y0），则y0＝＋1，
f'（x0）＝＝2x0，
所以过点P的切线方程为y－y0＝2x0（x－x0），即y＝2x0x＋1－，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，由
得2x2＋2x0x＋2－＝0，
则Δ＝4－8（2－）＝0，
解得x0＝±，则y0＝，
所以点P的坐标为或.
15.英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代法，方法如下：如图，设r是f（x）＝0的根，选取x0作为r的初始近似值，在点（x0，f（x0））处作曲线y＝f（x）的切线l：y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0），则l与x轴的交点的横坐标x1＝x0－（f'（x0）≠0），称x1是r的一次近似值；在点（x1，f（x1））处作曲线y＝f（x）的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中xn＋1＝xn－（f'（xn）≠0），称xn＋1是r的n＋1次近似值.若使用该方法求方程x2＝2的近似解.
（1）取初始近似值为2，求该方程解的二次近似值；
（2）证明：x4＝x0－－－－.
解：（1）令f（x）＝x2－2，
则f'（x）＝＝2x，
取初始近似值x0＝2，
则x1＝x0－＝2－＝，
x2＝x1－＝－＝.
（2）证明：根据题意，可知x1＝x0－，
x2＝x1－，x3＝x2－，
x4＝x3－，
上述四式相加，
得x4＝x0－－－－.
9 / 10第二课时 导数的几何意义
1.若＝x2，则f（x）的导函数f'（x）＝（ ）
A.2x B.x3
C.x2 D.3x2
2.已知函数f（x）的图象如图所示，则下列数值的排序正确的是（ ）
A.0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2）
B.0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3）
C.0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）－f（2）
D.0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）
3.已知函数f（x）＝ax2＋b的图象在点（1，3）处的切线斜率为2，则＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
4.某运输公司为运送某物品提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示.在这四种方案中，运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的是（ ）
5.如图，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l过点（2，0），且f'（1）＝－2，则f（1）＝（ ）
A.－1 B.1
C.2 D.3
6.〔多选〕曲线y＝在点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标可能为（ ）
A.（3，3） B.（－3，－3）
C.（9，1） D.（1，9）
7.〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处也可能有切线
B.若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处有切线，则f'（x0）必存在
C.若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率不存在
D.若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线，则f'（x0）有可能存在
8.过点P（－1，2）且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是 .
9.曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是 .
10.已知曲线C：y＝x3.
（1）求曲线在点（3，27）处的切线l的方程；
（2）求切线l与两坐标轴所围成的三角形的面积.
11.若P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为（ ）
A. B.
C. D.
12.〔多选〕（2025·厦门月考）已知函数f（x）＝x＋，若曲线y＝f（x）存在两条过点（1，0）的切线，则a的值可以是（ ）
A.－4 B.－2
C.0 D.2
13.已知函数f（x）＝x3，过点P作曲线f（x）的切线，则其切线方程为 .
14.点P在曲线y＝f（x）＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标.
15.英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代法，方法如下：如图，设r是f（x）＝0的根，选取x0作为r的初始近似值，在点（x0，f（x0））处作曲线y＝f（x）的切线l：y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0），则l与x轴的交点的横坐标x1＝x0－（f'（x0）≠0），称x1是r的一次近似值；在点（x1，f（x1））处作曲线y＝f（x）的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中xn＋1＝xn－（f'（xn）≠0），称xn＋1是r的n＋1次近似值.若使用该方法求方程x2＝2的近似解.
（1）取初始近似值为2，求该方程解的二次近似值；
（2）证明：x4＝x0－－－－.
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